Cum calculez valoarea unui polinom?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Valoarea unui polinom. Funcția

Înlocuiești nedeterminata cu numărul cerut și faci calculul: pentru $f = X^{3} - 2 X + 5$ și $α = 2$ obții $f (2) = 8 - 4 + 5 = 9$ . Numărul poate fi real sau complex. Trei valori se citesc direct din coeficienți: $f (0)$ este termenul liber, $f (1)$ este suma coeficienților, iar $f (- 1)$ este suma lor alternată. Evaluarea respectă operațiile, deci se folosește ca metodă de control după orice calcul cu polinoame.

Valoarea polinomului $f = a_{n} X^{n} + \dots + a_{0}$ în $α \in C$ este $f (α) = a_{n} α^{n} + \dots + a_{0}$ , obținută înlocuind $X$ cu $α$ . Funcția polinomială asociată, $\tilde{f} : C \to C$ , este mașinăria care generează aceste valori — polinomul, în schimb, rămâne un obiect formal, o listă de coeficienți.

Trei valori se citesc direct din coeficienți: $f (0) = a_{0}$ (termenul liber), $f (1) =$ suma tuturor coeficienților, $f (- 1) =$ suma alternată. Combinând ultimele două: $S_{p} = \frac{f ( 1 ) + f ( - 1 )}{2}$ (suma coeficienților de rang par) și $S_{i} = \frac{f ( 1 ) - f ( - 1 )}{2}$ (rang impar).

Evaluarea respectă operațiile: $(f + g) (α) = f (α) + g (α)$ și $(f g) (α) = f (α) g (α)$ — de aici metoda de verificare a oricărui calcul cu polinoame, prin evaluare în puncte comode.

Coincidența valorilor în câteva puncte nu înseamnă că polinoamele sunt egale (pe o mulțime finită, polinoame diferite pot da aceeași funcție — de exemplu $X^{3}$ și $X$ coincid pe ${- 1, 0, 1}$ , dar diferă în $2$ ). Peste $C$ , care e infinită, polinoame diferite dau însă întotdeauna funcții diferite — de aceea putem identifica polinomul cu funcția lui, folosind aceeași notație $f (x)$ pentru amândouă. Numărul $α$ cu $f (α) = 0$ se numește rădăcină, iar studiul sistematic al lor începe imediat în lecția următoare.

De reținut

$f (0) = a_{0}$
$f (1) =$ suma coeficienților
$(f g) (α) = f (α) g (α)$

Greșeala tipică

Se ridică la putere fără paranteze la numere negative: $(- 2)^{2}$ este $4$ , nu $- 4$ . Scrie paranteza înainte de a calcula puterea, altfel semnul valorii iese greșit.

Exerciții din această mini-lecție

Pentru $f = 3 X^{3} - 2 X^{2} + 4 X - 1$ , calculați $f (1)$ .
- a) $4$
- b) $3$
- c) $- 1$
- d) $0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $4$

$f (1)$ este suma coeficienților: $3 - 2 + 4 - 1 = 4$ .
Pentru $f = X^{3} - 2 X + 5$ , calculați $f (i)$ .
- a) $5 + 3 i$
- b) $5 - 3 i$
- c) $- 3 i$
- d) $5 - i$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $5 - 3 i$

$f (i) = i^{3} - 2 i + 5 = - i - 2 i + 5 = 5 - 3 i$ , folosind $i^{3} = - i$ .
Care este suma coeficienților polinomului $(3 X - 4)^{6}$ , fără a-l dezvolta?
- a) $729$
- b) $- 1$
- c) $1$
- d) $4096$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $1$

Suma coeficienților este valoarea în $1$ : $(3 \cdot 1 - 4)^{6} = (- 1)^{6} = 1$ .

Întrebări conexe

Cât este $f (0)$ pentru un polinom?

Este chiar termenul liber $a_{0}$ , pentru că toate celelalte monoame conțin nedeterminata și se anulează. La $f = 7 X^{5} - 3 X + 4$ valoarea în zero este $4$ . Egalitatea se folosește invers la fel de des: dacă enunțul dă $f (0)$ , ai aflat termenul liber.

Cum calculez valoarea unui polinom într-un număr complex?

Înlocuiești la fel ca la numere reale, dar scrii explicit puterile unității imaginare: $i^{2} = - 1$ , $i^{3} = - i$ , $i^{4} = 1$ . Pentru $f = X^{2} + X + 1$ și $α = i$ obții $i^{2} + i + 1 = - 1 + i + 1 = i$ . La final grupezi partea reală și partea imaginară.

De ce evaluarea respectă adunarea și înmulțirea polinoamelor?

Pentru că înlocuirea nedeterminatei cu un număr transformă coeficient cu coeficient aceleași operații pe care le fac numerele complexe, iar acestea sunt comutative, asociative și distributive. Rezultă $(f + g) (α) = f (α) + g (α)$ și $(f g) (α) = f (α) g (α)$ , valabile pentru orice $α$ .

Ce reprezintă valoarea unui polinom în $- 1$ ?

Este suma alternată a coeficienților, adică suma celor de rang par minus suma celor de rang impar. La $f = X^{3} - 2 X^{2} + X - 5$ obții $f (- 1) = - 1 - 2 - 1 - 5 = - 9$ . Împreună cu $f (1)$ , această valoare separă cele două sume parțiale de coeficienți.

Poate un polinom cu coeficienți reali să ia valori complexe?

Da, dacă îl evaluezi într-un număr complex nereal. Coeficienții reali nu obligă valorile să fie reale; ei garantează doar că $f (\overset{z}{ˉ}) = \overline{f (z)}$ , adică valorile în numere conjugate sunt tot conjugate. În numere reale, un astfel de polinom dă însă mereu valori reale.

La ce folosesc valorile speciale ale unui polinom la examen?

Scurtează calcule care par lungi: suma coeficienților unei dezvoltări se află înlocuind nedeterminata cu $1$ , fără să desfaci nimic. La fel, ca să arăți că un număr mic este rădăcină, calculezi direct valoarea polinomului în el, în loc să faci împărțirea.

Oamenii mai întreabă și: valoarea unui polinom într-un punct · cum calculez f de a · funcția polinomială asociată · suma coeficienților unui polinom