Cum găsesc termenul liber al unei dezvoltări?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Termeni cu proprietăți date

Scrii exponentul lui $x$ din termenul general ca funcție de rang și îl egalezi cu zero. Pentru $(x^{p} + c x^{q})^{n}$ , acel exponent este $p (n - k) + q k$ , o expresie de gradul întâi în $k$ , deci obții o ecuație simplă. La $(x^{2} + \frac{1}{x})^{9}$ ai $18 - 3 k = 0$ , deci $k = 6$ , iar termenul este $C_{9}^{6} = 84$ . Înainte de calcul rescrii radicalii ca puteri, iar la final verifici că valoarea găsită este naturală și nu depășește $n$ .

Pentru o dezvoltare $(x^{p} + c x^{q})^{n}$ , exponentul lui $x$ din termenul general este o funcție de gradul I în $k$ : $E (k) = p (n - k) + q k$ . De aici, orice cerință despre exponent devine o ecuație de gradul I, rezolvată într-un rând: «termenul liber» (nu-l conține pe $x$ ) $⟺ E (k) = 0$ ; «conține $x^{m}$ » $⟺ E (k) = m$ .

Pasul obligatoriu, înainte de orice calcul: rescrii binomul cu exponenți, fără radicali ( $x = x^{1/2}$ , $\frac{1}{x ^{m}} = x^{- m}$ ). După ce rezolvi ecuația în $k$ , verifici că $k$ este număr natural și $0 \leq k \leq n$ — dacă nu, termenul cerut nu există, iar acesta e un răspuns valid, nu o eroare.

Termenul din mijloc: pentru $n$ par, e unic, de rang $\frac{n}{2} + 1$ ; pentru $n$ impar, sunt doi termeni, de ranguri $\frac{n + 1}{2}$ și $\frac{n + 3}{2}$ . Pentru a afla $n$ dintr-o condiție, cele mai frecvente pornesc de la suma coeficienților binomiali, $2^{n} = S$ , sau de la o ecuație cu combinări, precum $C_{n}^{1} + C_{n}^{2} = S$ .

De reținut

exponentul lui $x$ : $E (k) = p (n - k) + q k$
termen liber: $E (k) = 0$ ; termen cu $x^{m}$ : $E (k) = m$
$k$ trebuie să fie natural și $0 \leq k \leq n$

Greșeala tipică

Se rotunjește valoarea lui $k$ atunci când ecuația dă un număr fracționar. Rangul trebuie să fie natural; dacă nu iese așa, termenul cerut pur și simplu nu apare în dezvoltare, iar acesta este răspunsul.

Exerciții din această mini-lecție

Determinați termenul liber al dezvoltării $(x^{2} + \frac{1}{x})^{9}$ .
- a) $84$
- b) $126$
- c) $36$
- d) nu există termen liber
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $84$

$E (k) = 2 (9 - k) - k = 18 - 3 k$ . Din $18 - 3 k = 0$ rezultă $k = 6$ , natural și $\leq 9$ . $T_{7} = C_{9}^{6} = C_{9}^{3} = 84$ .
Determinați coeficientul termenului din mijloc al dezvoltării $(x + 3)^{6}$ .
- a) $180$
- b) $540$
- c) $1620$
- d) $20$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $540$

$n = 6$ e par, deci termenul din mijloc are rangul $4$ ( $k = 3$ ): $T_{4} = C_{6}^{3} x^{3} \cdot 3^{3} = 20 \cdot 27 x^{3} = 540 x^{3}$ . Coeficientul este $540$ .
Suma coeficienților binomiali ai dezvoltării $(a + b)^{n}$ este $16384$ . Determinați $n$ .
- a) $n = 15$
- b) $n = 13$
- c) $n = 14$
- d) $n = 16$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $n = 14$

Suma este $2^{n}$ . Din $2^{n} = 16384 = 2^{14}$ rezultă $n = 14$ .

Întrebări conexe

Ce formă are exponentul lui x în termenul general al unei dezvoltări?

Este o expresie de gradul întâi în rang: pentru $(x^{p} + c x^{q})^{n}$ obții $p (n - k) + q k$ . Orice cerință despre exponent devine astfel o ecuație simplă, rezolvată dintr-un rând. De aceea nu ai nevoie să scrii toți termenii dezvoltării.

Care este termenul liber al dezvoltării lui x pătrat plus 1 supra x, la puterea a noua?

Exponentul lui $x$ este $2 (9 - k) - k = 18 - 3 k$ , iar condiția de termen liber îl anulează: $k = 6$ , valoare naturală și cel mult $9$ . Termenul are rangul $7$ și este $C_{9}^{6} = C_{9}^{3} = 84$ , fără nicio literă.

Ce rang are termenul liber al dezvoltării lui x la a treia plus 1 supra x pătrat, la a zecea?

Exponentul lui $x$ în termenul general este $3 (10 - k) - 2 k = 30 - 5 k$ , iar anularea lui dă $k = 6$ , valoare naturală și cel mult $10$ . Rangul termenului este cu unu mai mare, deci $7$ . Valoarea lui numerică este $C_{10}^{6} = C_{10}^{4} = 210$ .

Cât este coeficientul lui x pătrat în dezvoltarea lui 2x minus 1 supra x, la puterea a șasea?

Exponentul lui $x$ este $(6 - k) - k = 6 - 2 k$ , iar condiția $6 - 2 k = 2$ dă $k = 2$ . Termenul devine $C_{6}^{2} (2 x)^{4} (- \frac{1}{x})^{2}$ , adică $15 \cdot 16 x^{4} \cdot x^{- 2}$ , deci coeficientul cerut este $240$ . Semnul rămâne pozitiv, fiindcă valoarea lui $k$ este pară.

De ce trebuie rescris binomul fără radicali înainte de calcul?

Pentru că exponentul lui $x$ trebuie citit ca număr, iar radicalii îl ascund. Scrii $x = x^{1/2}$ și $\frac{1}{x ^{m}} = x^{- m}$ , apoi ecuația în rang se formează singură. Sărind peste acest pas, rișți să pui în ecuație exponenți greșiți.

Cât este coeficientul termenului din mijloc al dezvoltării lui x plus 3, la puterea a șasea?

Exponentul fiind par, termenul din mijloc are rangul $4$ , deci $k = 3$ . Obții $C_{6}^{3} x^{3} \cdot 3^{3} = 20 \cdot 27 x^{3}$ , iar coeficientul este $540$ . La un exponent impar ar fi existat doi termeni la mijloc, cu același coeficient binomial.

Oamenii mai întreabă și: termenul liber al unei dezvoltări · termenul care nu îl conține pe x · cum aflu rangul unui termen · termenul din mijloc al dezvoltării binomiale · termeni cu proprietăți date