Sunt punctele $$A(2, 1)$$, $$B(5, 7)$$, $$C(8, 13)$$ coliniare?

da, pentru că $$m_{AB} = m_{AC} = 2$$

nu, pentru că $$m_{AB} = 2$$ și $$m_{AC} = 3$$

da, pentru că $$m_{AB} = 2$$ și $$m_{BC} = 6$$

nu, pentru că abscisele lor sunt toate diferite

Punctele $$A(-3, 4)$$, $$B(-3, -2)$$, $$C(-3, 9)$$ sunt coliniare?

da, sunt coliniare, pe verticala $$x = -3$$; metoda pantelor nu se poate aplica aici

nu, pentru că panta lor nu există

da, dar numai dacă și ordonatele lor ar fi fost egale

nu, pentru că nu se poate scrie ecuația $$y = mx + n$$ pentru ele

Care este condiția de coliniaritate „fără fracții” pentru $$A(x_A, y_A)$$, $$B(x_B, y_B)$$, $$C(x_C, y_C)$$?

$$(x_B - x_A)(y_C - y_A) = (y_C - y_A)(x_B - x_A)$$

$$(x_B - x_A)(y_B - y_A) = (x_C - x_A)(y_C - y_A)$$

Cum verific dacă trei puncte sunt coliniare?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Verificarea coliniarității a trei puncte

Cel mai simplu compari două pante care pornesc din același punct: egalitatea $m_{A B} = m_{A C}$ arată că toate trei se așază pe o singură dreaptă. Metoda cade însă când două dintre ele au aceeași abscisă, fiindcă acolo panta nu există. Sigură în orice situație este relația fără fracții, $(x_{B} - x_{A}) (y_{C} - y_{A}) = (x_{C} - x_{A}) (y_{B} - y_{A})$ . Dacă egalitatea nu se confirmă, punctele formează un triunghi.

Trei puncte $A$ , $B$ , $C$ sunt coliniare dacă există o dreaptă care le conține pe toate trei; două puncte sunt întotdeauna coliniare, iar trei puncte necoliniare formează un triunghi. Metoda pantelor: $A$ , $B$ , $C$ sunt coliniare dacă și numai dacă $m_{A B} = m_{A C}$ — dreptele $A B$ și $A C$ au punctul comun $A$ , iar aceeași pantă înseamnă aceeași direcție, deci coincid. Metoda ecuației: se scrie ecuația dreptei $A B$ și se verifică dacă $C$ o satisface; are avantajul că lasă în mână și ecuația dreptei. Forma fără fracții, valabilă în orice caz, inclusiv când două puncte au aceeași abscisă: $(x_{B} - x_{A}) (y_{C} - y_{A}) = (x_{C} - x_{A}) (y_{B} - y_{A}) .$ Cazuri speciale: dacă toate trei au aceeași abscisă, sunt coliniare pe o verticală (metoda pantelor nu se aplică, dar forma fără fracții funcționează); dacă toate au aceeași ordonată, sunt coliniare pe o orizontală. Problema-tip cu parametru: se scrie ecuația dreptei prin cele două puncte complet cunoscute, se impune ca al treilea punct să o verifice, se rezolvă ecuația obținută în parametru și se verifică soluția. Pentru a arăta că trei puncte formează un triunghi, se demonstrează necoliniaritatea — e suficient să găsești două pante diferite.

De reținut

$m_{A B} = m_{A C}$ înseamnă puncte coliniare
$(x_{B} - x_{A}) (y_{C} - y_{A}) = (x_{C} - x_{A}) (y_{B} - y_{A})$ funcționează în orice caz
trei puncte necoliniare formează un triunghi

Greșeala tipică

Se compară panta lui $A B$ cu panta lui $C D$ , adică două direcții fără niciun punct comun, iar egalitatea lor arată doar paralelism. Perechile alese trebuie să pornească din același vârf.

Exerciții din această mini-lecție

Sunt punctele $A (2, 1)$ , $B (5, 7)$ , $C (8, 13)$ coliniare?
- a) da, pentru că $m_{A B} = m_{A C} = 2$
- b) nu, pentru că $m_{A B} = 2$ și $m_{A C} = 3$
- c) da, pentru că $m_{A B} = 2$ și $m_{B C} = 6$
- d) nu, pentru că abscisele lor sunt toate diferite
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) da, pentru că $m_{A B} = m_{A C} = 2$

$m_{A B} = \frac{7 - 1}{5 - 2} = 2$ și $m_{A C} = \frac{13 - 1}{8 - 2} = \frac{12}{6} = 2$ . Pantele sunt egale, iar dreptele $A B$ și $A C$ au punctul comun $A$ , deci coincid: punctele sunt coliniare (pe $y = 2 x - 3$ ). Varianta b trage concluzia corectă la întâmplare, dar cu o valoare greșită pentru $m_{A C}$ (nu $3$ , ci $2$ ). Varianta c ajunge la o concluzie corectă (da) printr-un calcul greșit: $m_{B C} = \frac{13 - 7}{8 - 5} = \frac{6}{3} = 2$ , nu $6$ — greșeala vine din a uita împărțirea la $3$ . Varianta d invocă un criteriu fals: abscisele diferite nu împiedică deloc coliniaritatea, ba dimpotrivă, este situația obișnuită a unei drepte oblice.
Punctele $A (- 3, 4)$ , $B (- 3, - 2)$ , $C (- 3, 9)$ sunt coliniare?
- a) da, sunt coliniare, pe verticala $x = - 3$ ; metoda pantelor nu se poate aplica aici
- b) nu, pentru că panta lor nu există
- c) da, dar numai dacă și ordonatele lor ar fi fost egale
- d) nu, pentru că nu se poate scrie ecuația $y = m x + n$ pentru ele
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) da, sunt coliniare, pe verticala $x = - 3$ ; metoda pantelor nu se poate aplica aici

Toate trei au abscisa $- 3$ , deci verifică ecuația $x = - 3$ : sunt coliniare, pe această dreaptă verticală (confirmare cu forma fără fracții: $0 \cdot 5 = 0 \cdot 6$ ). Metoda pantelor nu se poate folosi, pentru că o verticală nu are pantă — dar asta nu înseamnă necoliniaritate. Varianta b face exact această confuzie tipică: „panta nu există” cu „punctele nu sunt coliniare”. Varianta c inversează criteriul: pentru coliniaritate pe o verticală contează abscisele egale, nu ordonatele. Varianta d observă corect că verticala nu e graficul unei funcții, dar trage o concluzie greșită: acest fapt ține de poziția dreptei, nu de coliniaritatea punctelor de pe ea.
Care este condiția de coliniaritate „fără fracții” pentru $A (x_{A}, y_{A})$ , $B (x_{B}, y_{B})$ , $C (x_{C}, y_{C})$ ?
- a) $(x_{B} - x_{A}) (y_{C} - y_{A}) = (x_{C} - x_{A}) (y_{B} - y_{A})$
- b) $(x_{B} - x_{A}) (y_{C} - y_{A}) = (y_{C} - y_{A}) (x_{B} - x_{A})$
- c) $(x_{B} - x_{A}) (y_{B} - y_{A}) = (x_{C} - x_{A}) (y_{C} - y_{A})$
- d) $(x_{B} + x_{A}) (y_{C} + y_{A}) = (x_{C} + x_{A}) (y_{B} + y_{A})$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(x_{B} - x_{A}) (y_{C} - y_{A}) = (x_{C} - x_{A}) (y_{B} - y_{A})$

Condiția se obține înmulțind „în cruce” egalitatea pantelor $\frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}} = \frac{y _{C} - y _{A}}{x _{C} - x _{A}}$ , ceea ce dă exact $(x_{B} - x_{A}) (y_{C} - y_{A}) = (x_{C} - x_{A}) (y_{B} - y_{A})$ . Varianta b este o identitate banală, adevărată întotdeauna prin comutativitatea înmulțirii (cei doi membri sunt aceiași factori, doar în altă ordine) — nu spune nimic despre coliniaritate. Varianta c amestecă perechile greșit, înmulțind coordonatele lui $B$ între ele și pe cele ale lui $C$ între ele, în loc de termenii încrucișați. Varianta d folosește sume în loc de diferențe, deci nu mai corespunde deloc egalității pantelor.

Întrebări conexe

Sunt coliniare punctele de coordonate 1 și 2, 3 și 6, 5 și 10?

Da. Panta primei perechi este $\frac{6 - 2}{3 - 1} = 2$ , iar cea a perechii formate cu al treilea punct este $\frac{10 - 2}{5 - 1} = 2$ . Valorile coincid, deci toate trei se află pe dreapta $y = 2 x$ .

Ce arată egalitatea a două pante calculate din puncte diferite?

Doar că cele două drepte sunt paralele, nu că ar coincide. Ca să tragi concluzia de coliniaritate, perechile trebuie să aibă un punct comun. Altfel poți obține pante egale pentru două drepte care nu se ating niciodată.

Cum verific coliniaritatea folosind ecuația unei drepte?

Scrii ecuația dreptei prin două dintre puncte, apoi înlocuiești coordonatele celui de al treilea. Dacă egalitatea se confirmă, punctele sunt coliniare. Metoda are un avantaj: îți lasă în mână și ecuația dreptei, utilă mai departe în problemă.

Ce legătură are coliniaritatea cu aria unui triunghi?

Trei puncte coliniare dau un triunghi turtit, cu aria zero, fiindcă înălțimea se anulează. De aceea, în probleme, condiția de coliniaritate se poate scrie și ca anulare a ariei. Rezultatul este același cu cel dat de relația fără fracții.

Câte puncte sunt mereu coliniare, indiferent de poziție?

Oricare două, fiindcă prin ele trece întotdeauna o dreaptă. Abia de la al treilea punct întrebarea capătă sens, iar răspunsul poate fi și negativ. Cu patru sau mai multe puncte, condiția se verifică din trei în trei.

Ce se întâmplă dacă cele trei puncte au aceeași abscisă?

Sunt coliniare pe o dreaptă verticală, chiar dacă metoda pantelor nu se poate aplica. Relația fără fracții dă atunci zero de amândouă părțile, deci confirmă rezultatul. Analog, ordonate egale înseamnă coliniaritate pe o orizontală.

Oamenii mai întreabă și: coliniaritatea a trei puncte · cum arăt că trei puncte sunt pe aceeași dreaptă · condiția de coliniaritate · trei puncte formează triunghi · puncte coliniare formulă