Test: Coliniaritate și intersecții de drepte

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Dreapta în planul cartezian

Exerciții

Partea I – Coliniaritate și poziții relative

Exercițiul 1 (6 puncte)

Stabilește, calculând pantele, dacă punctele date sunt coliniare (câte 2 puncte): a) $A(-2,-3)$, $B(1,3)$, $C(3,7)$; b) $D(0,1)$, $E(2,5)$, $F(5,10)$; c) $G(-4,6)$, $H(0,2)$, $I(3,-1)$.

Exercițiul 2 (6 puncte)

Determină coordonatele punctului de intersecție al dreptelor date (câte 3 puncte): a) $y=2x-1$ și $y=-x+8$; b) $y=\frac{1}{2}x+3$ și $y=3x-2$.

Exercițiul 3 (6 puncte)

Precizează poziția relativă a fiecărei perechi de drepte (concurente, paralele sau confundate), cu justificare. Acolo unde dreptele sunt concurente, determină și punctul lor de intersecție (câte 2 puncte): a) $y=3x-2$ și $y=3x+5$; b) $y=-x+4$ și $y=2x-5$; c) $2x-y+3=0$ și $4x-2y+6=0$.

Exercițiul 4 (8 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Punctele $A(1,1)$, $B(3,5)$ și $C(6,11)$ sunt: A. coliniare; B. vârfurile unui triunghi isoscel; C. vârfurile unui triunghi dreptunghic; D. vârfurile unui triunghi oarecare.

b) Dreptele de ecuații $y=4x-3$ și $y=4x+1$ sunt: A. concurente; B. paralele; C. confundate; D. una orizontală și una verticală.

c) Soluția sistemului $\{\begin{array}{l}y=x+2\\ y=-x+6\end{array}$ este perechea: A. $(2,4)$; B. $(4,2)$; C. $(0,2)$; D. $(6,0)$.

d) Dreptele de ecuații $y=2x+1$ și $x=3$ se intersectează în punctul: A. $(3,7)$; B. $(7,3)$; C. $(3,1)$; D. nu se intersectează.

Partea a II-a – Parametri, verificări și aplicații

Exercițiul 5 (6 puncte)

a) Determină numărul real $a$ pentru care punctele $A(-1,2)$, $B(2,8)$ și $C(4,a)$ sunt coliniare. (3 p) b) Determină numărul real $b$ pentru care punctele $P(b,1)$, $Q(3,7)$ și $R(5,11)$ sunt coliniare. (3 p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

Verifică dacă punctul $M(2,-1)$ aparține fiecăreia dintre dreptele de mai jos (câte 2 puncte): a) $y=3x-7$; b) $2x+y-3=0$; c) $y=-x+2$.

Exercițiul 7 (8 puncte)

Două oferte de abonament la internet mobil se calculează astfel: oferta A costă $20$ de lei pe lună, plus $4$ lei pentru fiecare gigabyte consumat; oferta B costă $44$ de lei pe lună, plus $1$ leu pentru fiecare gigabyte consumat. Notăm cu $x$ numărul de gigabyți consumați într-o lună.

a) Scrie formulele costurilor $C_A$ și $C_B$ în funcție de $x$. (2 p) b) Determină numărul de gigabyți pentru care cele două oferte costă la fel și precizează costul corespunzător. (3 p) c) Care ofertă este mai avantajoasă pentru un consum de $5$ GB? (1,5 p) d) Care ofertă este mai avantajoasă pentru un consum de $12$ GB? (1,5 p)

Exercițiul 8 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Două drepte cu aceeași pantă și cu ordonate la origine diferite nu au niciun punct comun." b) „Dacă trei puncte au aceeași abscisă, atunci ele nu pot fi coliniare." c) „Un sistem format din două ecuații de gradul I cu două necunoscute are întotdeauna exact o soluție." d) „Dreptele de ecuații $x=2$ și $y=-3$ sunt concurente în punctul $(2,-3)$."

Exercițiul 9 (6 puncte)

Rezolvă sistemele și interpretează geometric soluția obținută (câte 3 puncte): a) $\{\begin{array}{l}3x-y=5\\ x+2y=4\end{array}$ b) $\{\begin{array}{l}2x+3y=12\\ 4x-3y=6\end{array}$

Partea a III-a – Probleme și aplicații

Exercițiul 10 (8 puncte)

Se consideră dreptele $d_1:y=2x-3$, $d_2:y=-x+6$ și $d_3:y=mx+1$, unde $m$ este un număr real.

a) Determină coordonatele punctului $P$ de intersecție al dreptelor $d_1$ și $d_2$. (3 p) b) Determină valoarea lui $m$ pentru care dreapta $d_3$ trece prin punctul $P$ (adică cele trei drepte sunt concurente). (3 p) c) Precizează, pentru $m=2$, poziția relativă a dreptelor $d_3$ și $d_1$, cu justificare. (2 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

Trei stâlpi de iluminat sunt amplasați în punctele $A(-8,-6)$, $B(0,0)$ și $C(12,9)$ de pe planul unei alei, unde unitatea de pe axe reprezintă $10$ metri.

a) Arată, calculând pantele, că cei trei stâlpi sunt aliniați. (3 p) b) Scrie ecuația dreptei pe care se află aleea. (2 p) c) Un al patrulea stâlp se montează pe aceeași alee, la abscisa $16$. Determină coordonatele lui. (1 p) d) Calculează distanțele $AB$ și $BC$, în metri. (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

Pe harta unei comune, unitatea de pe axe reprezintă $1$ km. Drumul județean $d_1$ trece prin punctele $A(-4,-3)$ și $B(8,6)$, iar drumul comunal $d_2$ trece prin punctele $C(-2,9)$ și $D(6,1)$.

a) Scrie ecuația drumului $d_1$. (2 p) b) Scrie ecuația drumului $d_2$. (2 p) c) Determină coordonatele intersecției $P$ a celor două drumuri. (2 p) d) Calculează distanța, în kilometri, de la punctul $A$ până la intersecția $P$. (2 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-2,1)$, $B(4,4)$ și $C(8,6)$.

a) Arată că punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare. (2 p) b) Scrie ecuația dreptei $AB$ sub forma $y=mx+n$. (2 p) c) Determină coordonatele punctului de intersecție al dreptei $AB$ cu dreapta $d:y=-x+8$. (2 p) d) Verifică dacă punctul $D(0,3)$ aparține dreptei $AB$. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 2 puncte (1,5 p calculul pantelor, 0,5 p concluzia). a) $m_{AB}=\frac{3-(-3)}{1-(-2)}=\frac{6}{3}=2$ și $m_{BC}=\frac{7-3}{3-1}=\frac{4}{2}=2$. Cum $m_{AB}=m_{BC}=2$ și dreptele au punctul $B$ în comun, punctele sunt coliniare. b) $m_{DE}=\frac{5-1}{2-0}=2$ și $m_{EF}=\frac{10-5}{5-2}=\frac{5}{3}$. Cum $2\ne \frac{5}{3}$, punctele nu sunt coliniare (sunt vârfurile unui triunghi). c) $m_{GH}=\frac{2-6}{0-(-4)}=\frac{-4}{4}=-1$ și $m_{HI}=\frac{-1-2}{3-0}=\frac{-3}{3}=-1$. Pantele fiind egale, punctele sunt coliniare (pe dreapta $y=-x+2$).

Exercițiul 2. (6 p) — câte 3 puncte (2 p rezolvarea, 1 p verificarea). a) $2x-1=-x+8\Rightarrow 3x=9\Rightarrow x=3$, apoi $y=2\cdot 3-1=5$. Punctul este $(3,5)$. Verificare în a doua ecuație: $-3+8=5$ ✓. b) $\frac{1}{2}x+3=3x-2$. Înmulțim cu $2$: $x+6=6x-4\Rightarrow 5x=10\Rightarrow x=2$, apoi $y=3\cdot 2-2=4$. Punctul este $(2,4)$. Verificare: $\frac{1}{2}\cdot 2+3=4$ ✓.

Exercițiul 3. (6 p) — câte 2 puncte. a) Pantele sunt egale ($m_1=m_2=3$), iar ordonatele la origine diferă ($-2\ne 5$), deci dreptele sunt paralele (nu au niciun punct comun; sistemul este incompatibil). b) Pantele sunt diferite ($-1\ne 2$), deci dreptele sunt concurente. Intersecția: $-x+4=2x-5\Rightarrow 3x=9\Rightarrow x=3$, $y=-3+4=1$, deci punctul $(3,1)$. Verificare: $2\cdot 3-5=1$ ✓. c) A doua ecuație se obține înmulțind-o pe prima cu $2$; ambele se reduc la $y=2x+3$. Dreptele sunt confundate (au o infinitate de puncte comune; sistemul este nedeterminat).

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) A. $m_{AB}=\frac{5-1}{3-1}=2$ și $m_{BC}=\frac{11-5}{6-3}=\frac{6}{3}=2$; pantele fiind egale, punctele sunt coliniare (deci nu formează triunghi). b) B. Aceeași pantă ($4$), ordonate la origine diferite ($-3\ne 1$) → drepte paralele. c) A. $x+2=-x+6\Rightarrow 2x=4\Rightarrow x=2$, $y=2+2=4$, deci soluția este $(2,4)$. d) A. Înlocuim $x=3$ în prima ecuație: $y=2\cdot 3+1=7$, deci punctul este $(3,7)$. (O dreaptă oblică și una verticală sunt întotdeauna concurente.)

Exercițiul 5. (6 p) a) (3 p) $m_{AB}=\frac{8-2}{2-(-1)}=\frac{6}{3}=2$ (1 p). Condiția de coliniaritate este $m_{BC}=m_{AB}$, adică $\frac{a-8}{4-2}=2$ (1 p), deci $a-8=4$ și $\mathbf{a}=12$ (1 p). Verificare: $C(4,12)$ verifică ecuația dreptei $AB$: $y=2x+4$, iar $2\cdot 4+4=12$ ✓. b) (3 p) $m_{QR}=\frac{11-7}{5-3}=\frac{4}{2}=2$ (1 p). Condiția $m_{PQ}=2$ dă $\frac{7-1}{3-b}=2$, adică $6=2(3-b)$ (1 p), deci $3-b=3$ și $\mathbf{b}=0$, adică $P(0,1)$ (1 p). Verificare: dreapta $QR$ are ecuația $y=2x+1$, iar pentru $x=0$ se obține $y=1$ ✓.

Exercițiul 6. (6 p) — câte 2 puncte (1,5 p calculul, 0,5 p concluzia). a) $3\cdot 2-7=6-7=-1=y_M$, deci $M$ aparține dreptei. b) $2\cdot 2+(-1)-3=4-1-3=0$, deci $M$ aparține dreptei. c) $-2+2=0\ne -1$, deci $M$ nu aparține dreptei. Observație: dreptele de la a) și b) au ambele punctul $M$ în comun; pantele lor fiind diferite ($3$ și $-2$), ele sunt concurente exact în $M(2,-1)$.

Exercițiul 7. (8 p) a) (2 p) ${\mathbf{C}}_{\mathbf{A}}=4x+20$ (1 p) și ${\mathbf{C}}_{\mathbf{B}}=\mathbf{x}+44$ (1 p). b) (3 p) Egalăm costurile: $4x+20=x+44$ (1 p), deci $3x=24$ și $\mathbf{x}=8$ GB (1 p). Costul comun: $4\cdot 8+20=52$ lei (verificare: $8+44=52$ lei) — $52$ lei (1 p). Geometric, acesta este punctul de intersecție $(8,52)$ al celor două drepte. c) (1,5 p) Pentru $x=5$: $C_A=4\cdot 5+20=40$ lei, $C_B=5+44=49$ lei. Este mai avantajoasă oferta A. d) (1,5 p) Pentru $x=12$: $C_A=4\cdot 12+20=68$ lei, $C_B=12+44=56$ lei. Este mai avantajoasă oferta B. Concluzie: sub $8$ GB convine oferta A, peste $8$ GB convine oferta B.

Exercițiul 8. (6 p) — câte 1,5 puncte (răspuns + justificare). a) A. Pantele egale înseamnă drepte paralele, iar ordonatele la origine diferite arată că nu sunt confundate; deci nu au niciun punct comun (sistemul corespunzător este incompatibil). b) F. Dimpotrivă: trei puncte cu aceeași abscisă $k$ se află toate pe dreapta verticală $x=k$, deci sunt coliniare. Acesta este singurul caz în care coliniaritatea nu se poate verifica prin pante, fiindcă panta nu există. c) F. Sistemul are soluție unică doar dacă dreptele sunt concurente. Dacă dreptele sunt paralele, nu are nicio soluție; dacă sunt confundate, are o infinitate de soluții. d) A. Prima dreaptă este verticală ($x=2$), a doua orizontală ($y=-3$); ele sunt perpendiculare și se intersectează în punctul de coordonate $(2,-3)$.

Exercițiul 9. (6 p) — câte 3 puncte (2 p rezolvarea, 0,5 p verificarea, 0,5 p interpretarea). a) Din prima ecuație: $y=3x-5$. Înlocuim în a doua: $x+2(3x-5)=4\Rightarrow x+6x-10=4\Rightarrow 7x=14\Rightarrow x=2$, apoi $y=3\cdot 2-5=1$. Soluția este $(2,1)$. Verificare: $3\cdot 2-1=5$ ✓ și $2+2\cdot 1=4$ ✓. Interpretare: dreptele $3x-y=5$ și $x+2y=4$ sunt concurente în punctul $(2,1)$. b) Adunăm cele două ecuații (metoda reducerii): $6x=18\Rightarrow x=3$, apoi din prima $3y=12-6=6\Rightarrow y=2$. Soluția este $(3,2)$. Verificare: $4\cdot 3-3\cdot 2=12-6=6$ ✓. Interpretare: cele două drepte se intersectează în punctul $(3,2)$.

Exercițiul 10. (8 p) a) (3 p) $2x-3=-x+6\Rightarrow 3x=9\Rightarrow x=3$ (2 p), apoi $y=2\cdot 3-3=3$, deci $\mathbf{P}(3,3)$ (1 p). Verificare: $-3+6=3$ ✓. b) (3 p) Impunem ca $P$ să verifice ecuația lui $d_3$: $3=m\cdot 3+1$ (1 p), deci $3m=2$ (1 p) și $\mathbf{m}=\frac{2}{3}$ (1 p). c) (2 p) Pentru $m=2$, dreapta $d_3:y=2x+1$ are aceeași pantă cu $d_1:y=2x-3$ (1 p), dar ordonate la origine diferite ($1\ne -3$), deci cele două drepte sunt paralele — nu au niciun punct comun (1 p).

Exercițiul 11. (8 p) a) (3 p) $m_{AB}=\frac{0-(-6)}{0-(-8)}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$ (1,5 p) și $m_{BC}=\frac{9-0}{12-0}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$ (1,5 p). Pantele fiind egale, iar dreptele având punctul $B$ în comun, cei trei stâlpi sunt aliniați. b) (2 p) Dreapta trece prin $B(0,0)$ și are panta $\frac{3}{4}$, deci ecuația ei este $\mathbf{y}=\frac{3}{4}\mathbf{x}$. Verificare: pentru $x=-8$, $y=-6$ ✓; pentru $x=12$, $y=9$ ✓. c) (1 p) Pentru $x=16$: $y=\frac{3}{4}\cdot 16=12$, deci stâlpul se montează în $\mathbf{D}(16,12)$. d) (2 p) $AB=\sqrt{(0-(-8){)}^2+(0-(-6){)}^2}=\sqrt{64+36}=10$ unități $=100$ m (1 p); $BC=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15$ unități $=150$ m (1 p).

Exercițiul 12. (8 p) a) (2 p) $m_1=\frac{6-(-3)}{8-(-4)}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$ (1 p). Ecuația: $y+3=\frac{3}{4}(x+4)\Rightarrow y=\frac{3}{4}x+3-3$, deci ${\mathbf{d}}_1:\mathbf{y}=\frac{3}{4}\mathbf{x}$ (1 p). Verificare: pentru $x=8$, $y=6$ ✓. b) (2 p) $m_2=\frac{1-9}{6-(-2)}=\frac{-8}{8}=-1$ (1 p). Ecuația: $y-9=-1\cdot (x+2)\Rightarrow {\mathbf{d}}_2:\mathbf{y}=-\mathbf{x}+7$ (1 p). Verificare: pentru $x=6$, $y=1$ ✓. c) (2 p) $\frac{3}{4}x=-x+7$. Înmulțim cu $4$: $3x=-4x+28\Rightarrow 7x=28\Rightarrow x=4$, apoi $y=\frac{3}{4}\cdot 4=3$. Intersecția este $\mathbf{P}(4,3)$. Verificare: $-4+7=3$ ✓. d) (2 p) $AP=\sqrt{(4-(-4){)}^2+(3-(-3){)}^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$ unități, adică $10$ km.

Exercițiul 13. (8 p) a) (2 p) $m_{AB}=\frac{4-1}{4-(-2)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ (1 p) și $m_{BC}=\frac{6-4}{8-4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ (1 p). Cum $m_{AB}=m_{BC}$ și dreptele au punctul $B$ în comun, punctele $A$, $B$, $C$ sunt coliniare. b) (2 p) $y-1=\frac{1}{2}(x+2)\Rightarrow y=\frac{1}{2}x+1+1$, deci $\mathbf{y}=\frac{1}{2}\mathbf{x}+2$. Verificare: pentru $x=8$, $y=4+2=6=y_C$ ✓ (confirmă și coliniaritatea de la a)). c) (2 p) $\frac{1}{2}x+2=-x+8$. Înmulțim cu $2$: $x+4=-2x+16\Rightarrow 3x=12\Rightarrow x=4$, apoi $y=\frac{1}{2}\cdot 4+2=4$. Punctul de intersecție este $(4,4)$ — adică chiar punctul $B$, ceea ce arată că dreapta $d$ trece prin $B$. d) (2 p) Înlocuim $x=0$ în ecuația dreptei $AB$: $y=\frac{1}{2}\cdot 0+2=2\ne 3$. Deci punctul $D(0,3)$ nu aparține dreptei $AB$. (Dreapta $AB$ taie axa $Oy$ în $(0,2)$.)

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică încheierea unității despre dreapta în planul cartezian: elevul trebuie să stabilească dacă trei puncte sunt coliniare (comparând pantele), să determine un parametru astfel încât trei puncte să fie coliniare, să recunoască poziția relativă a două drepte (concurente, paralele sau confundate) și să calculeze punctul de intersecție, rezolvând sistemul format din cele două ecuații. Sunt acoperite lecțiile Verificarea coliniarității a trei puncte și Intersecția a două drepte și interpretarea ei, folosind ca instrumente panta și ecuațiile dreptei din lecțiile anterioare ale unității.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie de matematică, cu riglă. La fiecare punct de intersecție găsit se face verificarea în ambele ecuații — este cel mai simplu mod de a prinde o greșeală de calcul. Concluziile despre coliniaritate se acceptă doar însoțite de valorile pantelor. La final se compară rezolvările cu Baremul și răspunsurile.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, în special legătura dintre sistem și punctul de intersecție.
• Formule de reținut: panta dreptei prin $A(x_A,y_A)$ și $B(x_B,y_B)$ este $m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$, iar ecuația dreptei prin punctul $A$ de pantă $m$ este $y-y_A=m(x-x_A)$. Punctele $A$, $B$, $C$ sunt coliniare dacă și numai dacă $m_{AB}=m_{AC}$ (echivalent, dacă $C$ verifică ecuația dreptei $AB$); cazul special este acela în care toate trei au aceeași abscisă — atunci sunt coliniare pe o dreaptă verticală. Două drepte $y=m_{1}x+n_1$ și $y=m_{2}x+n_2$ sunt concurente dacă $m_1\ne m_2$ (sistemul are soluție unică), paralele dacă $m_1=m_2$ și $n_1\ne n_2$ (sistemul nu are soluție) și confundate dacă $m_1=m_2$ și $n_1=n_2$ (sistemul are o infinitate de soluții). Coordonatele punctului de intersecție sunt soluția sistemului format din cele două ecuații.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".