Test: Coordonate, distanțe și mijloc de segment

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Reperul cartezian și punctele în plan

Exerciții

Partea I – Puncte, cadrane și distanțe

Exercițiul 1 (6 puncte)

Precizează, pentru fiecare punct, cadranul în care se află sau axa pe care se găsește (câte 1 punct): a) $A(3,5)$; b) $B(-2,4)$; c) $C(-4,-1)$; d) $D(6,-3)$; e) $E(0,-7)$; f) $F(-5,0)$.

Exercițiul 2 (6 puncte)

Se consideră punctul $P(-6,8)$. Determină (câte 1 punct): a) cadranul în care se află $P$; b) distanța de la $P$ la axa $Ox$; c) distanța de la $P$ la axa $Oy$; d) distanța $OP$, unde $O$ este originea reperului; e) coordonatele proiecției lui $P$ pe axa $Ox$; f) coordonatele proiecției lui $P$ pe axa $Oy$.

Exercițiul 3 (6 puncte)

Calculează distanța dintre punctele date (câte 2 puncte): a) $A(1,2)$ și $B(4,6)$; b) $C(-3,1)$ și $D(9,6)$; c) $E(2,-3)$ și $F(2,7)$.

Exercițiul 4 (8 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Mijlocul segmentului $[AB]$, unde $A(-3,7)$ și $B(9,1)$, are coordonatele: A. $(6,8)$; B. $(3,4)$; C. $(6,4)$; D. $(12,8)$.

b) Distanța dintre punctele $A(-2,3)$ și $B(6,9)$ este egală cu: A. $8$; B. $10$; C. $14$; D. $100$.

c) Punctul $M(0,-4)$: A. se află în cadranul al III-lea; B. se află în cadranul al IV-lea; C. se află pe axa $Ox$; D. se află pe axa $Oy$.

d) Distanța de la punctul $P(-7,24)$ la originea reperului este egală cu: A. $17$; B. $25$; C. $31$; D. $625$.

Partea a II-a – Mijloc, simetrii și necunoscute

Exercițiul 5 (6 puncte)

Determină coordonatele mijlocului fiecărui segment (câte 2 puncte): a) $[AB]$, cu $A(-7,3)$ și $B(5,-9)$; b) $[CD]$, cu $C(-4,-6)$ și $D(10,2)$; c) $[EF]$, cu $E(0,5)$ și $F(-8,-1)$.

Exercițiul 6 (6 puncte)

Determină coordonatele punctului cerut (câte 2 puncte): a) simetricul punctului $A(-3,5)$ față de axa $Ox$; b) simetricul punctului $B(4,-7)$ față de axa $Oy$; c) simetricul punctului $C(-2,-6)$ față de originea $O$.

Exercițiul 7 (8 puncte)

Pe planul unui parc, unitatea de pe axe reprezintă $100$ de metri. Poarta se află în $P(-2,1)$, foișorul în $F(6,7)$, iar debarcaderul lacului în $L(14,1)$.

a) Calculează distanța $PF$, în unități și în metri. (2 p) b) Calculează distanța $FL$, în unități și în metri. (2 p) c) Calculează distanța $PL$, în unități și în metri. (1 p) d) Un vizitator parcurge, pe rând, aleile $PF$, $FL$ și $LP$, întorcându-se la poartă. Câți metri a mers în total? (3 p)

Exercițiul 8 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Punctul $P(0,-6)$ se află pe axa $Ox$." b) „Dacă două puncte au aceeași abscisă, distanța dintre ele este egală cu modulul diferenței ordonatelor." c) „Mijlocul unui segment cu ambele capete în cadranul al III-lea se află tot în cadranul al III-lea." d) „Distanța dintre punctele $A(-1,2)$ și $B(2,-1)$ este egală cu $3$."

Exercițiul 9 (6 puncte)

a) Determină numerele reale $m$ pentru care distanța dintre punctele $A(m,2)$ și $B(4,-2)$ este egală cu $5$. (3 p) b) Punctul $M(3,0)$ este mijlocul segmentului $[AB]$, unde $A(-1,-3)$. Determină coordonatele punctului $B$ și lungimea segmentului $[AB]$. (3 p)

Partea a III-a – Probleme și aplicații

Exercițiul 10 (8 puncte)

Pe o hartă turistică, unitatea de pe axe reprezintă $100$ de metri. Un drumeț pleacă din refugiul $P(-5,2)$, coboară în linie dreaptă la izvorul $Q(7,-3)$, apoi merge, tot în linie dreaptă, la cabana $R(19,2)$.

a) Calculează, în metri, lungimea etapei $PQ$. (2 p) b) Calculează, în metri, lungimea etapei $QR$. (2 p) c) Calculează lungimea totală a traseului parcurs și distanța în linie dreaptă dintre refugiu și cabană. (2 p) d) Cu câți metri este traseul drumețului mai lung decât drumul direct $PR$? Determină și coordonatele mijlocului segmentului $[PR]$, unde este amplasată o bornă. (2 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

Se consideră punctele $A(-4,3)$ și $B(2,-5)$.

a) Determină coordonatele mijlocului $M$ al segmentului $[AB]$. (2 p) b) Calculează lungimea segmentului $[AB]$. (2 p) c) Determină coordonatele punctului $A^{\prime }$, simetricul lui $A$ față de $B$. (2 p) d) Verifică prin calcul că $AM=MB$ și precizează cât este fiecare dintre ele. (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

Pe harta unui cartier, unitatea de pe axe reprezintă $1$ km. Școala se află în $S(2,3)$, parcul în $P(2,9)$, iar biblioteca în $B(10,9)$. Străzile dintre ele sunt drepte.

a) Calculează lungimile $SP$, $PB$ și $SB$. (3 p) b) Un elev merge de la școală la bibliotecă prin parc. Cu câți kilometri este acest drum mai lung decât bulevardul direct $SB$? (2 p) c) Stația de autobuz se află exact la mijlocul bulevardului $SB$. Determină coordonatele stației. (2 p) d) Arată prin calcul că stația este la aceeași distanță de școală și de bibliotecă și precizează această distanță. (1 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-2,1)$ și $B(6,7)$.

a) Calculează lungimea segmentului $[AB]$. (2 p) b) Determină coordonatele mijlocului $M$ al segmentului $[AB]$. (2 p) c) Determină coordonatele punctului $C$, situat pe axa $Ox$, care este egal depărtat de punctele $A$ și $B$. (2 p) d) Determină coordonatele punctului $D$ pentru care $M$ este mijlocul segmentului $[CD]$, unde $C$ este punctul aflat la punctul c). (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct. a) $A(3,5)$: ambele coordonate pozitive → cadranul I. b) $B(-2,4)$: abscisă negativă, ordonată pozitivă → cadranul al II-lea. c) $C(-4,-1)$: ambele coordonate negative → cadranul al III-lea. d) $D(6,-3)$: abscisă pozitivă, ordonată negativă → cadranul al IV-lea. e) $E(0,-7)$: abscisa este $0$ → punctul se află pe axa $Oy$ (pe semiaxa negativă). Nu aparține niciunui cadran. f) $F(-5,0)$: ordonata este $0$ → punctul se află pe axa $Ox$ (pe semiaxa negativă). Nu aparține niciunui cadran.

Exercițiul 2. (6 p) — câte 1 punct. ($P(-6,8)$.) a) Abscisă negativă, ordonată pozitivă → cadranul al II-lea. b) Distanța la $Ox$ este $|y_P|=|8|=8$. c) Distanța la $Oy$ este $|x_P|=|-6|=6$. d) $OP=\sqrt{(-6{)}^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$. e) Proiecția pe $Ox$ păstrează abscisa și anulează ordonata: $(-6,0)$. f) Proiecția pe $Oy$ păstrează ordonata și anulează abscisa: $(0,8)$.

Exercițiul 3. (6 p) — câte 2 puncte (1 p aplicarea formulei, 1 p rezultatul exact). a) $AB=\sqrt{(4-1{)}^2+(6-2{)}^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$. b) $CD=\sqrt{(9-(-3){)}^2+(6-1{)}^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$. c) $EF=\sqrt{(2-2{)}^2+(7-(-3){)}^2}=\sqrt{0+100}=10$. (Segmentul este vertical, deci lungimea lui este $|7-(-3)|=10$.)

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) B. $M\left(\frac{-3+9}{2},\frac{7+1}{2}\right)=M(3,4)$. b) B. $AB=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$. c) D. Abscisa fiind $0$, punctul se află pe axa $Oy$. d) B. $OP=\sqrt{(-7{)}^2+24^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25$.

Exercițiul 5. (6 p) — câte 2 puncte (1 p pentru fiecare coordonată). a) $M\left(\frac{-7+5}{2},\frac{3+(-9)}{2}\right)=\mathbf{M}(-1,-3)$. b) $M\left(\frac{-4+10}{2},\frac{-6+2}{2}\right)=\mathbf{M}(3,-2)$. c) $M\left(\frac{0+(-8)}{2},\frac{5+(-1)}{2}\right)=\mathbf{M}(-4,2)$.

Exercițiul 6. (6 p) — câte 2 puncte. a) Simetricul față de $Ox$ păstrează abscisa și schimbă semnul ordonatei: ${\mathbf{A}}^{\prime }(-3,-5)$. b) Simetricul față de $Oy$ schimbă semnul abscisei și păstrează ordonata: ${\mathbf{B}}^{\prime }(-4,-7)$. c) Simetricul față de origine schimbă semnul ambelor coordonate: ${\mathbf{C}}^{\prime }(2,6)$.

Exercițiul 7. (8 p) a) (2 p) $PF=\sqrt{(6-(-2){)}^2+(7-1{)}^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$ unități $=1000$ m. b) (2 p) $FL=\sqrt{(14-6{)}^2+(1-7{)}^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$ unități $=1000$ m. c) (1 p) $PL=|14-(-2)|=16$ unități $=1600$ m (segment orizontal, ambele puncte au ordonata $1$). d) (3 p) Perimetrul traseului este $10+10+16=36$ unități (2 p), adică $36\cdot 100=3600$ m $=3,6$ km (1 p). Observație: triunghiul $PFL$ este isoscel, cu $PF=FL=10$.

Exercițiul 8. (6 p) — câte 1,5 puncte (răspuns + justificare). a) F. Abscisa este $0$, deci punctul se află pe axa $Oy$, nu pe $Ox$. b) A. Dacă $x_A=x_B$, atunci $AB=\sqrt{0+(y_B-y_A{)}^2}=|y_B-y_A|$. c) A. Dacă $x_A,x_B<0$ și $y_A,y_B<0$, atunci și $\frac{x_A+x_B}{2}<0$, $\frac{y_A+y_B}{2}<0$, deci mijlocul are ambele coordonate negative. d) F. $AB=\sqrt{(2-(-1){)}^2+(-1-2{)}^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\approx 4,24$, nu $3$.

Exercițiul 9. (6 p) a) (3 p) Din $AB=5$ rezultă $\sqrt{(4-m{)}^2+(-2-2{)}^2}=5$, deci $(4-m{)}^2+16=25$ (1 p), de unde $(4-m{)}^2=9$ și $4-m=\pm 3$ (1 p). Se obțin $\mathbf{m}=1$ sau $\mathbf{m}=7$ (1 p). Verificare: $\sqrt{9+16}=5$ în ambele cazuri. b) (3 p) Din formula mijlocului: $\frac{-1+x_B}{2}=3\Rightarrow x_B=7$ și $\frac{-3+y_B}{2}=0\Rightarrow y_B=3$, deci $\mathbf{B}(7,3)$ (2 p). Atunci $AB=\sqrt{(7-(-1){)}^2+(3-(-3){)}^2}=\sqrt{64+36}=10$ (1 p).

Exercițiul 10. (8 p) a) (2 p) $PQ=\sqrt{(7-(-5){)}^2+(-3-2{)}^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$ unități $=1300$ m. b) (2 p) $QR=\sqrt{(19-7{)}^2+(2-(-3){)}^2}=\sqrt{144+25}=13$ unități $=1300$ m. c) (2 p) Traseul total: $13+13=26$ unități $=2600$ m (1 p). Drumul direct: $PR=|19-(-5)|=24$ unități $=2400$ m, segmentul fiind orizontal (1 p). d) (2 p) Diferența este $2600-2400=200$ m (1 p). Mijlocul: $\left(\frac{-5+19}{2},\frac{2+2}{2}\right)=(7,2)$ (1 p). Observație: borna se află exact deasupra izvorului $Q(7,-3)$, la $5$ unități.

Exercițiul 11. (8 p) a) (2 p) $M\left(\frac{-4+2}{2},\frac{3+(-5)}{2}\right)=\mathbf{M}(-1,-1)$. b) (2 p) $AB=\sqrt{(2-(-4){)}^2+(-5-3{)}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$. c) (2 p) $B$ este mijlocul segmentului $[A{A}^{\prime }]$, deci $\frac{-4+x_{A^{\prime }}}{2}=2\Rightarrow x_{A^{\prime }}=8$ și $\frac{3+y_{A^{\prime }}}{2}=-5\Rightarrow y_{A^{\prime }}=-13$. Rezultă ${\mathbf{A}}^{\prime }(8,-13)$. d) (2 p) $AM=\sqrt{(-1-(-4){)}^2+(-1-3{)}^2}=\sqrt{9+16}=5$ (1 p) și $MB=\sqrt{(2-(-1){)}^2+(-5-(-1){)}^2}=\sqrt{9+16}=5$ (1 p). Deci $AM=MB=5=\frac{AB}{2}$, ceea ce confirmă rezultatele de la a) și b).

Exercițiul 12. (8 p) a) (3 p) — câte 1 punct. $SP=|9-3|=6$ km (stradă verticală, $x=2$); $PB=|10-2|=8$ km (stradă orizontală, $y=9$); $SB=\sqrt{(10-2{)}^2+(9-3{)}^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$ km. b) (2 p) Drumul prin parc: $6+8=14$ km (1 p); este cu $14-10=4$ km mai lung decât bulevardul direct (1 p). c) (2 p) Stația este mijlocul segmentului $[SB]$: $\left(\frac{2+10}{2},\frac{3+9}{2}\right)=(6,6)$. d) (1 p) Distanța până la școală: $\sqrt{(6-2{)}^2+(6-3{)}^2}=\sqrt{16+9}=5$; până la bibliotecă: $\sqrt{(10-6{)}^2+(9-6{)}^2}=\sqrt{16+9}=5$. Ambele sunt egale cu $5$ km, adică jumătate din $SB$ — mijlocul unui segment este, prin definiție, egal depărtat de capete.

Exercițiul 13. (8 p) a) (2 p) $AB=\sqrt{(6-(-2){)}^2+(7-1{)}^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$. b) (2 p) $M\left(\frac{-2+6}{2},\frac{1+7}{2}\right)=\mathbf{M}(2,4)$. c) (2 p) $C$ fiind pe axa $Ox$, are forma $C(x,0)$. Din $CA=CB$ rezultă $C{A}^2=C{B}^2$: $$(x+2{)}^2+(0-1{)}^2=(x-6{)}^2+(0-7{)}^2$$ $$x^2+4x+4+1=x^2-12x+36+49$$ $$16x=80\Rightarrow x=5.$$ Deci $\mathbf{C}(5,0)$ (1 p pentru ecuație, 1 p pentru rezolvare). Verificare: $CA=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}$ și $CB=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}$. d) (2 p) Din $\frac{5+x_D}{2}=2$ rezultă $x_D=-1$, iar din $\frac{0+y_D}{2}=4$ rezultă $y_D=8$. Deci $\mathbf{D}(-1,8)$.

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică primul instrument al geometriei analitice: transformarea unui punct din plan într-o pereche de numere și, invers, citirea unei perechi de numere ca poziție pe hartă. Sunt acoperite lecțiile Reperul cartezian: axe, origine, cadrane, Coordonatele unui punct din plan, Distanța dintre două puncte în plan și Coordonatele mijlocului unui segment. Elevul trebuie să recunoască cadranul unui punct, să calculeze distanța dintre două puncte, să determine mijlocul unui segment, să afle un capăt al segmentului când cunoaște celălalt capăt și mijlocul și să aplice toate acestea în situații practice de orientare pe hartă. Figurile în reperul cartezian (perimetre, verificarea naturii unui triunghi sau a unui patrulater) se verifică în testul următor al unității.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie de matematică (cu pătrățele), cu riglă și creion. Reperele cerute se desenează efectiv, cu unitatea marcată pe ambele axe. Calculatorul de buzunar nu este necesar — toți radicalii care apar se scot exact. La final se compară rezolvările cu Baremul și răspunsurile.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, în special formula distanței și formula mijlocului.
• Formule de reținut: pentru $A(x_A,y_A)$ și $B(x_B,y_B)$, distanța este $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$, iar mijlocul $M$ al segmentului $[AB]$ are coordonatele $M\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$. Distanța de la $P(x,y)$ la axa $Ox$ este $|y|$, la axa $Oy$ este $|x|$, iar la origine este $\sqrt{x^2+y^2}$. Simetricul lui $P(x,y)$ este $(x,-y)$ față de $Ox$, $(-x,y)$ față de $Oy$ și $(-x,-y)$ față de origine.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".