Cum scriu un număr complex trigonometric?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Trecerea între forme

Calculezi întâi modulul, $r = a^{2} + b^{2}$ , apoi stabilești cadranul din semnele celor două părți, scrii $cos φ = \frac{a}{r}$ și $sin φ = \frac{b}{r}$ , alegi unghiul din intervalul cadranului și verifici întorcându-te la forma de plecare. Pentru $- 5 + 5 i$ ai $r = 52$ , semnele arată cadranul al doilea, iar valorile duc la $φ = \frac{3 π}{4}$ . Cadranul se stabilește înaintea argumentului, fiindcă tangenta singură nu îl deosebește de cel opus.

Algoritmul de trecere de la forma algebrică la cea trigonometrică are cinci pași: calculezi modulul $r = a^{2} + b^{2}$ ; stabilești cadranul din semnele lui $a, b$ ; scrii $cos φ = \frac{a}{r}$ , $sin φ = \frac{b}{r}$ ; identifici $φ$ în intervalul cadranului; verifici revenind la forma algebrică. Cadranul se stabilește înainte de argument — este cel mai eficient control al răspunsului.

Capcana tangentei: din $tg φ = \frac{b}{a}$ nu poți determina singur argumentul, pentru că tangenta are perioada $π$ , nu $2 π$ : în $[0, 2 π)$ există două valori cu aceeași tangentă, în cadrane diagonal opuse (de exemplu $1 + i$ și $- 1 - i$ ). Perechea $(cos φ, sin φ)$ , în schimb, determină argumentul fără ambiguitate.

Drumul invers, de la forma trigonometrică la cea algebrică, este direct: $a = r cos φ$ , $b = r sin φ$ .

Pentru numere înrudite: $∣ \overset{z}{ˉ} ∣ = ∣ - z ∣ = ∣ z ∣$ , iar $ar g \overset{z}{ˉ} = 2 π - ar g z$ (conjugatul se „oglindește” față de axa reală), respectiv $ar g (- z) = ar g z \pm π$ (opusul e la o jumătate de tură distanță), semnul ales astfel încât rezultatul să rămână în $[0, 2 π)$ .

O precauție care merită reținută pe de rost: dacă $a = 0$ , tangenta nici măcar nu există, iar argumentul se citește direct, $\frac{π}{2}$ sau $\frac{3 π}{2}$ , după semnul lui $b$ — nu are rost să cauți un raport pentru un număr de pe axa imaginară.

De reținut

$r = a^{2} + b^{2}$ , apoi cadranul, apoi argumentul
$cos φ = \frac{a}{r}$ , $sin φ = \frac{b}{r}$
tangenta are perioada $π$ , deci nu deosebește cadranele opuse

Greșeala tipică

Se ia argumentul direct din tangenta raportului dintre părți. Tangenta dă aceeași valoare pentru două direcții opuse, deci cadranul trebuie stabilit separat, din semnele celor două părți.

Exerciții din această mini-lecție

Numerele $2 + 2 i 3$ și $- 2 - 2 i 3$ au aceeași tangentă a argumentului. În ce cadran se află imaginea lui $- 2 - 2 i 3$ ?
- a) cadranul III
- b) cadranul I
- c) cadranul II
- d) cadranul IV
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) cadranul III

Ambele componente sunt negative, deci imaginea e în cadranul III — deși tangenta e aceeași cu a lui $2 + 2 i 3$ (cadranul I), tangenta singură nu distinge un număr de opusul lui.
Care este argumentul redus al numărului $z = - 5 + 5 i$ ?
- a) $\frac{π}{4}$
- b) $\frac{3 π}{4}$
- c) $\frac{5 π}{4}$
- d) $\frac{7 π}{4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{3 π}{4}$

$r = 52$ ; semnele $(-, +)$ dau cadranul II; $cos φ = - \frac{2}{2}$ , $sin φ = \frac{2}{2}$ , deci $φ = \frac{3 π}{4}$ .
Care este argumentul redus al conjugatului unui număr cu argument redus $\frac{π}{5}$ ?
- a) $\frac{4 π}{5}$
- b) $\frac{π}{5}$
- c) $\frac{9 π}{5}$
- d) $\frac{6 π}{5}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{9 π}{5}$

$ar g \overset{z}{ˉ} = 2 π - ar g z = 2 π - \frac{π}{5} = \frac{9 π}{5}$ .

Întrebări conexe

Care sunt cei cinci pași ai trecerii în forma trigonometrică?

Calculezi modulul, stabilești cadranul din semnele părților, scrii cosinusul și sinusul argumentului ca rapoarte cu modulul, identifici unghiul în intervalul cadranului, apoi verifici întorcându-te la forma algebrică. Ordinea contează: cadranul stabilit înaintea argumentului rămâne controlul cel mai sigur al răspunsului.

Care este argumentul redus al numărului minus 5 plus 5i?

Modulul este $25 + 25 = 52$ . Semnele, minus la partea reală și plus la cea imaginară, arată cadranul al doilea. Din $cos φ = - \frac{2}{2}$ și $sin φ = \frac{2}{2}$ rezultă $φ = \frac{3 π}{4}$ , adică $135$ de grade. Verificarea se face întorcându-te la forma algebrică.

Ce fac dacă modulul iese un radical urât?

Îl lași sub formă exactă și îl folosești ca atare în rapoartele pentru cosinus și sinus, unde de obicei se simplifică. Pentru $- 5 + 5 i$ modulul $52$ dispare din calcul după simplificare, lăsând valori remarcabile. Aproximarea zecimală se face abia la sfârșit, dacă enunțul o cere.

Ce modul are opusul unui număr complex?

Același ca al numărului de la care pleci, fiindcă opusul se află la aceeași depărtare de origine, doar în partea cealaltă. Se schimbă numai direcția, iar argumentul se mută cu $π$ , în plus sau în minus, după cum e nevoie.

Cum verific forma trigonometrică găsită?

Desfaci paranteza înapoi: înmulțești modulul cu cosinusul și obții partea reală, apoi cu sinusul și obții partea imaginară. Dacă amândouă se potrivesc cu numărul de la care ai plecat, scrierea este corectă. Un al doilea control este cadranul, care trebuie să corespundă semnelor celor două părți.

Cum scriu în formă trigonometrică un număr real negativ?

Modulul este valoarea lui absolută, iar argumentul este $π$ , fiindcă punctul cade pe axa reală, la stânga originii. Astfel $- 6$ devine $6 (cos π + i sin π)$ . Greșeala obișnuită este să se lase minusul în fața parantezei, ceea ce ar da un modul negativ.

Oamenii mai întreabă și: trecerea în forma trigonometrică · cum aflu argumentul unui număr complex · de ce nu ajunge tangenta pentru argument · cum determin cadranul · din trigonometrică în algebrică