Se știe că propoziția «Dacă plouă, atunci strada este udă» este adevărată și că strada este udă. Ce se poate conchide sigur?

Nu se poate stabili dacă plouă.

Se știe că «orice număr divizibil cu $$6$$ este divizibil cu $$3$$» și că numărul $$24$$ este divizibil cu $$6$$. Ce rezultă?

$$24$$ este divizibil cu $$3$$.

$$24$$ este divizibil cu $$9$$.

Implicația «$$x = 3 \Rightarrow x^2 = 9$$» este adevărată. Ce se poate spune despre reciproca ei, «$$x^2 = 9 \Rightarrow x = 3$$»?

Este și ea adevărată, orice implicație adevărată are reciproca adevărată.

Este falsă, pentru că $$x$$ poate fi $$9$$.

Nu are sens să vorbim despre reciprocă.

Când este valid un raționament?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Verifici logic fiecare pas

Când fiecare pas se sprijină pe o implicație adevărată, iar ipotezele de la care pornești sunt adevărate. Regula de bază spune că, din $p$ și $p \Rightarrow q$ , se obține $q$ . Nu merge invers: din „strada e udă” nu rezultă că a plouat. La ecuații, pașii care nu sunt reversibili, cum sunt ridicarea la pătrat sau împărțirea printr-o expresie ce se poate anula, cer verificarea finală.

Logica nu se învață ca să scrii $\land$ și $\lor$ frumos, ci ca să verifici dacă o rezolvare ține.

Regula de bază (modus ponens): dacă $p \Rightarrow q$ este adevărată și $p$ este adevărată, atunci $q$ este adevărată. Atât. Din $p \Rightarrow q$ și $q$ nu rezultă $p$ : «dacă plouă, strada e udă» plus «strada e udă» nu înseamnă că plouă — putea trece mașina de stropit.

Reciproca nu se moștenește: $x = 3 \Rightarrow x^{2} = 9$ este adevărată, dar $x^{2} = 9 \Rightarrow x = 3$ este falsă, pentru că $x$ poate fi $- 3$ .

Două capcane care apar mereu la ecuații:

împărțirea printr-o expresie care poate fi zero: din $x^{2} = 5 x$ , dacă împarți prin $x$ , obții doar $x = 5$ și pierzi soluția $x = 0$ . Corect: $x^{2} - 5 x = 0$ , deci $x (x - 5) = 0$ ;
ridicarea la pătrat, care poate adăuga soluții false: ea transformă o ecuație într-una care spune mai puțin, așa că la final verifici fiecare soluție în ecuația inițială.

Reține: un pas este valid dacă implicația din spatele lui este adevărată; iar când pașii nu sunt echivalențe, verificarea finală este obligatorie.

De reținut

din $p$ și $p \Rightarrow q$ rezultă $q$
din $q$ și $p \Rightarrow q$ nu rezultă $p$
după un pas ireversibil, verificarea în enunțul inițial devine obligatorie

Greșeala tipică

Ecuația $x^{2} = 5 x$ este împărțită prin $x$ și rămâne doar soluția $5$ , deși și $0$ o verifică. Scrie $x (x - 5) = 0$ și citește ambele soluții din produsul nul.

Exerciții din această mini-lecție

Se știe că propoziția «Dacă plouă, atunci strada este udă» este adevărată și că strada este udă. Ce se poate conchide sigur?
- a) Sigur plouă.
- b) Sigur nu plouă.
- c) Nu se poate stabili dacă plouă.
- d) Implicația dată este falsă.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) Nu se poate stabili dacă plouă.

Din $p \Rightarrow q$ și $q$ nu rezultă $p$ — ar însemna să folosim reciproca, care nu a fost dată. Strada poate fi udă și din alt motiv. Regula validă merge în celălalt sens: din $p \Rightarrow q$ și $p$ rezultă $q$ .
Se știe că «orice număr divizibil cu $6$ este divizibil cu $3$ » și că numărul $24$ este divizibil cu $6$ . Ce rezultă?
- a) $24$ este divizibil cu $3$ .
- b) $24$ este divizibil cu $9$ .
- c) Nu se poate conchide nimic.
- d) $24$ este număr prim.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $24$ este divizibil cu $3$ .

Aici ipoteza chiar se împlinește, deci implicația «se descarcă»: $24$ este divizibil cu $3$ (într-adevăr, $24 = 3 \cdot 8$ ). Varianta b) nu decurge din regula dată — și e chiar falsă, $24$ nu se împarte exact la $9$ .
Implicația « $x = 3 \Rightarrow x^{2} = 9$ » este adevărată. Ce se poate spune despre reciproca ei, « $x^{2} = 9 \Rightarrow x = 3$ »?
- a) Este și ea adevărată, orice implicație adevărată are reciproca adevărată.
- b) Este falsă, pentru că $x$ poate fi $- 3$ .
- c) Este falsă, pentru că $x$ poate fi $9$ .
- d) Nu are sens să vorbim despre reciprocă.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Este falsă, pentru că $x$ poate fi $- 3$ .

Contraexemplul este $x = - 3$ : ipoteza $x^{2} = 9$ este adevărată, dar concluzia $x = 3$ este falsă. Varianta c) nu merge: $9^{2} = 81$ , deci $x = 9$ nici nu îndeplinește ipoteza.

Întrebări conexe

Ce este negarea ipotezei și de ce nu are voie?

Este raționamentul care pornește de la „ $p \Rightarrow q$ ” și de la faptul că $p$ nu are loc, ca să tragă concluzia că nici $q$ nu are loc. Nu ține: dacă nu plouă, strada poate fi totuși udă. Implicația nu spune nimic despre cazurile în care ipoteza lipsește.

Cum recunosc un pas ireversibil într-o rezolvare?

Te întrebi dacă poți reface drumul înapoi. Ridicarea la pătrat, înmulțirea cu o expresie care se poate anula sau eliminarea unui numitor sunt pași care nu se întorc singuri. Când răspunsul este „nu”, marchezi pasul și pregătești verificarea de la final.

Ce se strică dacă înmulțesc o inecuație cu un număr negativ?

Se pierde sensul inegalității, dacă nu îl schimbi odată cu înmulțirea. Din $- 2 x < 6$ rezultă $x > - 3$ , nu $x < - 3$ . Pasul rămâne reversibil doar cu întoarcerea semnului; altfel mulțimea soluțiilor iese complet pe dos.

Poate un raționament valid să ducă la o concluzie falsă?

Da, dacă a pornit de la ipoteze false. Validitatea privește doar legătura dintre pași, nu adevărul datelor de la început. Un lanț corect aplicat unor premise greșite dă o concluzie în care nu te poți încrede, chiar dacă niciun pas nu e de reproșat.

Cum scriu o rezolvare ca să se vadă că fiecare pas e corect?

Notezi la început condițiile și datele, apoi treci de la un rând la altul cu semnul potrivit: săgeată simplă acolo unde pasul merge într-un singur sens, dublă săgeată acolo unde se poate și înapoi. La final scrii mulțimea soluțiilor și verificarea, dacă a fost nevoie.

Contează ordinea pașilor într-o demonstrație?

Da, fiindcă fiecare pas se sprijină pe ce a fost deja stabilit. Folosirea unei concluzii înainte de a o demonstra este un cerc vicios, chiar dacă la final totul pare să se lege. Ordinea corectă merge dinspre ipoteze spre concluzie, fără sărituri.

Oamenii mai întreabă și: raționament valid în logică · modus ponens · greșeala reciprocei · de ce apar soluții străine · pași reversibili la ecuații