Test: Ecuații trigonometrice

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Funcții trigonometrice inverse și ecuații trigonometrice

Exerciții

Partea I – Ecuații elementare și mulțimi de soluții

Exercițiul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Mulțimea soluțiilor ecuației $\sin x=0$ este: A. $\{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$; B. $\left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$; C. $\{2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$; D. $\left\{\frac{k\pi }{2}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

b) Mulțimea soluțiilor ecuației $\cos x=1$ este: A. $\{k\pi \}$; B. $\{2k\pi \}$; C. $\left\{\frac{\pi }{2}+2k\pi \right\}$; D. $\{\pi +2k\pi \}$, cu $k\in \mathbb{Z}$.

c) Ecuația $\sin x=\frac{3}{2}$ are: A. exact o soluție; B. exact două soluții; C. o infinitate de soluții; D. nicio soluție.

Exercițiul 2 (6 puncte)

Rezolvă în $\mathbb{R}$, scriind mulțimea completă a soluțiilor (câte 1,5 puncte): a) $\sin x=\frac{1}{2}$; b) $\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$; c) $\mathrm{tg}x=\sqrt{3}$; d) $\mathrm{ctg}x=-1$.

Exercițiul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Ecuația $\cos x=a$ are soluții pentru orice număr real $a$." b) „Soluțiile ecuației $\mathrm{tg}x=a$ sunt $x=\mathrm{arctg}a+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, pentru orice număr real $a$." c) „Ecuația $\sin x=\sin \frac{\pi }{5}$ are ca soluții doar numerele de forma $x=\frac{\pi }{5}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$." d) „Ecuația $3\sin x+4\cos x=6$ nu are soluții."

Exercițiul 4 (6 puncte)

a) Rezolvă ecuația $\sin x=-\frac{1}{2}$ pe intervalul $[0,2\pi ]$. (3 p) b) Rezolvă ecuația $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ pe intervalul $[-\pi ,\pi ]$. (3 p)

Partea a II-a – Argumente compuse, substituții și compatibilitate

Exercițiul 5 (8 puncte)

Rezolvă în $\mathbb{R}$ (câte 2 puncte): a) $\sin 2x=\frac{\sqrt{2}}{2}$; b) $\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$; c) $\mathrm{tg}3x=1$; d) $\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=1$.

Exercițiul 6 (7 puncte)

a) Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\sin 3x=\sin x$. (4 p) b) Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\cos 2x=\cos x$ și arată că una dintre familiile obținute este inclusă în cealaltă. (3 p)

Exercițiul 7 (7 puncte)

a) Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $2{\sin }^{2}x+3\sin x-2=0$. (4 p) b) Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\cos 2x+3\cos x+2=0$. (3 p)

Exercițiul 8 (6 puncte)

a) Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\sin x+\sqrt{3}\cos x=2$. (3 p) b) Arată că ecuația $2\sin x-3\cos x=4$ nu are soluții. (3 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

a) Determină toate soluțiile ecuației $\sin 2x=\cos x$ din intervalul $[0,2\pi )$. (4 p) b) Explică de ce nu este corect ca, în rezolvare, să împărțim ambii membri la $\cos x$. (2 p)

Partea a III-a – Demonstrații și itemi de tip examen

Exercițiul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Demonstrează că, pentru $a\in [-1,1]$, mulțimea soluțiilor ecuației $\cos x=a$ este $$S=\{\alpha +2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}\cup \{-\alpha +2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\},\text{unde }\alpha =\arccos a.$$ (5 p) b) Aplică rezultatul pentru ecuația $\cos x=\frac{1}{3}$. (3 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

Se consideră ecuația $3\sin x+4\cos x=5$. a) Verifică întâi condiția de compatibilitate $a^2+b^2\ge c^2$ și precizează ce concluzie se poate trage din faptul că avem egalitate. (2 p) b) Rezolvă ecuația prin metoda unghiului auxiliar. (4 p) c) Verifică soluția obținută. (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

Se consideră ecuația $\sin x+\cos x=m$, unde $m$ este un parametru real. a) Scrie membrul stâng sub forma $\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ și determină toate valorile lui $m$ pentru care ecuația are soluții. (4 p) b) Rezolvă ecuația pentru $m=1$. (2 p) c) Arată că, pentru $m=2$, ecuația nu are soluții. (2 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră ecuația $2{\cos }^{2}x+\sin x=2$. a) Arătați că ecuația este echivalentă cu $2{\sin }^{2}x-\sin x=0$. (3 p) b) Determinați toate soluțiile ecuației din intervalul $[0,2\pi ]$. (5 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) A. Sinusul se anulează în punctele de pe cerc situate pe axa $Ox$, adică pentru $x=k\pi$. Varianta C dă doar jumătate dintre soluții (cele „pare"), iar D adaugă soluții false, de exemplu $\frac{\pi }{2}$. b) B. $\cos x=1$ înseamnă că punctul asociat lui $x$ este chiar $(1,0)$, deci $x$ este multiplu de $2\pi$. Aici cele două familii $\pm \arccos 1+2k\pi$ coincid, pentru că $\arccos 1=0$. c) D. Sinusul oricărui număr real aparține intervalului $[-1,1]$, iar $\frac{3}{2}>1$.

Exercițiul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p soluția „de bază", 1 p familia completă). a) $\arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi }{6}$, deci $$S=\left\{\frac{\pi }{6}+2k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}\cup \left\{\frac{5\pi }{6}+2k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\},$$ formă echivalentă cu $x=(-1{)}^k\frac{\pi }{6}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. b) $\arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{3\pi }{4}$, deci $S=\left\{\pm \frac{3\pi }{4}+2k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$. c) $\mathrm{arctg}\sqrt{3}=\frac{\pi }{3}$, deci $S=\left\{\frac{\pi }{3}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$ (o singură familie — tangenta are perioada $\pi$). d) $\mathrm{arcctg}(-1)=\frac{3\pi }{4}$, deci $S=\left\{\frac{3\pi }{4}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$.

Exercițiul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) F. Ecuația are soluții doar dacă $|a|\le 1$, pentru că imaginea funcției cosinus este $[-1,1]$. De exemplu $\cos x=2$ nu are soluții. b) A. Tangenta este bijectivă de la $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ la $\mathbb{R}$ (deci ecuația are întotdeauna soluții, oricare ar fi $a$), iar perioada ei principală este $\pi$; toate soluțiile se obțin adunând multipli de $\pi$ la $\mathrm{arctg}a$. c) F. Lipsește a doua familie. Din $\sin x=\sin \frac{\pi }{5}$ rezultă $x=\frac{\pi }{5}+2k\pi$ sau $x=\pi -\frac{\pi }{5}+2k\pi =\frac{4\pi }{5}+2k\pi$. Verificare: $\sin \frac{4\pi }{5}=\sin \frac{\pi }{5}$ ✓. d) A. Condiția de compatibilitate cere $a^2+b^2\ge c^2$, adică $9+16=25\ge 36$ — fals. Altfel spus, $|3\sin x+4\cos x|\le \sqrt{9+16}=5<6$ pentru orice $x$.

Exercițiul 4. (6 p)

a) (3 p) $\sin x=-\frac{1}{2}$ cu $x\in [0,2\pi ]$. Sinusul este negativ în cadranele III și IV (1 p), iar unghiul de referință este $\frac{\pi }{6}$. Soluțiile sunt $$x=\pi +\frac{\pi }{6}=\frac{7\pi }{6}\text{și}x=2\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{11\pi }{6}$$ (2 p).

b) (3 p) $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ cu $x\in [-\pi ,\pi ]$. Familia generală este $x=\pm \frac{\pi }{6}+2k\pi$ (1,5 p); în intervalul dat rămân exact două soluții: $x=\frac{\pi }{6}$ și $x=-\frac{\pi }{6}$ (1,5 p).

Exercițiul 5. (8 p) — câte 2 puncte (1 p trecerea la ecuația elementară, 1 p familia finală).

a) $\sin 2x=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow 2x=\frac{\pi }{4}+2k\pi$ sau $2x=\frac{3\pi }{4}+2k\pi$, deci $$x=\frac{\pi }{8}+k\pi \text{sau}x=\frac{3\pi }{8}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$ (Atenție: după împărțirea la $2$, se împarte și termenul $2k\pi$ — perioada devine $\pi$.)

b) $\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\Rightarrow x-\frac{\pi }{3}=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi$, deci $$x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi \text{sau}x=2k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$

c) $\mathrm{tg}3x=1\Rightarrow 3x=\frac{\pi }{4}+k\pi$, deci $x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{3}$, $k\in \mathbb{Z}$.

d) $\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=1\Rightarrow x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+2k\pi$, deci $x=\frac{\pi }{3}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. (Valoarea $1$ fiind maximul sinusului, cele două familii obișnuite se contopesc într-una singură.)

Exercițiul 6. (7 p)

a) (4 p) $\sin 3x=\sin x$ înseamnă (1 p) $$3x=x+2k\pi \text{sau}3x=\pi -x+2k\pi .$$ Din prima relație: $2x=2k\pi$, deci $x=k\pi$ (1,5 p). Din a doua: $4x=\pi +2k\pi$, deci $x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$ (1,5 p), $k\in \mathbb{Z}$. (Verificare pentru $x=\frac{\pi }{4}$: $\sin \frac{3\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$ ✓; pentru $x=\frac{5\pi }{4}$: $\sin \frac{15\pi }{4}=\sin \frac{7\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{5\pi }{4}$ ✓.)

b) (3 p) $\cos 2x=\cos x$ înseamnă $2x=\pm x+2k\pi$ (1 p). Din $2x=x+2k\pi$ rezultă $x=2k\pi$; din $2x=-x+2k\pi$ rezultă $3x=2k\pi$, adică $x=\frac{2k\pi }{3}$ (1 p). Prima familie este inclusă în a doua: $2k\pi =\frac{2(3k)\pi }{3}$, deci se obține pentru multiplii de $3$ ai parametrului. Mulțimea soluțiilor este așadar $S=\left\{\frac{2k\pi }{3}|k\in \mathbb{Z}\right\}$ (1 p). (Verificare pentru $x=\frac{2\pi }{3}$: $\cos \frac{4\pi }{3}=-\frac{1}{2}=\cos \frac{2\pi }{3}$ ✓.)

Exercițiul 7. (7 p)

a) (4 p) Notăm $t=\sin x$, cu condiția $t\in [-1,1]$ (1 p). Ecuația devine $2t^2+3t-2=0$, cu $\Delta =9+16=25$, deci $$t=\frac{-3\pm 5}{4}⟹t_1=\frac{1}{2},t_2=-2$$ (1,5 p). Valoarea $t_2=-2$ se respinge, pentru că nu aparține intervalului $[-1,1]$ (0,5 p). Rămâne $\sin x=\frac{1}{2}$, cu soluțiile $$x=\frac{\pi }{6}+2k\pi \text{sau}x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$$ (1 p).

b) (3 p) Înlocuim $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$, ca să rămână o singură funcție (1 p): $$2{\cos }^{2}x-1+3\cos x+2=0⟺2{\cos }^{2}x+3\cos x+1=0.$$ Cu $t=\cos x\in [-1,1]$ și $\Delta =9-8=1$ obținem $t=\frac{-3\pm 1}{4}$, adică $t_1=-\frac{1}{2}$ și $t_2=-1$ — ambele acceptabile (1 p). Prin urmare $$x=\pm \frac{2\pi }{3}+2k\pi \text{sau}x=\pi +2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$$ (1 p).

Exercițiul 8. (6 p)

a) (3 p) Verificăm mai întâi compatibilitatea: $a^2+b^2=1+3=4=c^2$, deci ecuația are soluții (caz de egalitate) (0,5 p). Împărțim prin $\sqrt{a^2+b^2}=2$ (0,5 p): $$\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=1⟺\sin x\cos \frac{\pi }{3}+\cos x\sin \frac{\pi }{3}=1⟺\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=1$$ (1,5 p). De aici $x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+2k\pi$, deci $x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ (0,5 p). (Verificare: $\sin \frac{\pi }{6}+\sqrt{3}\cos \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}+\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2$ ✓.)

b) (3 p) Aici $a=2$, $b=-3$, $c=4$, deci $a^2+b^2=4+9=13$, iar $c^2=16$ (1,5 p). Cum $13<16$, condiția de compatibilitate nu este îndeplinită, deci ecuația nu are soluții (1 p). Justificare echivalentă: $|2\sin x-3\cos x|\le \sqrt{13}\approx 3,61<4$ pentru orice $x$ real (0,5 p).

Exercițiul 9. (6 p)

a) (4 p) Folosim formula unghiului dublu și trecem totul într-un membru (1 p): $$2\sin x\cos x=\cos x⟺\cos x(2\sin x-1)=0.$$ Un produs este nul dacă și numai dacă unul dintre factori este nul (1 p): – $\cos x=0$ dă, în $[0,2\pi )$, $x=\frac{\pi }{2}$ și $x=\frac{3\pi }{2}$ (1 p); – $\sin x=\frac{1}{2}$ dă, în același interval, $x=\frac{\pi }{6}$ și $x=\frac{5\pi }{6}$ (1 p). Mulțimea soluțiilor din $[0,2\pi )$ este $\left\{\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2},\frac{5\pi }{6},\frac{3\pi }{2}\right\}$ — patru soluții. (Verificare pentru $x=\frac{3\pi }{2}$: $\sin 3\pi =0=\cos \frac{3\pi }{2}$ ✓.)

b) (2 p) Împărțirea la $\cos x$ este permisă doar dacă $\cos x\ne 0$; or, exact valorile cu $\cos x=0$ sunt soluții ale ecuației. Împărțind, am obține $2\sin x=1$ și am pierde soluțiile $\frac{\pi }{2}$ și $\frac{3\pi }{2}$ — jumătate din răspuns. Regula: în ecuațiile trigonometrice se dă factor comun, nu se împarte la o expresie care se poate anula.

Exercițiul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (5 p) Fie $\alpha =\arccos a$; prin definiție, $\cos \alpha =a$ și $\alpha \in [0,\pi ]$ (0,5 p).

„$\supseteq$" — orice element al lui $S$ este soluție (1,5 p). Cosinusul este periodic de perioadă $2\pi$ și este funcție pară, deci $$\cos (\alpha +2k\pi )=\cos \alpha =a\text{și}\cos (-\alpha +2k\pi )=\cos (-\alpha )=\cos \alpha =a.$$

„$\subseteq$" — orice soluție aparține lui $S$. Fie $x$ o soluție. Prin periodicitate, există $k\in \mathbb{Z}$ și $x_0\in [0,2\pi )$ cu $x=x_0+2k\pi$ și $\cos x_0=a$ (1 p). Distingem două cazuri: – dacă $x_0\in [0,\pi ]$, atunci, cosinusul fiind strict descrescător (deci injectiv) pe $[0,\pi ]$, din $\cos x_0=a=\cos \alpha$ rezultă $x_0=\alpha$ (1 p); – dacă $x_0\in (\pi ,2\pi )$, notăm $t=2\pi -x_0\in (0,\pi )$; atunci $\cos t=\cos (2\pi -x_0)=\cos x_0=a$ și, prin același argument de injectivitate, $t=\alpha$, deci $x_0=2\pi -\alpha$, adică $x=-\alpha +2(k+1)\pi$ (1 p). În ambele cazuri $x\in S$, ceea ce încheie demonstrația. $■$

b) (3 p) Cum $\frac{1}{3}\in [-1,1]$, ecuația $\cos x=\frac{1}{3}$ are soluții (1 p), iar mulțimea lor este $$S=\left\{\pm \arccos \frac{1}{3}+2k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$$ (2 p). Numărul $\arccos \frac{1}{3}$ nu este un „unghi remarcabil", deci răspunsul se lasă exact, în această formă. (Orientativ, $\arccos \frac{1}{3}\approx 1,231$ radiani, adică aproximativ $70,5^{\circ }$.)

Exercițiul 11. (8 p)

a) (2 p) Avem $a=3$, $b=4$, $c=5$, deci $a^2+b^2=9+16=25$ și $c^2=25$ (1 p). Condiția $a^2+b^2\ge c^2$ este îndeplinită cu egalitate, ceea ce înseamnă că valoarea $5$ este chiar maximul expresiei $3\sin x+4\cos x$; prin urmare ecuația are soluții, iar acestea formează o singură familie (cazul de „tangență"), nu două (1 p).

b) (4 p) Împărțim ambii membri la $\sqrt{a^2+b^2}=5$ (1 p): $$\frac{3}{5}\sin x+\frac{4}{5}\cos x=1.$$ Cum ${\left(\frac{3}{5}\right)}^2+{\left(\frac{4}{5}\right)}^2=1$, există un unghi auxiliar $\phi \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ cu $\cos \phi =\frac{3}{5}$ și $\sin \phi =\frac{4}{5}$, adică $\phi =\arcsin \frac{4}{5}$ (1,5 p). Ecuația devine $$\sin x\cos \phi +\cos x\sin \phi =1⟺\sin (x+\phi )=1$$ (1 p), de unde $x+\phi =\frac{\pi }{2}+2k\pi$, adică $$x=\frac{\pi }{2}-\arcsin \frac{4}{5}+2k\pi =\arccos \frac{4}{5}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$$ (0,5 p). (Ultima egalitate folosește identitatea $\arcsin t+\arccos t=\frac{\pi }{2}$.)

c) (2 p) Notăm $x_0=\arccos \frac{4}{5}$. Atunci $\cos x_0=\frac{4}{5}$ și, cum $x_0\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, $\sin x_0=\frac{3}{5}$ (1 p). Înlocuind: $$3\cdot \frac{3}{5}+4\cdot \frac{4}{5}=\frac{9+16}{5}=\frac{25}{5}=5$$ ✓ (1 p). (Orientativ, $x_0\approx 0,6435$ radiani, adică aproximativ $36,87^{\circ }$.)

Exercițiul 12. (8 p)

a) (4 p) Scoatem factor $\sqrt{2}$ (1 p): $$\sin x+\cos x=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right)=\sqrt{2}\left(\sin x\cos \frac{\pi }{4}+\cos x\sin \frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$$ (1,5 p). Ecuația devine $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{m}{\sqrt{2}}$, care are soluții dacă și numai dacă $\left|\frac{m}{\sqrt{2}}\right|\le 1$ (1 p), adică $$m\in \left[-\sqrt{2},\sqrt{2}\right]$$ (0,5 p).

b) (2 p) Pentru $m=1$: $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci $x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+2k\pi$ sau $x+\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}+2k\pi$, adică $$x=2k\pi \text{sau}x=\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$ (Verificare: pentru $x=0$, $\sin 0+\cos 0=1$ ✓; pentru $x=\frac{\pi }{2}$, $1+0=1$ ✓.)

c) (2 p) Pentru $m=2$ ar trebui ca $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}>1$, imposibil. Echivalent: $\sqrt{2}\approx 1,41<2$, deci $2\notin \left[-\sqrt{2},\sqrt{2}\right]$ și ecuația nu are soluții.

Exercițiul 13. (8 p)

a) (3 p) Din formula fundamentală, ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$ (1 p). Înlocuind în ecuație: $$2\left(1-{\sin }^{2}x\right)+\sin x=2⟺2-2{\sin }^{2}x+\sin x=2$$ (1 p), de unde, după reducerea lui $2$ și înmulțirea cu $-1$, se obține $2{\sin }^{2}x-\sin x=0$ (1 p).

b) (5 p) Dăm factor comun (1 p): $$\sin x(2\sin x-1)=0⟺\sin x=0\text{ sau }\sin x=\frac{1}{2}.$$ – Din $\sin x=0$, cu $x\in [0,2\pi ]$, rezultă $x\in \{0,\pi ,2\pi \}$ (capetele intervalului sunt incluse!) (2 p). – Din $\sin x=\frac{1}{2}$, cu $x\in [0,2\pi ]$, rezultă $x\in \left\{\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}\right\}$ (1,5 p). Ecuația are așadar cinci soluții în intervalul dat: $$x\in \left\{0,\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6},\pi ,2\pi \right\}$$ (0,5 p). (Verificare pentru $x=\frac{\pi }{6}$: $2{\cos }^2\frac{\pi }{6}+\sin \frac{\pi }{6}=2\cdot \frac{3}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2$ ✓; pentru $x=\pi$: $2\cdot 1+0=2$ ✓.)

Pentru părinți și profesori

Acest test încheie unitatea și verifică exact ceea ce deosebește o ecuație trigonometrică de una algebrică: soluțiile nu sunt câteva numere, ci familii infinite de numere, iar răspunsul este complet doar când familia este scrisă cu parametrul $k\in \mathbb{Z}$. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: ecuațiile elementare $\sin x=a$, $\cos x=a$, $\mathrm{tg}x=a$, $\mathrm{ctg}x=a$, cu mulțimile complete de soluții și cu discuția de existență ($|a|\le 1$ la sinus și cosinus). Al doilea: ecuațiile de tipul $\sin f=\sin g$ și $\cos f=\cos g$, unde apar două familii de soluții, nu una — greșeala clasică este să se rețină doar prima. Al treilea: reducerea la o ecuație de gradul al doilea printr-o substituție ($t=\sin x$ sau $t=\cos x$), cu obligația de a respinge rădăcinile din afara intervalului $[-1,1]$. Al patrulea: ecuația $a\sin x+b\cos x=c$, rezolvată prin metoda unghiului auxiliar, cu condiția de compatibilitate $a^2+b^2\ge c^2$ — o condiție care se verifică întâi și care poate încheia problema într-un rând.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu demonstrație se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Un răspuns este complet doar dacă mulțimea soluțiilor este scrisă cu $k\in \mathbb{Z}$ (sau, când se cere pe un interval, dacă sunt listate toate soluțiile din acel interval). Se depunctează pierderea unei familii de soluții prin împărțirea la o expresie care se poate anula.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe cele două familii de soluții și pe condiția de compatibilitate.
• Formule de reținut: ecuațiile elementare (pentru $a\in [-1,1]$ la primele două): $$\sin x=a⟺x\in \{\arcsin a+2k\pi \}\cup \{\pi -\arcsin a+2k\pi \},k\in \mathbb{Z},$$ formă echivalentă cu $x=(-1{)}^k\arcsin a+k\pi$; $$\cos x=a⟺x=\pm \arccos a+2k\pi ;\mathrm{tg}x=a⟺x=\mathrm{arctg}a+k\pi ;$$ $$\mathrm{ctg}x=a⟺x=\mathrm{arcctg}a+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$ Dacă $|a|>1$, ecuațiile $\sin x=a$ și $\cos x=a$ nu au soluții. Ecuații cu aceeași funcție în ambii membri: $$\sin f=\sin g⟺f=g+2k\pi \text{ sau }f=\pi -g+2k\pi ;$$ $$\cos f=\cos g⟺f=\pm g+2k\pi ;\mathrm{tg}f=\mathrm{tg}g⟺f=g+k\pi .$$ Substituție de gradul al doilea: într-o ecuație de forma $\alpha {\sin }^{2}x+\beta \sin x+\gamma =0$ se notează $t=\sin x$, cu condiția $t\in [-1,1]$; dacă apare $\cos 2x$, se înlocuiește cu $2{\cos }^{2}x-1$ sau $1-2{\sin }^{2}x$, ca să rămână o singură funcție. Ecuația $a\sin x+b\cos x=c$: are soluții dacă și numai dacă $a^2+b^2\ge c^2$; se rezolvă împărțind la $\sqrt{a^2+b^2}$ și scriind membrul stâng ca $\sin (x+\phi )$, unde $\cos \phi =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ și $\sin \phi =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".