Cum calculez termenul de rang n al progresiei?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Termenul general al progresiei aritmetice

Se folosește $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ , adică pleci de la $a_{1}$ și adaugi rația de $n - 1$ ori. Pentru $a_{1} = 5$ și $r = 3$ , termenul de rang $20$ este $5 + 19 \cdot 3 = 62$ . Formula leagă patru mărimi, deci din trei o afli pe a patra. Când se dau doi termeni oarecare ai unei progresii aritmetice, merge și varianta scurtă $a_{n} = a_{m} + (n - m) r$ .

Ca să ajungi la termenul de rang $n$ nu ești obligat să treci prin toți termenii dinainte. Formula termenului general îl dă direct: $a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r$ .

Exponentul de atenție este $(n - 1)$ , nu $n$ : de la $a_{1}$ până la $a_{n}$ faci $n - 1$ pași, nu $n$ . Pentru $a_{1} = 5$ și $r = 3$ obținem $a_{20} = 5 + 19 \cdot 3 = 5 + 57 = 62$ .

Formula leagă patru mărimi: $a_{n}$ , $a_{1}$ , $n$ și $r$ . Dacă știi trei dintre ele, o afli pe a patra. De exemplu, cu $a_{1} = 7$ , $a_{n} = 52$ și $r = 5$ : $52 = 7 + (n - 1) \cdot 5$ , deci $(n - 1) \cdot 5 = 45$ , adică $n = 10$ .

Când problema dă doi termeni oarecare, folosește varianta scurtă $a_{n} = a_{m} + (n - m) \cdot r$ . Din $a_{4} = 13$ și $a_{9} = 33$ ies $5 r = 20$ și $r = 4$ , fără să calculezi întâi $a_{1}$ .

Verificarea care te scapă de greșeli: pune $n = 1$ în formula obținută. Trebuie să iasă chiar $a_{1}$ , pentru că $(1 - 1) \cdot r = 0$ . Dacă nu iese, ai numărat un pas în plus undeva.

De reținut

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$
$r = \frac{a _{n} - a _{m}}{n - m}$ , cu diferența rangurilor la numitor
verificarea: la $n = 1$ formula trebuie să dea $a_{1}$

Greșeala tipică

Se scrie $a_{n} = a_{1} + n r$ , cu un pas în plus, iar toate rezultatele ies decalate. Pune $n = 1$ în formulă: trebuie să obții exact primul termen.

Exerciții din această mini-lecție

O progresie aritmetică are $a_{1} = 6$ și $r = 4$ . Cât este $a_{15}$ ?
- a) $58$
- b) $60$
- c) $62$
- d) $66$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $62$

$a_{15} = 6 + (15 - 1) \cdot 4 = 6 + 56 = 62$ . Cine înmulțește cu $15$ în loc de $14$ obține $66$ — exact greșeala pe care o previne $(n - 1)$ . Iar $58$ este $a_{14}$ .
Într-o progresie aritmetică, $a_{1} = - 3$ și $r = 7$ . Care termen este egal cu $60$ ?
- a) $a_{9}$
- b) $a_{10}$
- c) $a_{11}$
- d) $a_{63}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $a_{10}$

Din $- 3 + (n - 1) \cdot 7 = 60$ obținem $(n - 1) \cdot 7 = 63$ , deci $n - 1 = 9$ și $n = 10$ . Cine uită să adune $1$ la final se oprește la $a_{9}$ ; cine uită să împartă la $7$ ajunge la $a_{63}$ .
Într-o progresie aritmetică, $a_{5} = 20$ și $a_{11} = 44$ . Cât este rația?
- a) $3$
- b) $4$
- c) $6$
- d) $24$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $4$

Între rangurile $5$ și $11$ sunt $11 - 5 = 6$ pași, deci $a_{11} - a_{5} = 6 r$ . Din $44 - 20 = 24 = 6 r$ iese $r = 4$ . Răspunsul $24$ este creșterea totală, nu rația; $6$ este numărul de pași.

Întrebări conexe

Cât este al zecelea termen dacă primul e 7 și rația 5?

De la $a_{1}$ până la $a_{10}$ sunt nouă pași, deci $a_{10} = 7 + 9 \cdot 5 = 52$ . Greșeala obișnuită este să se înmulțească cu $10$ și să iasă $57$ . Numără mereu pașii, nu termenii, când folosești formula.

Ce se schimbă în formulă dacă rația este negativă?

Nimic la scriere, doar rezultatele coboară în loc să urce. Pentru $a_{1} = 40$ și $r = - 3$ , termenul de rang $10$ este $40 - 27 = 13$ . Semnul minus se pune în calcul odată cu rația, fără nicio schimbare de formulă.

Poate un termen al unei progresii aritmetice să fie zero?

Da, dacă ecuația $a_{1} + (n - 1) r = 0$ are soluție număr natural nenul. Pentru $a_{1} = 20$ și $r = - 4$ iese $n = 6$ , deci al șaselea termen este $0$ . Dacă rangul obținut nu este întreg, șirul trece pe lângă zero fără să îl atingă.

De ce punctele unei progresii aritmetice stau pe o dreaptă?

Pentru că formula este de gradul întâi în rang: $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ se rescrie ca $r n + (a_{1} - r)$ . Reprezentate în plan, perechile rang-termen se așază pe o dreaptă cu panta egală cu rația. Punctele sunt însă izolate, fiindcă rangul ia doar valori întregi.

Ce se întâmplă cu formula dacă rația este zero?

Toți termenii devin egali cu primul, fiindcă produsul $(n - 1) \cdot 0$ se anulează. Șirul rămâne progresie aritmetică, doar că este constant. Este singura situație în care termenul de rang $1000$ coincide cu cel de rang $2$ .

Cum aflu al doilea termen dacă știu al cincilea și rația?

Cobori trei pași înapoi: $a_{2} = a_{5} - 3 r$ . Pentru $a_{5} = 23$ și $r = 4$ obții $a_{2} = 23 - 12 = 11$ . Formula scurtă merge în ambele sensuri, iar diferența rangurilor spune de câți pași este vorba. Verificarea se face urcând la loc, din $a_{2}$ spre $a_{5}$ .

Oamenii mai întreabă și: formula termenului general al progresiei aritmetice · termenul general progresie aritmetică · cum aflu al n-lea termen al progresiei · formula progresiei aritmetice · a n egal cu a 1 plus n minus 1 ori r