Ce este sinusul într-un triunghi dreptunghic?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Trigonometria în triunghiul dreptunghic

Este raportul dintre cateta din fața unghiului ales și ipotenuză. Cosinusul este raportul dintre cateta care formează unghiul, alături de ipotenuză, și ipotenuză, iar tangenta este raportul celor două catete. Rezultatele se schimbă odată cu unghiul, dar rămân aceleași oricât ai mări sau micșora figura, fiindcă toate triunghiurile dreptunghice cu acel unghi sunt asemenea.

Într-un triunghi dreptunghic, pentru un unghi ascuțit $x$ definim trei rapoarte între laturi: $sin x = \frac{cateta opus a ˘}{ipotenuz a ˘}$ , $cos x = \frac{cateta al a ˘ turat a ˘}{ipotenuz a ˘}$ și $tg x = \frac{cateta opus a ˘}{cateta al a ˘ turat a ˘}$ . Cateta alăturată unui unghi este cea care îl formează, împreună cu ipotenuza; cea opusă nu atinge unghiul — confuzia dintre ele este greșeala numărul unu a lecției.

Valorile remarcabile se rețin din memorie: $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , $sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ , $sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ , iar cosinusurile sunt aceleași valori citite invers ( $cos 3 0^{\circ} = sin 6 0^{\circ}$ ); $tg 4 5^{\circ} = 1$ .

Unghiurile complementare dintr-un triunghi dreptunghic verifică $sin (9 0^{\circ} - x) = cos x$ , iar formula fundamentală $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ , împreună cu $tg x = \frac{sin x}{cos x}$ , permit aflarea celorlalte valori pornind de la una singură.

Cu aceste unelte poți rezolva un triunghi dreptunghic: afli o latură necunoscută înmulțind ipotenuza (sau cealaltă catetă) cu raportul potrivit, sau afli un unghi când cunoști două laturi. Verifică mereu rezultatul cu teorema lui Pitagora — ipotenuza trebuie să fie cea mai lungă latură.

Toate definițiile funcționează doar în triunghiul dreptunghic. Terenurile reale au, de cele mai multe ori, triunghiuri fără niciun unghi drept — pentru ele avem nevoie de teoremele cosinusului și sinusurilor, din lecțiile următoare.

De reținut

sinus: cateta opusă împărțită la ipotenuză
cosinus: cateta alăturată împărțită la ipotenuză
tangentă: cateta opusă împărțită la cea alăturată
rapoartele depind doar de unghi, nu de mărimea triunghiului

Greșeala tipică

Se încurcă cele două catete și sinusul iese calculat cu cea alăturată; cateta opusă este singura care nu atinge unghiul ales.

Exerciții din această mini-lecție

Într-un triunghi dreptunghic $A B C$ , cu unghiul drept în $C$ , tangenta unghiului $A$ este:
- a) $\frac{B C}{A C}$
- b) $\frac{B C}{A B}$
- c) $\frac{A C}{A B}$
- d) $\frac{A C}{B C}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{B C}{A C}$

$tg A = \frac{opus a ˘ lui A}{al a ˘ turat a ˘ lui A}$ . Latura opusă unghiului $A$ este $B C$ (nu atinge vârful $A$ ), iar cea alăturată este $A C$ . Deci $tg A = \frac{B C}{A C}$ .
Cât este $sin 6 0^{\circ}$ ?
- a) $\frac{2}{2}$
- b) $\frac{3}{2}$
- c) $1$
- d) $\frac{1}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{3}{2}$

Valoare remarcabilă de memorat: $sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2} \approx 0, 87$ . Nu confunda cu $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ sau cu $sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ , celelalte două valori remarcabile aflate printre variante.
Dacă $x$ este un unghi ascuțit cu $sin x = 0, 6$ , cât este $cos (9 0^{\circ} - x)$ ?
- a) $0, 8$
- b) nu se poate determina
- c) $0, 6$
- d) $0, 4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $0, 6$

Din formula unghiurilor complementare, $cos (9 0^{\circ} - x) = sin x = 0, 6$ .

Întrebări conexe

Cum calculez cosinusul unui unghi ascuțit?

Împarți cateta care formează unghiul la ipotenuză. Într-un triunghi cu catetele $6$ și $8$ și ipotenuza $10$ , cosinusul unghiului dintre cateta de $6$ și ipotenuză este $0, 6$ . Rezultatul rămâne mereu sub unu, fiindcă o catetă este mai scurtă decât ipotenuza.

Cum aflu o catetă dacă știu ipotenuza și un unghi?

Înmulțești ipotenuza cu sinusul unghiului, dacă vrei cateta din fața lui, sau cu cosinusul, dacă vrei cealaltă catetă. Pentru ipotenuză $10$ și unghi de $3 0^{\circ}$ , cateta opusă iese $5$ . Verifici cu teorema lui Pitagora.

Ce este tangenta unui unghi ascuțit?

Este raportul dintre cele două catete, cea din fața unghiului împărțită la cea care îl formează. Ea nu are limită superioară, spre deosebire de sinus și cosinus. Pentru unghiul de $4 5^{\circ}$ rezultatul este unu, fiindcă atunci catetele sunt egale.

Cum aflu un unghi dacă știu cele două catete?

Calculezi raportul lor, care este tangenta unghiului, apoi cauți unghiul în tabel sau pe calculator. Pentru catetele $3$ și $4$ raportul este $0, 75$ , iar unghiul iese aproximativ $3 7^{\circ}$ . Al doilea unghi ascuțit se obține prin scădere din $9 0^{\circ}$ .

Ce relație există între sinusul și cosinusul unghiurilor ascuțite ale unui triunghi dreptunghic?

Sinusul unuia este egal cu cosinusul celuilalt, fiindcă cele două unghiuri se completează până la un unghi drept, iar aceeași catetă este opusă unuia și alăturată celuilalt. De aceea sinusul de $3 0^{\circ}$ și cosinusul de $6 0^{\circ}$ dau același număr.

Oamenii mai întreabă și: sinusul într-un triunghi dreptunghic · sin, cos și tg în triunghiul dreptunghic · cateta opusă supra ipotenuză · rapoartele trigonometrice de bază