Cum aflu un anumit termen dintr-o dezvoltare?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Termenul general al dezvoltării binomiale

Folosești formula termenului general, $T_{k + 1} = C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ , fără să scrii toată dezvoltarea. Atenție la decalajul de indice: termenii se numără de la unu, iar exponentul celui de-al doilea element pornește de la zero, deci pentru termenul al patrulea iei $k = 3$ . De pildă, în $(a + b)^{5}$ , termenul al treilea are $k = 2$ și este $10 a^{3} b^{2}$ . Când $a$ sau $b$ au coeficienți numerici, aceștia se ridică la putere odată cu litera.

Termenul general: $T_{k + 1} = C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ , pentru $k = 0, 1, \dots, n$ . Din el obții orice termen fără să scrii toată dezvoltarea. Decalajul de indice este esențial: termenii se numără de la $1$ , dar exponentul lui $b$ pornește de la $0$ , deci rangul este $k + 1$ , nu $k$ — pentru termenul al patrulea iei $k = 3$ , pentru al șaselea, $k = 5$ .

Două verificări de siguranță: suma exponenților lui $a$ și $b$ dintr-un termen este mereu $n$ ; iar indicele de sus al combinării trebuie să fie același cu exponentul lui $b$ . Când $a$ sau $b$ au coeficienți numerici (ca în $(2 x + 3)^{5}$ ), întregul $a$ , respectiv $b$ , se ridică la putere — se pun în paranteze.

La $(a - b)^{n}$ , factorul $(- 1)^{k}$ decide semnul: termenii de rang impar sunt pozitivi, cei de rang par sunt negativi. Termenii egal depărtați de capete au același coeficient binomial $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ ; la $n$ par există un termen unic din mijloc (rangul $\frac{n}{2} + 1$ ), la $n$ impar există doi termeni din mijloc.

Se face distincție între coeficientul binomial ( $C_{n}^{k}$ ) și coeficientul termenului (numărul final, după toate calculele) — ele coincid doar când $a, b$ nu au factori numerici.

De reținut

$T_{k + 1} = C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$
termenul de rang $r$ : $k = r - 1$
suma exponenților dintr-un termen: $n$

Greșeala tipică

Se ia $k$ egal cu rangul termenului cerut, deci se calculează termenul următor. Pentru rangul $r$ se folosește $k = r - 1$ , fiindcă numărătoarea exponenților pornește de la zero.

Exerciții din această mini-lecție

Determinați termenul al treilea al dezvoltării $(a + b)^{5}$ .
- a) $10 a^{3} b^{2}$
- b) $10 a^{2} b^{3}$
- c) $5 a^{4} b$
- d) $10 a^{3} b^{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $10 a^{3} b^{2}$

Pentru rangul $3$ , $k = 2$ : $T_{3} = C_{5}^{2} a^{5 - 2} b^{2} = 10 a^{3} b^{2}$ .
Determinați termenul al patrulea al dezvoltării $(2 x + 1)^{5}$ .
- a) $10 x^{2}$
- b) $40 x^{2}$
- c) $80 x^{2}$
- d) $40 x^{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $40 x^{2}$

Pentru rangul $4$ , $k = 3$ : $T_{4} = C_{5}^{3} (2 x)^{2} \cdot 1^{3} = 10 \cdot 4 x^{2} = 40 x^{2}$ .
Determinați termenul al patrulea al dezvoltării $(x - 3)^{5}$ .
- a) $- 90 x^{2}$
- b) $270 x^{2}$
- c) $- 270 x^{2}$
- d) $- 270 x^{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $- 270 x^{2}$

Pentru rangul $4$ , $k = 3$ : $T_{4} = C_{5}^{3} x^{2} (- 3)^{3} = 10 \cdot x^{2} \cdot (- 27) = - 270 x^{2}$ . Rangul $4$ e par, deci semnul e negativ — coerent cu regula.

Întrebări conexe

De ce rangul unui termen este k plus 1, și nu k?

Pentru că numărătoarea termenilor începe de la unu, iar exponentul celui de-al doilea element începe de la zero. Primul termen are $k = 0$ , al doilea are $k = 1$ și tot așa. Confuzia dintre cele două numerotări este greșeala cea mai frecventă a capitolului.

Care este al treilea termen al dezvoltării lui a plus b, la puterea a cincea?

Rangul $3$ înseamnă $k = 2$ , deci $T_{3} = C_{5}^{2} a^{3} b^{2}$ . Coeficientul binomial $C_{5}^{2}$ este $10$ , așa că termenul căutat se scrie $10 a^{3} b^{2}$ . Verificarea rapidă: suma exponenților, $3 + 2$ , dă chiar $5$ , adică exponentul binomului.

Care este al patrulea termen al dezvoltării lui 2x plus 1, la puterea a cincea?

Rangul $4$ dă $k = 3$ , deci $T_{4} = C_{5}^{3} (2 x)^{2} \cdot 1^{3}$ . Coeficientul binomial este $10$ , iar $(2 x)^{2} = 4 x^{2}$ , deci termenul este $40 x^{2}$ . Paranteza se ridică întreagă la putere, nu doar litera din ea.

Care este al patrulea termen al dezvoltării lui x minus 3, la puterea a cincea?

Cu $k = 3$ obții $T_{4} = C_{5}^{3} x^{2} (- 3)^{3}$ . Coeficientul binomial este $10$ , iar $(- 3)^{3} = - 27$ , deci termenul este $- 270 x^{2}$ . Semnul negativ vine din exponentul impar al elementului al doilea, ceea ce se potrivește cu rangul par.

Cât este coeficientul termenului din mijloc al dezvoltării lui x plus 2, la puterea a patra?

Exponentul fiind par, există un singur termen la mijloc, de rang $3$ , deci $k = 2$ . Obții $T_{3} = C_{4}^{2} x^{2} \cdot 2^{2} = 6 \cdot 4 x^{2} = 24 x^{2}$ , iar coeficientul cerut este $24$ . La exponent impar ar fi existat doi termeni la mijloc.

Ce fac cu un coeficient numeric al lui a sau b când aplic termenul general?

Îl iei împreună cu litera și ridici toată paranteza la putere. În $(2 x + 3)^{5}$ , elementul întâi este $2 x$ , iar al doilea este $3$ , deci apar $(2 x)^{5 - k}$ și $3^{k}$ . Ridicarea doar a literei ar lăsa deoparte factori numerici importanți.

Oamenii mai întreabă și: termenul general al binomului · cum aflu al patrulea termen al unei dezvoltări · formula T de k plus 1 · rangul unui termen binomial · termenul din mijloc al dezvoltării