Forma completă a teoremei sinusurilor este:

$$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$$

$$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=R$$

$$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=\dfrac{R}{2}$$

Care este consecința relației $$a\le 2R$$ pentru laturile unui triunghi?

nicio latură nu poate depăși diametrul cercului circumscris

diametrul este mai mic decât orice latură

toate laturile sunt egale cu raza

raza este mai mare decât orice latură

Cum calculez raza cercului circumscris?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Teorema sinusurilor și raza cercului circumscris

Folosești o singură pereche formată dintr-o latură și unghiul din fața ei: $R = \frac{a}{2 sin A}$ . Formula vine din teorema sinusurilor, al cărei raport comun este chiar diametrul: $\frac{a}{sin A} = 2 R$ . De exemplu, pentru $a = 12$ și $A = 3 0^{\circ}$ obții $R = \frac{12}{2 \cdot 0 , 5} = 12$ . Nu ai nevoie să construiești centrul cu mediatoarele, iar la triunghiul dreptunghic raza este jumătate din ipotenuză.

Valoarea comună a celor trei rapoarte din teorema sinusurilor nu este un număr oarecare: este exact diametrul cercului circumscris triunghiului. Forma completă a teoremei este $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R$ , unde $R$ este raza cercului care trece prin cele trei vârfuri.

De aici rezultă direct $R = \frac{a}{2 sin A}$ : raza se calculează dintr-o singură pereche latură–unghi opus, fără să construiești centrul cercului cu mediatoare. Drumul invers, $a = 2 R sin A$ , dă o consecință utilă — nicio latură a triunghiului nu poate depăși diametrul, $a \leq 2 R$ .

Două cazuri particulare merită reținute: în triunghiul dreptunghic, ipotenuza este chiar diametrul, deci $R = \frac{ipotenuz a ˘}{2}$ ; în triunghiul echilateral cu latura $ℓ$ , $R = \frac{ℓ 3}{3}$ .

Greșeala cea mai frecventă este confuzia dintre $R$ și $2 R$ — se scrie $R = \frac{a}{sin A}$ , iar rezultatul iese dublu față de cel corect; verifică mereu cu $a \leq 2 R$ . Altă capcană: la extragerea lui $sin A$ din formula fundamentală, se păstrează doar valoarea pozitivă, pentru că sinusul unui unghi de triunghi este întotdeauna pozitiv.

De reținut

$\frac{a}{sin A} = 2 R$
$R = \frac{a}{2 sin A}$ și $a = 2 R sin A$
triunghi dreptunghic: $R$ = jumătate din ipotenuză

Greșeala tipică

Se confundă cercul circumscris cu cel înscris și se caută distanța de la centru la laturi. Cercul circumscris trece prin vârfuri, iar centrul lui este punctul de întâlnire al mediatoarelor.

Exerciții din această mini-lecție

Forma completă a teoremei sinusurilor este:
- a) $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R$
- b) $a \cdot sin A = 2 R$
- c) $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = R$
- d) $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = \frac{R}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R$

Raportul comun din teorema sinusurilor este egal cu diametrul cercului circumscris, $2 R$ , nu cu raza.
Într-un triunghi dreptunghic, raza cercului circumscris este:
- a) egală cu ipotenuza
- b) jumătate din ipotenuză
- c) o treime din ipotenuză
- d) egală cu o catetă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) jumătate din ipotenuză

Ipotenuza este diametrul cercului circumscris unui triunghi dreptunghic, deci raza este jumătate din ipotenuză.
Care este consecința relației $a \leq 2 R$ pentru laturile unui triunghi?
- a) diametrul este mai mic decât orice latură
- b) toate laturile sunt egale cu raza
- c) nicio latură nu poate depăși diametrul cercului circumscris
- d) raza este mai mare decât orice latură
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) nicio latură nu poate depăși diametrul cercului circumscris

Din $a = 2 R sin A$ și $sin A \leq 1$ , rezultă $a \leq 2 R$ pentru orice latură a triunghiului.

Întrebări conexe

Ce reprezintă valoarea comună a rapoartelor din teorema sinusurilor?

Este diametrul cercului care trece prin cele trei vârfuri, adică $2 R$ . Forma completă a teoremei se scrie $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R$ . Faptul acesta transformă o proporție într-un instrument de calcul pentru rază.

Ce legătură are raza cercului circumscris cu aria triunghiului?

Produsul celor trei laturi împărțit la de patru ori aria dă chiar raza. Formula este utilă când cunoști laturile, dar niciun unghi: afli aria cu Heron, apoi raza dintr-o singură împărțire, fără să treci prin sinusuri.

Cu ce se calculează raza cercului înscris?

Cu raportul dintre aria triunghiului și semiperimetrul lui. Este o formulă diferită de cea a cercului circumscris și folosește alte date, deci cele două nu trebuie amestecate. Centrul cercului înscris se află la întâlnirea bisectoarelor, nu a mediatoarelor.

Unde cade centrul cercului circumscris la un triunghi obtuzunghic?

În afara triunghiului, dincolo de latura cea mai lungă. La un triunghi ascuțitunghic el stă înăuntru, iar la unul dreptunghic cade chiar pe mijlocul ipotenuzei. Poziția lui se schimbă, dar el rămâne întotdeauna punctul în care se întâlnesc mediatoarele laturilor.

Ce greșeală apare cel mai des la formula razei cercului circumscris?

Se scrie $R = \frac{a}{sin A}$ , uitând $2$ de la numitor, ceea ce dublează rezultatul. Raportul din teorema sinusurilor este diametrul, nu raza, deci împărțirea la doi rămâne obligatorie.

Cum aflu o latură dacă știu raza cercului circumscris și unghiul opus?

Citești formula în sens invers: $a = 2 R sin A$ . Cu $R = 10$ și un unghi de $3 0^{\circ}$ obții $a = 2 \cdot 10 \cdot 0, 5 = 10$ . Drumul acesta este util când problema dă cercul și cere laturile poligonului înscris.

Oamenii mai întreabă și: raza cercului circumscris unui triunghi · formula lui R din teorema sinusurilor · cercul circumscris raza · cât este 2R în teorema sinusurilor · raza cercului care trece prin trei vârfuri