Test: Figuri în reperul cartezian

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Reperul cartezian și punctele în plan

Exerciții

Partea I – Laturi, perimetre și recunoaștere

Exercițiul 1 (6 puncte)

Se consideră punctele $A(-2,-1)$, $B(6,-1)$, $C(6,5)$ și $D(-2,5)$. Calculează (câte 1 punct): a) lungimea laturii $[AB]$; b) lungimea laturii $[BC]$; c) lungimea laturii $[CD]$; d) lungimea laturii $[DA]$; e) perimetrul patrulaterului $ABCD$; f) lungimea diagonalei $[AC]$.

Exercițiul 2 (6 puncte)

Se consideră triunghiul $MNP$ cu $M(-4,1)$, $N(8,6)$ și $P(8,1)$. Calculează lungimile laturilor (câte 2 puncte): a) $MN$; b) $NP$; c) $MP$.

Exercițiul 3 (6 puncte)

Pentru fiecare triunghi, calculează lungimile laturilor și precizează natura lui (câte 2 puncte): a) $P(1,1)$, $Q(4,5)$, $R(1,5)$; b) $A(-3,2)$, $B(5,2)$, $C(1,5)$; c) $E(1,1)$, $F(5,1)$, $G(1,5)$.

Exercițiul 4 (8 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Perimetrul triunghiului cu vârfurile $A(0,0)$, $B(0,7)$, $C(24,0)$ este egal cu: A. $50$; B. $56$; C. $31$; D. $62$.

b) Triunghiul de la punctul a) este: A. echilateral; B. isoscel; C. dreptunghic; D. oarecare (fără proprietăți speciale).

c) Un patrulater $MNPQ$ are diagonalele $[MP]$ și $[NQ]$ cu același mijloc. Atunci el este obligatoriu: A. dreptunghi; B. paralelogram; C. romb; D. pătrat.

d) Diagonala pătratului cu vârfurile $(0,0)$, $(6,0)$, $(6,6)$, $(0,6)$ are lungimea: A. $6$; B. $12$; C. $6\sqrt{2}$; D. $36$.

Partea a II-a – Patrulatere și verificări

Exercițiul 5 (6 puncte)

Se consideră punctele $A(-6,-4)$, $B(6,-4)$, $C(12,4)$ și $D(0,4)$.

a) Determină coordonatele mijlocului diagonalei $[AC]$. (2 p) b) Determină coordonatele mijlocului diagonalei $[BD]$. (2 p) c) Justifică, folosind rezultatele de la a) și b), de ce patrulaterul $ABCD$ este paralelogram. (2 p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

Se consideră patrulaterul $ABCD$ cu $A(-6,0)$, $B(6,0)$, $C(3,4)$ și $D(-3,4)$.

a) Calculează lungimile celor patru laturi. (4 p) b) Calculează perimetrul patrulaterului. (1 p) c) Precizează ce fel de patrulater este $ABCD$, cu justificare. (1 p)

Exercițiul 7 (8 puncte)

Un teren agricol are forma unui triunghi cu vârfurile $A(-5,-2)$, $B(4,10)$ și $C(20,-2)$ pe planul cadastral, unde unitatea de pe axe reprezintă $10$ metri.

a) Calculează lungimile laturilor $AB$, $BC$ și $AC$, în unități. (3 p) b) Calculează perimetrul terenului, în metri. (2 p) c) Arată, folosind reciproca teoremei lui Pitagora, că triunghiul $ABC$ este dreptunghic și precizează în ce vârf se află unghiul drept. (2 p) d) Determină coordonatele mijlocului laturii $[BC]$, unde proprietarul montează un hidrant. (1 p)

Exercițiul 8 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Un triunghi cu laturile de lungimi $5$, $12$ și $13$ este dreptunghic." b) „Dacă un patrulater are toate laturile de aceeași lungime, atunci el este obligatoriu pătrat." c) „Segmentul cu capetele $A(2,-3)$ și $B(2,5)$ are lungimea $8$." d) „Distanța dintre punctele $A(-3,4)$ și $B(3,-4)$ este egală cu $7$."

Exercițiul 9 (6 puncte)

Se consideră punctele $A(-1,2)$, $B(5,2)$ și $C(8,6)$.

a) Determină coordonatele punctului $D$ pentru care patrulaterul $ABCD$ este paralelogram. (3 p) b) Calculează perimetrul acestui paralelogram. (3 p)

Partea a III-a – Probleme și aplicații

Exercițiul 10 (8 puncte)

Se consideră patrulaterul $ABCD$ cu $A(2,1)$, $B(6,4)$, $C(3,8)$ și $D(-1,5)$.

a) Calculează lungimile celor patru laturi. (4 p) b) Calculează lungimile celor două diagonale. (2 p) c) Precizează, cu justificare, ce fel de patrulater este $ABCD$. (2 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$ cu $A(-4,1)$, $B(8,1)$ și $C(2,9)$.

a) Calculează lungimile laturilor $AB$, $AC$ și $BC$. (3 p) b) Arată că triunghiul este isoscel și precizează care este baza lui. (1 p) c) Determină coordonatele mijlocului $M$ al laturii $[AB]$ și calculează lungimea segmentului $[CM]$. (2 p) d) Calculează perimetrul triunghiului $ABC$ și stabilește, folosind reciproca teoremei lui Pitagora, dacă triunghiul este și dreptunghic. (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

O grădină are forma unui dreptunghi cu colțurile $A(-4,-1)$, $B(8,-1)$, $C(8,4)$ și $D(-4,4)$ pe planul terenului, unde unitatea de pe axe reprezintă $10$ metri.

a) Calculează lungimile laturilor $[AB]$ și $[BC]$, în unități. (2 p) b) Calculează perimetrul grădinii, în metri. (2 p) c) Calculează lungimea diagonalei $[AC]$, în metri. (2 p) d) Gardul care înconjoară grădina costă $45$ de lei pe metru. Cât costă gardul întreg? (2 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-3,-1)$, $B(5,5)$ și $C(-3,5)$.

a) Calculează lungimile laturilor triunghiului $ABC$. (2 p) b) Determină coordonatele mijlocului $M$ al segmentului $[AB]$. (2 p) c) Arată că triunghiul $ABC$ este dreptunghic. (2 p) d) Calculează perimetrul triunghiului $ABC$ și determină coordonatele mijlocului laturii $[BC]$. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct. a) $AB=|6-(-2)|=8$ (segment orizontal, $y=-1$). b) $BC=|5-(-1)|=6$ (segment vertical, $x=6$). c) $CD=|6-(-2)|=8$. d) $DA=|5-(-1)|=6$. e) $P=8+6+8+6=28$. f) $AC=\sqrt{(6-(-2){)}^2+(5-(-1){)}^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$. Observație: laturile opuse sunt egale două câte două și laturile alăturate sunt perpendiculare (una orizontală, una verticală), deci $ABCD$ este dreptunghi.

Exercițiul 2. (6 p) — câte 2 puncte (1 p formula, 1 p rezultatul). a) $MN=\sqrt{(8-(-4){)}^2+(6-1{)}^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$. b) $NP=|6-1|=5$ (segment vertical, $x=8$). c) $MP=|8-(-4)|=12$ (segment orizontal, $y=1$). Observație: $5^2+12^2=25+144=169=13^2$, deci triunghiul $MNP$ este dreptunghic în $P$.

Exercițiul 3. (6 p) — câte 2 puncte (1,5 p lungimile, 0,5 p natura). a) $PQ=\sqrt{9+16}=5$, $QR=|4-1|=3$, $PR=|5-1|=4$. Cum $3^2+4^2=9+16=25=5^2$, triunghiul este dreptunghic, cu unghiul drept în $R$ (laturile $[QR]$ și $[PR]$ sunt una orizontală, cealaltă verticală). b) $AB=|5-(-3)|=8$, $AC=\sqrt{16+9}=5$, $BC=\sqrt{16+9}=5$. Cum $AC=BC=5$, triunghiul este isoscel, cu baza $[AB]$. (Nu este dreptunghic: $5^2+5^2=50\ne 64=8^2$.) c) $EF=|5-1|=4$, $EG=|5-1|=4$, $FG=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$. Triunghiul este dreptunghic isoscel, cu unghiul drept în $E$: $4^2+4^2=32=(4\sqrt{2}{)}^2$.

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) B. $AB=|7-0|=7$ (pe axa $Oy$), $AC=|24-0|=24$ (pe axa $Ox$), $BC=\sqrt{24^2+7^2}=\sqrt{576+49}=\sqrt{625}=25$, deci $P=7+24+25=56$. b) C. $7^2+24^2=49+576=625=25^2$, deci triunghiul este dreptunghic (unghiul drept în $A$, unde se întâlnesc cele două axe). c) B. Proprietatea „diagonalele se înjumătățesc reciproc" caracterizează exact paralelogramul; rombul, dreptunghiul și pătratul sunt cazuri particulare, dar nu sunt obligatorii. d) C. $\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$.

Exercițiul 5. (6 p) a) (2 p) $M_{[AC]}\left(\frac{-6+12}{2},\frac{-4+4}{2}\right)=(3,0)$. b) (2 p) $M_{[BD]}\left(\frac{6+0}{2},\frac{-4+4}{2}\right)=(3,0)$. c) (2 p) Cele două diagonale au același mijloc, punctul $(3,0)$, deci fiecare diagonală o înjumătățește pe cealaltă. Conform caracterizării paralelogramului, $ABCD$ este paralelogram. (Verificare suplimentară: $AB=12$, $CD=12$, $BC=\sqrt{36+64}=10$, $DA=\sqrt{36+64}=10$ — laturile opuse sunt egale.)

Exercițiul 6. (6 p) a) (4 p) — câte 1 punct. $AB=|6-(-6)|=12$; $BC=\sqrt{(3-6{)}^2+(4-0{)}^2}=\sqrt{9+16}=5$; $CD=|3-(-3)|=6$; $DA=\sqrt{(-6-(-3){)}^2+(0-4{)}^2}=\sqrt{9+16}=5$. b) (1 p) $P=12+5+6+5=28$. c) (1 p) Laturile $[AB]$ (pe $y=0$) și $[DC]$ (pe $y=4$) sunt paralele, fiind ambele orizontale, dar au lungimi diferite ($12\ne 6$); laturile neparalele sunt egale: $BC=DA=5$. Deci $ABCD$ este trapez isoscel.

Exercițiul 7. (8 p) a) (3 p) — câte 1 punct. $AB=\sqrt{(4-(-5){)}^2+(10-(-2){)}^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$ unități; $BC=\sqrt{(20-4{)}^2+(-2-10{)}^2}=\sqrt{256+144}=\sqrt{400}=20$ unități; $AC=|20-(-5)|=25$ unități (segment orizontal, $y=-2$). b) (2 p) Perimetrul este $15+20+25=60$ unități (1 p), adică $60\cdot 10=600$ m (1 p). c) (2 p) Cea mai lungă latură este $[AC]$, cu $AC=25$. Cum $$A{B}^2+B{C}^2=15^2+20^2=225+400=625=25^2=A{C}^2,$$ din reciproca teoremei lui Pitagora rezultă că triunghiul este dreptunghic, cu unghiul drept în vârful $\mathbf{B}$ (vârful opus ipotenuzei $[AC]$). d) (1 p) $M_{[BC]}\left(\frac{4+20}{2},\frac{10+(-2)}{2}\right)=(12,4)$.

Exercițiul 8. (6 p) — câte 1,5 puncte (răspuns + justificare). a) A. $5^2+12^2=25+144=169=13^2$, deci, prin reciproca teoremei lui Pitagora, triunghiul este dreptunghic. b) F. Un patrulater cu toate laturile egale este romb; el este pătrat doar dacă are, în plus, un unghi drept (echivalent: diagonalele egale). Contraexemplu: rombul „turtit" cu vârfurile $(0,0)$, $(5,0)$, $(8,4)$, $(3,4)$ are toate laturile de $5$, dar nu este pătrat. c) A. Punctele au aceeași abscisă, deci $AB=|5-(-3)|=8$. d) F. $AB=\sqrt{(3-(-3){)}^2+(-4-4{)}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$, nu $7$.

Exercițiul 9. (6 p) a) (3 p) În paralelogramul $ABCD$, diagonalele $[AC]$ și $[BD]$ au același mijloc. Mijlocul lui $[AC]$ este $\left(\frac{-1+8}{2},\frac{2+6}{2}\right)=\left(\frac{7}{2},4\right)$ (1 p). Punând condiția ca acesta să fie și mijlocul lui $[BD]$: $\frac{5+x_D}{2}=\frac{7}{2}\Rightarrow x_D=2$ și $\frac{2+y_D}{2}=4\Rightarrow y_D=6$ (1 p). Deci $\mathbf{D}(2,6)$ (1 p). b) (3 p) $AB=|5-(-1)|=6$; $BC=\sqrt{(8-5{)}^2+(6-2{)}^2}=\sqrt{9+16}=5$ (2 p). Într-un paralelogram laturile opuse sunt egale, deci $CD=6$ și $DA=5$, iar perimetrul este $P=2(6+5)=22$ (1 p).

Exercițiul 10. (8 p) a) (4 p) — câte 1 punct. $AB=\sqrt{(6-2{)}^2+(4-1{)}^2}=\sqrt{16+9}=5$; $BC=\sqrt{(3-6{)}^2+(8-4{)}^2}=\sqrt{9+16}=5$; $CD=\sqrt{(-1-3{)}^2+(5-8{)}^2}=\sqrt{16+9}=5$; $DA=\sqrt{(2-(-1){)}^2+(1-5{)}^2}=\sqrt{9+16}=5$. b) (2 p) $AC=\sqrt{(3-2{)}^2+(8-1{)}^2}=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$; $BD=\sqrt{(-1-6{)}^2+(5-4{)}^2}=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$. c) (2 p) Mijlocul lui $[AC]$ este $\left(\frac{5}{2},\frac{9}{2}\right)$ și mijlocul lui $[BD]$ este $\left(\frac{5}{2},\frac{9}{2}\right)$ — același punct, deci $ABCD$ este paralelogram (1 p). Toate laturile sunt egale (deci este romb) și diagonalele sunt egale (deci este dreptunghi); prin urmare $ABCD$ este pătrat, cu latura $5$ și diagonala $5\sqrt{2}$ (1 p).

Exercițiul 11. (8 p) a) (3 p) — câte 1 punct. $AB=|8-(-4)|=12$; $AC=\sqrt{(2-(-4){)}^2+(9-1{)}^2}=\sqrt{36+64}=10$; $BC=\sqrt{(2-8{)}^2+(9-1{)}^2}=\sqrt{36+64}=10$. b) (1 p) Cum $AC=BC=10$, triunghiul este isoscel, cu baza $[AB]$ (latura de lungime $12$). c) (2 p) $M\left(\frac{-4+8}{2},\frac{1+1}{2}\right)=\mathbf{M}(2,1)$ (1 p). Atunci $CM=|9-1|=8$, segmentul fiind vertical ($x=2$) (1 p). Observație: într-un triunghi isoscel, mediana din vârful opus bazei este și înălțime. d) (2 p) Perimetrul: $P=12+10+10=32$ (1 p). Cea mai lungă latură este $[AB]$, cu $AB=12$; cum $$A{C}^2+B{C}^2=10^2+10^2=200\ne 144=12^2=A{B}^2,$$ triunghiul nu este dreptunghic — este doar isoscel (1 p).

Exercițiul 12. (8 p) a) (2 p) $AB=|8-(-4)|=12$ unități (1 p); $BC=|4-(-1)|=5$ unități (1 p). b) (2 p) $P=2(12+5)=34$ unități (1 p), adică $34\cdot 10=340$ m (1 p). c) (2 p) $AC=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$ unități (1 p), adică $130$ m (1 p). d) (2 p) $340\cdot 45=15300$ lei.

Exercițiul 13. (8 p) a) (2 p) $AB=\sqrt{(5-(-3){)}^2+(5-(-1){)}^2}=\sqrt{64+36}=10$; $AC=|5-(-1)|=6$ (segment vertical, $x=-3$); $BC=|5-(-3)|=8$ (segment orizontal, $y=5$). b) (2 p) $M\left(\frac{-3+5}{2},\frac{-1+5}{2}\right)=\mathbf{M}(1,2)$. c) (2 p) Cea mai lungă latură este $[AB]$, cu $AB=10$, iar $$A{C}^2+B{C}^2=6^2+8^2=36+64=100=10^2=A{B}^2,$$ deci, prin reciproca teoremei lui Pitagora, triunghiul este dreptunghic în $C$. (Se putea observa direct: $[AC]$ este vertical, $[BC]$ este orizontal, deci sunt perpendiculare.) d) (2 p) Perimetrul: $P=6+8+10=24$ (1 p). Mijlocul laturii $[BC]$: $\left(\frac{5+(-3)}{2},\frac{5+5}{2}\right)=(1,5)$ (1 p).

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică pasul următor al geometriei analitice: după ce elevul știe să calculeze distanțe și mijloace, el trebuie să recunoască figuri din coordonatele vârfurilor. Sunt acoperite lecțiile Figuri în reperul cartezian: perimetre și verificări și Coordonate în situații practice: orientare și hărți, folosind ca instrumente formulele din lecțiile Distanța dintre două puncte în plan și Coordonatele mijlocului unui segment. Elevul trebuie să calculeze perimetre, să stabilească natura unui triunghi (isoscel, dreptunghic — cu reciproca teoremei lui Pitagora), să verifice că un patrulater este paralelogram (diagonalele au același mijloc), dreptunghi, romb sau pătrat, și să aplice toate acestea pe hărți și planuri de teren.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie de matematică, cu riglă. Este obligatoriu ca fiecare figură să fie desenată înainte de calcule — desenul arată imediat ce trebuie verificat. Concluziile („este isoscel", „este paralelogram") se acceptă doar dacă sunt susținute de calcule scrise. La final se compară rezolvările cu Baremul și răspunsurile.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, în special verificarea naturii figurilor.
• Formule de reținut: pentru $A(x_A,y_A)$ și $B(x_B,y_B)$ avem $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$ și $M_{[AB]}\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$. Un triunghi este isoscel dacă are două laturi de aceeași lungime și dreptunghic dacă pătratul celei mai lungi laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două (reciproca teoremei lui Pitagora). Un patrulater este paralelogram dacă diagonalele au același mijloc; un paralelogram cu toate laturile egale este romb, unul cu diagonalele egale este dreptunghi, iar unul care le are pe amândouă este pătrat. Perimetrul se obține adunând lungimile laturilor.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".