Cum se construiește triunghiul lui Pascal?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Triunghiul lui Pascal

Fiecare rând începe și se termină cu $1$ , iar orice număr din interior este suma celor două de deasupra lui. Rândurile se numerotează de la zero, la fel și pozițiile din fiecare rând, astfel încât numărul de pe rândul $n$ , poziția $k$ , să fie exact $C_{n}^{k}$ . Rândul $6$ , de pildă, este $1$ , $6$ , $15$ , $20$ , $15$ , $6$ , $1$ . Fiecare rând este simetric, iar suma numerelor de pe rândul $n$ este $2^{n}$ .

Regula de construcție: fiecare linie începe și se termină cu $1$ , iar fiecare număr din interior este suma celor două numere de deasupra lui. Liniile se numerotează de la $0$ , iar pozițiile de pe fiecare linie tot de la $0$ : numărul de pe linia $n$ , poziția $k$ , este exact $C_{n}^{k}$ — triunghiul e formula de recurență $C_{n}^{k} = C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^{k}$ pusă în tabel.

Simetria fiecărei linii vine din combinările complementare, $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ : cel mai mare număr de pe o linie este întotdeauna cel din mijloc. Diagonalele poartă șiruri cunoscute: prima e mereu $1$ , a doua sunt numerele naturale ( $C_{n}^{1} = n$ ), a treia sunt numerele triunghiulare ( $C_{n}^{2}$ ).

Suma numerelor de pe linia $n$ este $2^{n}$ — numărul tuturor submulțimilor unei mulțimi cu $n$ elemente, numărate o dată direct (prin $2^{n}$ ) și o dată grupate după mărime (prin sumă). Liniile triunghiului sunt exact coeficienții dezvoltării $(a + b)^{n}$ : linia $4$ , $1, 4, 6, 4, 1$ , dă dezvoltarea lui $(a + b)^{4}$ . Numerotarea de la $0$ , nu de la $1$ , este esențială — altfel toate corespondențele se decalează.

De reținut

numărul de pe rândul $n$ , poziția $k$ : $C_{n}^{k}$
fiecare număr = suma celor două de deasupra
suma rândului $n$ : $2^{n}$

Greșeala tipică

Se numerotează rândurile pornind de la unu, iar corespondența cu combinările se decalează. Vârful triunghiului este rândul zero, care conține un singur $1$ .

Exerciții din această mini-lecție

Calculați suma numerelor de pe linia $7$ a triunghiului lui Pascal.
- a) $128$
- b) $64$
- c) $256$
- d) $49$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $128$

Suma numerelor de pe linia $n$ este $2^{n}$ : pentru $n = 7$ , suma este $2^{7} = 128$ .
Folosind triunghiul lui Pascal, determinați $C_{9}^{3}$ .
- a) $126$
- b) $84$
- c) $36$
- d) $9$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $84$

Linia $9$ este $1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1$ . Poziția $3$ (numerotată de la $0$ ) este $84$ .
Câte submulțimi cu cel mult $2$ elemente are o mulțime cu $6$ elemente?
- a) $15$
- b) $64$
- c) $22$
- d) $21$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $22$

Sunt primele trei numere de pe linia $6$ : $C_{6}^{0} + C_{6}^{1} + C_{6}^{2} = 1 + 6 + 15 = 22$ .

Întrebări conexe

Ce număr se află pe linia n, la poziția k, în triunghiul lui Pascal?

Este chiar $C_{n}^{k}$ , cu numerotarea pornită de la zero în amândouă direcțiile. Triunghiul nu este altceva decât formula de recurență a combinărilor așezată în tabel: fiecare număr se obține adunându-le pe cele două de deasupra, exact ca în relația $C_{n}^{k} = C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^{k}$ .

De ce începe și se termină fiecare linie cu 1?

Fiindcă $C_{n}^{0} = C_{n}^{n} = 1$ : există o singură submulțime fără niciun element, cea vidă, și una singură care le cuprinde pe toate. La construcție, capetele nu au doi vecini deasupra, așa că li se scrie direct valoarea $1$ .

Ce șiruri cunoscute apar pe diagonalele triunghiului lui Pascal?

Prima diagonală este formată numai din unu. A doua dă numerele naturale, fiindcă $C_{n}^{1} = n$ . A treia dă numerele triunghiulare, $C_{n}^{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ , adică $1$ , $3$ , $6$ , $10$ și așa mai departe.

Cât face C de 9 luate câte 3, citit din triunghiul lui Pascal?

Rândul $9$ este $1$ , $9$ , $36$ , $84$ , $126$ , $126$ , $84$ , $36$ , $9$ , $1$ . Poziția $3$ , numărată de la zero, este al patrulea număr, adică $84$ . Rezultatul se confirmă prin formulă: $\frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{6} = 84$ .

De ce este simetric fiecare rând al triunghiului lui Pascal?

Fiindcă a alege $k$ obiecte dintr-o mulțime înseamnă totodată a lăsa deoparte celelalte, deci numărul de alegeri este același în ambele sensuri. Pe rândul $n$ , numărul de pe poziția $k$ coincide astfel cu cel de pe poziția $n - k$ , iar rândul se citește la fel de la ambele capete.

Până la ce linie merită construit triunghiul lui Pascal?

Cam până la linia $10$ : mai departe numerele cresc repede și adunările devin mai lungi decât calculul direct cu formula combinărilor. Pentru un singur coeficient dintr-o linie mare se folosește formula; triunghiul rămâne util când ai nevoie de toată linia deodată.

Oamenii mai întreabă și: triunghiul lui Pascal · cum se construiește triunghiul lui Pascal · suma numerelor de pe o linie a triunghiului · coeficienți binomiali din triunghi · linia 6 a triunghiului lui Pascal