Test: Cercul trigonometric, grade și radiani

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Cercul trigonometric și funcțiile trigonometrice

Exerciții

Partea I – Grade, radiani și cadrane

Exercițiul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Măsura în radiani a unui unghi de $13 5^{\circ}$ este: A. $\frac{3 π}{4}$ ; B. $\frac{4 π}{3}$ ; C. $\frac{2 π}{3}$ ; D. $\frac{5 π}{6}$ .

b) Măsura în grade a unui unghi de $\frac{5 π}{6}$ radiani este: A. $12 0^{\circ}$ ; B. $13 5^{\circ}$ ; C. $15 0^{\circ}$ ; D. $21 0^{\circ}$ .

c) Punctul asociat numărului $\frac{7 π}{4}$ pe cercul trigonometric se află în: A. cadranul I; B. cadranul II; C. cadranul III; D. cadranul IV.

Exercițiul 2 (6 puncte)

a) Transformă în radiani, lăsând rezultatul cu $π$ : $1 5^{\circ}$ , $7 2^{\circ}$ , $22 5^{\circ}$ , $33 0^{\circ}$ . (2 p) b) Transformă în grade: $\frac{2 π}{9}$ , $\frac{7 π}{6}$ , $\frac{3 π}{4}$ , $\frac{5 π}{3}$ . (2 p) c) Precizează cadranul în care se află punctul asociat fiecăruia dintre numerele $\frac{5 π}{4}$ , $\frac{11 π}{6}$ , $\frac{2 π}{3}$ , $\frac{π}{5}$ . (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Un unghi de $1$ radian are măsura de aproximativ $5 7^{\circ}$ ." b) „Numerele $\frac{π}{3}$ și $\frac{7 π}{3}$ au același punct asociat pe cercul trigonometric." c) „Punctul asociat numărului $- \frac{π}{4}$ se află în cadranul II." d) „Dacă un arc are măsura de $2$ radiani, atunci punctul său asociat se află în cadranul I."

Exercițiul 4 (6 puncte)

a) Desenează cercul trigonometric, marchează sensul pozitiv de parcurgere și numerotează cele patru cadrane. Marchează punctele $A (1, 0)$ , $B (0, 1)$ , $A^{'} (- 1, 0)$ , $B^{'} (0, - 1)$ și scrie, lângă fiecare, numărul din $[0, 2 π)$ care îi este asociat. (2 p) b) Marchează pe același desen punctele asociate numerelor $\frac{π}{6}$ , $\frac{3 π}{4}$ , $\frac{7 π}{6}$ , $\frac{5 π}{3}$ . (2 p) c) Precizează, pentru fiecare dintre cele patru puncte de la b), cadranul în care se află. (2 p)

Partea a II-a – Punctul asociat, arce și aplicații

Exercițiul 5 (8 puncte)

Pentru fiecare număr de mai jos, determină numărul din intervalul $[0, 2 π)$ care are același punct asociat pe cercul trigonometric și precizează cadranul (câte 2 puncte): a) $\frac{9 π}{4}$ ; b) $\frac{17 π}{6}$ ; c) $\frac{11 π}{3}$ ; d) $- \frac{5 π}{4}$ — la acest punct explică și de ce numerele $x$ și $x + 2 k π$ ( $k \in Z$ ) au același punct asociat.

Exercițiul 6 (7 puncte)

O roată de bicicletă are raza $R = 35$ cm. Lungimea arcului parcurs de un punct de pe jantă când roata se rotește cu un unghi de $t$ radiani este $ℓ = R \cdot t$ .

a) Ce lungime de arc parcurge un punct de pe jantă când roata se rotește cu $\frac{2 π}{3}$ radiani? (3 p) b) Câți radiani descrie roata în $3$ rotații complete? (2 p) c) Ce unghi (în radiani și în grade) corespunde unui arc de lungime $\frac{35 π}{2}$ cm? (2 p)

Exercițiul 7 (7 puncte)

Se consideră un ceas analogic cu ace.

a) Ce unghi descrie acul minutar în $20$ de minute? Exprimă rezultatul în grade și în radiani. (2 p) b) Ce unghi descrie acul minutar în $50$ de minute? Exprimă rezultatul în grade și în radiani. (2 p) c) Ce unghi descrie acul orar în $2$ ore? Exprimă rezultatul în grade și în radiani. (2 p) d) După câte minute acul minutar a descris un unghi de $\frac{3 π}{4}$ radiani? (1 p)

Exercițiul 8 (6 puncte)

a) Determină toate numerele reale $x$ care au același punct asociat pe cercul trigonometric ca numărul $\frac{π}{6}$ . (2 p) b) Câte puncte distincte se obțin pe cercul trigonometric din numerele de forma $\frac{k π}{4}$ , cu $k \in Z$ ? Justifică. (2 p) c) Determină toate numerele din intervalul $[0, 4 π]$ al căror punct asociat este $A^{'} (- 1, 0)$ . (2 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

Se consideră numerele $10 0^{\circ}$ , $2$ radiani, $\frac{5 π}{6}$ și $\frac{3 π}{2}$ .

a) Scrie-le în ordine crescătoare, aducându-le mai întâi la aceeași unitate de măsură. (2 p) b) Precizează, pentru fiecare, cadranul în care se află punctul asociat. (2 p) c) Determină mulțimea valorilor lui $x \in [0, 2 π]$ pentru care punctul asociat lui $x$ se află în cadranul III. (2 p)

Partea a III-a – Probleme, demonstrații și itemi de tip examen

Exercițiul 10 (8 puncte)

O roată panoramică are $12$ cabine așezate la distanțe egale pe roată. Cabina numărul $1$ pornește din punctul $A (1, 0)$ al cercului, iar roata se rotește în sens trigonometric.

a) Ce unghi la centru, în radiani, separă două cabine vecine? (2 p) b) După ce roata s-a rotit cu $\frac{5 π}{3}$ radiani, în ce cadran se află cabina numărul $1$ ? (2 p) c) Roata face o tură completă în $15$ minute. Ce unghi, în radiani, descrie ea în $4$ minute? (2 p) d) După câte minute ajunge cabina numărul $1$ , pentru prima dată, în punctul $B (0, 1)$ ? (2 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.)

a) Demonstrează formula de transformare din grade în radiani, $α_{rad} = \frac{π}{180} \cdot α_{grade},$ pornind de la faptul că unui unghi la centru de $18 0^{\circ}$ îi corespunde, pe cercul de rază $1$ , un arc de lungime $π$ . (3 p) b) Folosind formula demonstrată, transformă în radiani unghiurile de $1 2^{\circ}$ și de $16 5^{\circ}$ . (3 p) c) Arată că un unghi cu măsura de $\frac{π}{7}$ radiani nu are măsura în grade exprimată printr-un număr întreg. (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

Pe cercul trigonometric se consideră punctele $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ , asociate numerelor $\frac{π}{4}$ , $\frac{3 π}{4}$ , $\frac{5 π}{4}$ , respectiv $\frac{7 π}{4}$ .

a) Desenează cercul trigonometric și marchează cele patru puncte. (2 p) b) Arată că patrulaterul $M N P Q$ este pătrat. (2 p) c) Calculează lungimea laturii pătratului. (2 p) d) Calculează aria pătratului $M N P Q$ . (2 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.)

a) Arătați că un unghi de $\frac{5 π}{6}$ radiani are măsura de $15 0^{\circ}$ . (2 p) b) Determinați numărul $x \in [0, 2 π)$ care are același punct asociat pe cercul trigonometric ca numărul $\frac{25 π}{6}$ . (3 p) c) Determinați câte numere din mulțimea ${\frac{k π}{6} k \in {0, 1, 2, \dots, 11}}$ au punctul asociat în cadranul II. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) A. $13 5^{\circ} = \frac{π}{180} \cdot 13 5^{\circ} = \frac{135 π}{180} = \frac{3 π}{4}$ (se simplifică prin $45$ ). Varianta $B$ este $24 0^{\circ}$ , iar $C$ este $12 0^{\circ}$ . b) C. $\frac{5 π}{6} rad = (\frac{180}{π} \cdot \frac{5 π}{6})^{\circ} = 15 0^{\circ}$ . c) D. $\frac{7 π}{4} = 1, 75 π$ , iar $\frac{3 π}{2} = 1, 5 π < 1, 75 π < 2 π$ , deci punctul se află în cadranul IV. (În grade: $\frac{7 π}{4} = 31 5^{\circ}$ .)

Exercițiul 2. (6 p)

a) (2 p) — câte $0, 5$ p: $1 5^{\circ} = \frac{15 π}{180} = \frac{π}{12}, 7 2^{\circ} = \frac{72 π}{180} = \frac{2 π}{5}, 22 5^{\circ} = \frac{225 π}{180} = \frac{5 π}{4}, 33 0^{\circ} = \frac{330 π}{180} = \frac{11 π}{6} .$

b) (2 p) — câte $0, 5$ p: $\frac{2 π}{9} rad = (\frac{2 \cdot 180}{9})^{\circ} = 4 0^{\circ}, \frac{7 π}{6} rad = (\frac{7 \cdot 180}{6})^{\circ} = 21 0^{\circ},$ $\frac{3 π}{4} rad = (\frac{3 \cdot 180}{4})^{\circ} = 13 5^{\circ}, \frac{5 π}{3} rad = (\frac{5 \cdot 180}{3})^{\circ} = 30 0^{\circ} .$

c) (2 p) — câte $0, 5$ p. Se compară cu reperele $\frac{π}{2} = 0, 5 π$ , $π$ , $\frac{3 π}{2} = 1, 5 π$ :

$\frac{5 π}{4} = 1, 25 π \in (π, 1, 5 π)$ — cadranul III;
$\frac{11 π}{6} \approx 1, 83 π \in (1, 5 π, 2 π)$ — cadranul IV;
$\frac{2 π}{3} \approx 0, 67 π \in (0, 5 π, π)$ — cadranul II;
$\frac{π}{5} = 0, 2 π \in (0, 0, 5 π)$ — cadranul I.

Exercițiul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) A. Din $π rad = 18 0^{\circ}$ rezultă $1 rad = \frac{180}{π} \approx \frac{180}{3 , 14} \approx 57, 3^{\circ}$ . Un radian este, așadar, ceva mai mult decât $5 7^{\circ}$ — de aceea un unghi drept „încape" de puțin peste $1, 5$ ori într-un radian și invers. b) A. $\frac{7 π}{3} - \frac{π}{3} = \frac{6 π}{3} = 2 π$ , adică exact o rotație completă. Numerele care diferă printr-un multiplu întreg de $2 π$ indică același punct pe cerc. c) F. Numărul $- \frac{π}{4}$ se parcurge în sens invers celui trigonometric, adică în jos de la $A (1, 0)$ ; echivalent, $- \frac{π}{4} + 2 π = \frac{7 π}{4} = 1, 75 π$ , deci punctul este în cadranul IV, nu în II. d) F. Avem $\frac{π}{2} \approx 1, 57$ și $π \approx 3, 14$ , deci $\frac{π}{2} < 2 < π$ : punctul se află în cadranul II. (În grade, $2$ radiani $\approx 114, 6^{\circ}$ .)

Exercițiul 4. (6 p)

a) (2 p) Cerc cu centrul în origine și raza $1$ , cu săgeata sensului trigonometric (invers acelor de ceasornic) (0,5 p); cadranele numerotate I (dreapta-sus), II (stânga-sus), III (stânga-jos), IV (dreapta-jos) (0,5 p); punctele și numerele asociate (1 p): $A (1, 0) \leftrightarrow 0, B (0, 1) \leftrightarrow \frac{π}{2}, A^{'} (- 1, 0) \leftrightarrow π, B^{'} (0, - 1) \leftrightarrow \frac{3 π}{2} .$

b) (2 p) — câte $0, 5$ p pentru fiecare punct corect plasat: $\frac{π}{6} = 3 0^{\circ}$ (aproape de $A$ , puțin deasupra axei $O x$ ); $\frac{3 π}{4} = 13 5^{\circ}$ (la mijlocul cadranului II); $\frac{7 π}{6} = 21 0^{\circ}$ (puțin sub axa $O x$ , în stânga); $\frac{5 π}{3} = 30 0^{\circ}$ (în cadranul IV, aproape de $B^{'}$ ).

c) (2 p) — câte $0, 5$ p: $\frac{π}{6}$ — cadranul I; $\frac{3 π}{4}$ — cadranul II; $\frac{7 π}{6}$ — cadranul III; $\frac{5 π}{3}$ — cadranul IV.

Exercițiul 5. (8 p) — câte 2 puncte (1 p reducerea, 1 p cadranul).

a) $\frac{9 π}{4} - 2 π = \frac{9 π - 8 π}{4} = \frac{π}{4}$ . Cum $0 < \frac{π}{4} < \frac{π}{2}$ , punctul este în cadranul I.

b) $\frac{17 π}{6} - 2 π = \frac{17 π - 12 π}{6} = \frac{5 π}{6}$ . Cum $\frac{π}{2} < \frac{5 π}{6} < π$ , punctul este în cadranul II.

c) $\frac{11 π}{3} - 2 π = \frac{11 π - 6 π}{3} = \frac{5 π}{3}$ . Cum $\frac{3 π}{2} < \frac{5 π}{3} < 2 π$ , punctul este în cadranul IV.

d) $- \frac{5 π}{4} + 2 π = \frac{- 5 π + 8 π}{4} = \frac{3 π}{4}$ , deci punctul este în cadranul II. Explicație: lungimea cercului trigonometric este $2 π R = 2 π$ , așadar a adăuga $2 π$ la un număr înseamnă a parcurge exact o tură completă și a reveni în același loc. Repetând, orice multiplu întreg $2 k π$ (adăugat sau scăzut) lasă punctul neschimbat, deci $M (x) = M (x + 2 k π)$ pentru orice $k \in Z$ .

Exercițiul 6. (7 p)

a) (3 p) Se aplică $ℓ = R \cdot t$ cu $R = 35$ cm și $t = \frac{2 π}{3}$ (1 p): $ℓ = 35 \cdot \frac{2 π}{3} = \frac{70 π}{3} cm (1,5 p) .$ Aproximativ, $\frac{70 \cdot 3 , 14}{3} \approx 73, 3$ cm (0,5 p).

b) (2 p) O rotație completă înseamnă $2 π$ radiani (1 p), deci trei rotații înseamnă $3 \cdot 2 π = 6 π$ radiani (1 p).

c) (2 p) Din $ℓ = R t$ rezultă $t = \frac{ℓ}{R} = \frac{35 π /2}{35} = \frac{π}{2}$ radiani (1 p), adică $9 0^{\circ}$ (1 p) — un sfert de tură.

Exercițiul 7. (7 p)

a) (2 p) În $60$ de minute acul minutar face o tură completă, deci în $20$ de minute parcurge $\frac{20}{60} = \frac{1}{3}$ din tur (1 p): $\frac{1}{3} \cdot 36 0^{\circ} = 12 0^{\circ} = \frac{2 π}{3} radiani (1 p) .$

b) (2 p) $\frac{50}{60} = \frac{5}{6}$ din tur (1 p), adică $\frac{5}{6} \cdot 36 0^{\circ} = 30 0^{\circ} = \frac{5 π}{3}$ radiani (1 p).

c) (2 p) Acul orar face o tură completă în $12$ ore, deci în $2$ ore parcurge $\frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ din tur (1 p), adică $6 0^{\circ} = \frac{π}{3}$ radiani (1 p).

d) (1 p) Unghiul $\frac{3 π}{4}$ reprezintă $\frac{3 π /4}{2 π} = \frac{3}{8}$ din tur, deci durata este $\frac{3}{8} \cdot 60 = 22, 5$ minute (adică $22$ de minute și $30$ de secunde).

Exercițiul 8. (6 p)

a) (2 p) Două numere au același punct asociat exact când diferă printr-un multiplu întreg de $2 π$ (1 p), deci $x = \frac{π}{6} + 2 k π, k \in Z (1 p) .$

b) (2 p) Se obțin exact $8$ puncte distincte (1 p). Justificare: $\frac{k π}{4}$ și $\frac{k ^{'} π}{4}$ dau același punct dacă și numai dacă diferența lor este multiplu de $2 π$ , adică $\frac{( k - k ^{'} ) π}{4} = 2 mπ$ , deci $k - k^{'} = 8 m$ . Prin urmare punctele se repetă din $8$ în $8$ , iar valorile $k = 0, 1, 2, \dots, 7$ dau puncte diferite (1 p). Ele sunt vârfurile unui octogon regulat înscris în cerc (cele patru puncte de pe axe și mijloacele celor patru cadrane).

c) (2 p) Punctul $A^{'} (- 1, 0)$ este asociat numărului $π$ , deci $x = π + 2 k π = (2 k + 1) π$ (1 p). În intervalul $[0, 4 π]$ rămân $x = π$ și $x = 3 π$ (1 p).

Exercițiul 9. (6 p)

a) (2 p) Aducem totul la radiani (sau la grade) (1 p): $10 0^{\circ} = \frac{100 π}{180} = \frac{5 π}{9} \approx 1, 745; 2 rad = 2; \frac{5 π}{6} \approx 2, 618; \frac{3 π}{2} \approx 4, 712.$ Ordinea crescătoare este $10 0^{\circ} < 2 rad < \frac{5 π}{6} < \frac{3 π}{2}$ (1 p). (În grade: $10 0^{\circ} < 114, 6^{\circ} < 15 0^{\circ} < 27 0^{\circ}$ .)

b) (2 p) — câte $0, 5$ p. $10 0^{\circ}$ — cadranul II; $2$ radiani $\approx 114, 6^{\circ}$ — cadranul II; $\frac{5 π}{6} = 15 0^{\circ}$ — cadranul II; $\frac{3 π}{2} = 27 0^{\circ}$ — nu se află în niciun cadran, punctul asociat este $B^{'} (0, - 1)$ , pe semiaxa negativă $O y$ .

c) (2 p) Cadranul III este porțiunea de cerc dintre $A^{'} (- 1, 0)$ și $B^{'} (0, - 1)$ , deci $x \in (π, \frac{3 π}{2})$ . Capetele se exclud, pentru că punctele de pe axe nu aparțin cadranelor.

Exercițiul 10. (8 p)

a) (2 p) Cele $12$ cabine împart cercul în $12$ arce egale (1 p), deci unghiul dintre două cabine vecine este $\frac{2 π}{12} = \frac{π}{6} radiani (= 3 0^{\circ}) (1 p) .$

b) (2 p) Cabina pornește din punctul asociat lui $0$ , deci după rotația cu $\frac{5 π}{3}$ ajunge în punctul asociat numărului $\frac{5 π}{3}$ (1 p). Cum $\frac{3 π}{2} < \frac{5 π}{3} < 2 π$ , cabina se află în cadranul IV (1 p). (În grade: $30 0^{\circ}$ .)

c) (2 p) În $15$ minute roata descrie $2 π$ radiani, deci în $4$ minute descrie $\frac{4}{15}$ din tur (1 p): $\frac{4}{15} \cdot 2 π = \frac{8 π}{15} radiani (1 p) .$

d) (2 p) Punctul $B (0, 1)$ este asociat numărului $\frac{π}{2}$ , adică un sfert de tură (1 p). Timpul necesar este $\frac{1}{4} \cdot 15 = \frac{15}{4} = 3, 75$ minute, adică $3$ minute și $45$ de secunde (1 p).

Exercițiul 11. (8 p) — redactare completă.

a) (3 p) Pe cercul de rază $R = 1$ , un unghi la centru de $18 0^{\circ}$ subîntinde o semicircumferință, a cărei lungime este $\frac{2 π R}{2} = π$ (1 p). Prin definiție, măsura în radiani a unui unghi la centru este lungimea arcului subîntins pe cercul de rază $1$ , deci $18 0^{\circ}$ înseamnă $π$ radiani (0,5 p). Măsura arcului este direct proporțională cu unghiul la centru, deci raportul dintre măsura în radiani și cea în grade este constant (1 p): $\frac{α _{rad}}{α _{grade}} = \frac{π}{180} ⟹ α_{rad} = \frac{π}{180} \cdot α_{grade} (0,5 p) . ■$

b) (3 p) — câte $1, 5$ p: $1 2^{\circ} = \frac{π}{180} \cdot 12 = \frac{12 π}{180} = \frac{π}{15}; 16 5^{\circ} = \frac{165 π}{180} = \frac{11 π}{12}$ (la prima se simplifică prin $12$ , la a doua prin $15$ ).

c) (2 p) Aplicăm transformarea inversă (1 p): $\frac{π}{7} rad = \frac{180}{π} \cdot \frac{π}{7} = \frac{180}{7} \approx 25, 7 1^{\circ} .$ Cum $7$ nu divide $180$ (avem $180 = 7 \cdot 25 + 5$ ), fracția $\frac{180}{7}$ nu este număr întreg (1 p). $■$ (Observație: exact acesta este motivul pentru care în trigonometrie se lucrează cu radiani — unghiurile „frumoase" în radiani nu sunt întotdeauna frumoase în grade și invers.)

Exercițiul 12. (8 p)

a) (2 p) Cercul trigonometric cu cele patru puncte marcate la mijlocul fiecărui cadran: $M$ pentru $\frac{π}{4} = 4 5^{\circ}$ (cadranul I), $N$ pentru $\frac{3 π}{4} = 13 5^{\circ}$ (cadranul II), $P$ pentru $\frac{5 π}{4} = 22 5^{\circ}$ (cadranul III), $Q$ pentru $\frac{7 π}{4} = 31 5^{\circ}$ (cadranul IV) — câte $0, 5$ p pentru fiecare punct.

b) (2 p) Diferența dintre două numere consecutive din listă este mereu aceeași: $\frac{3 π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} - \frac{3 π}{4} = \frac{7 π}{4} - \frac{5 π}{4} = \frac{π}{2}, iar \frac{π}{4} + 2 π - \frac{7 π}{4} = \frac{π}{2} .$ Cele patru arce $M N$ , $N P$ , $P Q$ , $QM$ sunt deci egale (1 p). Arce egale subîntind coarde egale, deci $M N = N P = P Q = QM$ ; în plus, $M N P Q$ este un patrulater inscriptibil cu cele patru arce egale, deci și unghiurile lui sunt egale (fiecare unghi înscris subîntinde două arce, adică o semicircumferință, deci are $9 0^{\circ}$ ). Un patrulater cu toate laturile egale și toate unghiurile drepte este pătrat (1 p). $■$

c) (2 p) Punctele $M$ și $P$ sunt diametral opuse (diferența numerelor este $π$ ), deci $M P$ este diametru: $M P = 2 R = 2$ (1 p). Într-un pătrat de latură $ℓ$ , diagonala este $ℓ 2$ , deci $ℓ 2 = 2$ , de unde $ℓ = \frac{2}{2} = 2 (1 p) .$

d) (2 p) $A_{M N P Q} = ℓ^{2} = (2)^{2} = 2$ (unități de arie). (Verificare rapidă: aria unui pătrat cu diagonala $d$ este $\frac{d ^{2}}{2} = \frac{4}{2} = 2$ ✓.)

Exercițiul 13. (8 p)

a) (2 p) Aplicăm formula de transformare (1 p): $\frac{5 π}{6} rad = \frac{180}{π} \cdot \frac{5 π}{6} = \frac{5 \cdot 180}{6} = 5 \cdot 3 0^{\circ} = 15 0^{\circ} (1 p) . ■$

b) (3 p) Scădem din $\frac{25 π}{6}$ multipli de $2 π = \frac{12 π}{6}$ până ajungem în $[0, 2 π)$ (1 p): $\frac{25 π}{6} - 2 π = \frac{25 π - 12 π}{6} = \frac{13 π}{6}, \frac{13 π}{6} - 2 π = \frac{13 π - 12 π}{6} = \frac{π}{6} (1,5 p) .$ Cum $0 \leq \frac{π}{6} < 2 π$ , răspunsul este $x = \frac{π}{6}$ (0,5 p). (Verificare: $\frac{25 π}{6} - \frac{π}{6} = \frac{24 π}{6} = 4 π = 2 \cdot 2 π$ ✓.)

c) (3 p) Punctul asociat lui $\frac{k π}{6}$ este în cadranul II dacă și numai dacă (1 p) $\frac{π}{2} < \frac{k π}{6} < π .$ Împărțim prin $π > 0$ și înmulțim cu $6$ : $3 < k < 6$ (1,5 p). Valorile întregi convenabile sunt $k = 4$ și $k = 5$ , deci există $2$ astfel de numere: $\frac{4 π}{6} = \frac{2 π}{3}$ și $\frac{5 π}{6}$ (0,5 p). (Pentru $k = 3$ se obține $\frac{π}{2}$ , iar pentru $k = 6$ se obține $π$ — ambele pe axe, deci în niciun cadran.)

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică poarta de intrare în trigonometrie: măsurarea unghiurilor și a arcelor. Sunt evaluate trei lucruri. Primul: cele două unități de măsură — gradul, moștenit din antichitate, și radianul, măsura naturală a arcului, definit ca unghiul la centru căruia îi corespunde, pe cercul de rază $1$ , un arc de lungime $1$ ; elevul trebuie să treacă fluent dintr-o unitate în alta și să recunoască imediat valorile uzuale. Al doilea: cercul trigonometric — cercul cu centrul în originea reperului și raza $1$ , parcurs în sens trigonometric (invers acelor de ceasornic), cu cele patru cadrane și cu punctele de pe axe. Al treilea, cel mai important pentru tot ce urmează: punctul asociat unui număr real — orice număr real $x$ „se înfășoară" pe cerc și indică un punct $M (x)$ , iar numerele care diferă printr-un multiplu întreg de $2 π$ indică același punct. Sunt acoperite lecțiile Măsura unui arc: grade și radiani și Cercul trigonometric și punctele asociate numerelor reale. Sinusul, cosinusul și tangenta fac obiectul testului următor al unității — aici nu apar deloc.

Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie de matematică, cu riglă și compas, fără calculator. Rezultatele în radiani se lasă exprimate cu $π$ (de exemplu $\frac{3 π}{4}$ , nu $2, 356$ ). La itemii cu desen se punctează separat cercul corect trasat, sensul marcat și pozițiile punctelor. La final se compară rezolvările cu Baremul și răspunsurile.
Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe transformarea grade $\leftrightarrow$ radiani și pe identificarea cadranului.
Formule de reținut: un unghi de $18 0^{\circ}$ măsoară $π$ radiani, de unde regula de transformare $α_{rad} = \frac{π}{180} \cdot α_{grade}, α_{grade} = \frac{180}{π} \cdot α_{rad} .$ Valorile uzuale: $3 0^{\circ} = \frac{π}{6}$ , $4 5^{\circ} = \frac{π}{4}$ , $6 0^{\circ} = \frac{π}{3}$ , $9 0^{\circ} = \frac{π}{2}$ , $18 0^{\circ} = π$ , $27 0^{\circ} = \frac{3 π}{2}$ , $36 0^{\circ} = 2 π$ ; un radian are aproximativ $5 7^{\circ}$ . Cercul trigonometric are centrul $O (0, 0)$ și raza $1$ ; punctele de pe axe sunt $A (1, 0)$ , $B (0, 1)$ , $A^{'} (- 1, 0)$ , $B^{'} (0, - 1)$ și corespund numerelor $0$ , $\frac{π}{2}$ , $π$ , $\frac{3 π}{2}$ . Cadranele: $I = (0, \frac{π}{2})$ , $II = (\frac{π}{2}, π)$ , $III = (π, \frac{3 π}{2})$ , $IV = (\frac{3 π}{2}, 2 π)$ . Punctul asociat: $M (x) = M (y)$ dacă și numai dacă $x - y = 2 k π$ , cu $k \in Z$ ; pentru a găsi cadranul lui $x$ , se scade sau se adună $2 π$ până când numărul ajunge în $[0, 2 π)$ . Lungimea arcului subîntins de un unghi la centru de $t$ radiani într-un cerc de rază $R$ este $ℓ = R \cdot t$ (formulă valabilă doar cu unghiul exprimat în radiani — de aici „naturalețea" radianului).

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".