Test: Formula fundamentală și reducerea la primul cadran

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Formule trigonometrice de bază

Exerciții

Partea I – Formula fundamentală și reducerile de bază

Exercițiul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Dacă $\sin x=\frac{3}{5}$ și $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, atunci $\cos x$ este: A. $\frac{4}{5}$; B. $-\frac{4}{5}$; C. $\frac{2}{5}$; D. $\frac{16}{25}$.

b) Pentru orice număr real $x$, $\sin (\pi -x)$ este egal cu: A. $-\sin x$; B. $\sin x$; C. $\cos x$; D. $-\cos x$.

c) Pentru orice număr real $x$, $\cos (\pi +x)$ este egal cu: A. $\cos x$; B. $\sin x$; C. $-\cos x$; D. $-\sin x$.

Exercițiul 2 (6 puncte)

Calculează, reducând mai întâi la primul cadran și indicând formula folosită (câte 1,5 puncte): a) $\sin \frac{5\pi }{6}$; b) $\cos \frac{4\pi }{3}$; c) $\sin \frac{7\pi }{4}$; d) $\cos \frac{11\pi }{6}$.

Exercițiul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Egalitatea ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ are loc pentru orice număr real $x$." b) „Dacă $\sin x=0,6$, atunci în mod obligatoriu $\cos x=0,8$." c) „$\cos (\pi -x)=\cos x$ pentru orice număr real $x$." d) „$\sin (2\pi -x)=-\sin x$ pentru orice număr real $x$."

Exercițiul 4 (6 puncte)

Se știe că $\sin x=-\frac{4}{5}$ și $x\in \left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$.

a) Calculează $\cos x$, justificând alegerea semnului. (3 p) b) Calculează $\mathrm{tg}x$. (2 p) c) Precizează semnele funcțiilor $\sin$, $\cos$ și $\mathrm{tg}$ în cadranul III. (1 p)

Partea a II-a – Calcule, identități și discuția semnului

Exercițiul 5 (8 puncte)

Calculează, reducând fiecare valoare la primul cadran (câte 2 puncte): a) $E=\sin \frac{3\pi }{4}+\cos \frac{2\pi }{3}$; b) $F=\sin \frac{7\pi }{6}\cdot \cos \frac{4\pi }{3}$; c) $G=\cos \frac{5\pi }{6}+\sin \frac{5\pi }{3}$; d) $H=\cos \frac{7\pi }{6}-\sin \frac{4\pi }{3}$.

Exercițiul 6 (7 puncte)

Se știe că $\cos x=-\frac{5}{13}$ și $x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$.

a) Calculează $\sin x$, justificând alegerea semnului. (3 p) b) Calculează $\mathrm{tg}x$. (2 p) c) Verifică formula fundamentală pentru valorile obținute. (2 p)

Exercițiul 7 (7 puncte)

a) Simplifică expresia $E(x)={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x+3$. (2 p) b) Arată că $F(x)=(\sin x+\cos x{)}^2-2\sin x\cos x=1$ pentru orice număr real $x$. (2 p) c) Arată că $(\sin x+\cos x{)}^2+(\sin x-\cos x{)}^2=2$ pentru orice număr real $x$. (3 p)

Exercițiul 8 (6 puncte)

Exprimă în funcție de $\sin x$ sau $\cos x$ și justifică fiecare formulă prin simetria corespunzătoare de pe cercul trigonometric (câte 1,5 puncte): a) $\sin (\pi -x)$; b) $\cos (\pi +x)$; c) $\sin (2\pi -x)$; d) $\cos (\pi -x)$.

Exercițiul 9 (6 puncte)

Se știe că $\sin a=\frac{2}{3}$, unde $a\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$.

a) Calculează $\cos a$. (2 p) b) Calculează $\sin (\pi -a)$ și $\cos (\pi -a)$. (2 p) c) Calculează $\sin (\pi +a)$ și $\cos (2\pi -a)$. (2 p)

Partea a III-a – Probleme, demonstrații și itemi de tip examen

Exercițiul 10 (8 puncte)

Se știe că $\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, unde $x\in [0,2\pi ]$.

a) Determină toate valorile posibile ale lui $x$. (3 p) b) Pentru fiecare valoare găsită, calculează $\cos x$. (3 p) c) Explică de ce formula fundamentală, singură, nu determină în mod unic valoarea lui $\cos x$. (2 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.)

a) Demonstrează formula fundamentală ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$, folosind cercul trigonometric și teorema lui Pitagora. (4 p) b) Demonstrează, folosind simetria față de axa $Oy$, că $\sin (\pi -x)=\sin x$ și $\cos (\pi -x)=-\cos x$. (2 p) c) Deduce din a) și b) că ${\sin }^2(\pi -x)+{\cos }^2(\pi -x)=1$. (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

Se consideră expresia $$E(x)=\sin (\pi -x)+\cos (\pi +x)+\sin (2\pi -x)+\cos (2\pi -x).$$

a) Arată că $E(x)=0$ pentru orice număr real $x$. (3 p) b) Verifică rezultatul de la a) calculând direct $E\left(\frac{\pi }{3}\right)$ din valorile de bază. (2 p) c) Se consideră $F(x)=\sin (\pi -x)\cdot \cos (2\pi -x)+\cos (\pi -x)\cdot \sin (2\pi -x)$. Arată că $F(x)=2\sin x\cos x$ și calculează $F\left(\frac{\pi }{6}\right)$. (3 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.)

a) Arătați că $\sin \frac{2\pi }{3}=\sin \frac{\pi }{3}$. (2 p) b) Se știe că $\sin x=\frac{1}{3}$ și $x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$. Calculați $\cos x$. (3 p) c) Arătați că $(1-\sin x)(1+\sin x)={\cos }^{2}x$ pentru orice număr real $x$. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) A. Din formula fundamentală, ${\cos }^{2}x=1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$, deci $\cos x=\pm \frac{4}{5}$; cum $x$ este în cadranul I, unde cosinusul este pozitiv, rămâne $\frac{4}{5}$. (Varianta $D$ este ${\cos }^{2}x$, nu $\cos x$ — greșeala de a uita radicalul.) b) B. Punctele asociate numerelor $x$ și $\pi -x$ sunt simetrice față de axa $Oy$, deci au aceeași ordonată; ordonata este sinusul. c) C. Punctele asociate numerelor $x$ și $\pi +x$ sunt simetrice față de origine, deci ambele coordonate își schimbă semnul; abscisa este cosinusul.

Exercițiul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p formula, 1 p valoarea).

a) $\frac{5\pi }{6}=\pi -\frac{\pi }{6}$, deci $\sin \frac{5\pi }{6}=\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$. (Cadranul II, unde sinusul este pozitiv ✓.) b) $\frac{4\pi }{3}=\pi +\frac{\pi }{3}$, deci $\cos \frac{4\pi }{3}=-\cos \frac{\pi }{3}=-\frac{1}{2}$. (Cadranul III, unde cosinusul este negativ ✓.) c) $\frac{7\pi }{4}=2\pi -\frac{\pi }{4}$, deci $\sin \frac{7\pi }{4}=-\sin \frac{\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. (Cadranul IV, unde sinusul este negativ ✓.) d) $\frac{11\pi }{6}=2\pi -\frac{\pi }{6}$, deci $\cos \frac{11\pi }{6}=\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. (Cadranul IV, unde cosinusul este pozitiv ✓.)

Exercițiul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) A. Punctul asociat lui $x$ are coordonatele $(\cos x,\sin x)$ și se află pe cercul de rază $1$, deci distanța lui la origine este $1$; scrisă cu formula distanței, aceasta înseamnă exact ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$. Nu există nicio excepție. b) F. Din formula fundamentală obținem doar ${\cos }^{2}x=1-0,36=0,64$, deci $\cos x=\pm 0,8$. Dacă $x$ este în cadranul I, $\cos x=0,8$; dacă $x$ este în cadranul II, $\cos x=-0,8$. Fără informația despre cadran, ambele valori sunt posibile. c) F. Formula corectă este $\cos (\pi -x)=-\cos x$. Verificare rapidă cu $x=\frac{\pi }{3}$: $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$, în timp ce $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ — valori opuse, nu egale. d) A. Punctele asociate numerelor $x$ și $2\pi -x$ sunt simetrice față de axa $Ox$, deci au aceeași abscisă și ordonate opuse; ordonata fiind sinusul, $\sin (2\pi -x)=-\sin x$.

Exercițiul 4. (6 p)

a) (3 p) Din formula fundamentală (1 p): $${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}⟹\cos x=\pm \frac{3}{5}\text{(1 p)}.$$ Cum $x\in \left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$, adică în cadranul III, unde cosinusul este negativ, alegem $$\cos x=-\frac{3}{5}\text{(1 p)}.$$

b) (2 p) $$\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{-4/5}{-3/5}=\frac{4}{3}\text{(2 p)}.$$ Rezultatul este pozitiv, ceea ce se potrivește cu cadranul III.

c) (1 p) În cadranul III: $\sin x<0$, $\cos x<0$, $\mathrm{tg}x>0$.

Exercițiul 5. (8 p) — câte 2 puncte (1 p reducerile, 1 p rezultatul).

a) $\sin \frac{3\pi }{4}=\sin \left(\pi -\frac{\pi }{4}\right)=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $\cos \frac{2\pi }{3}=\cos \left(\pi -\frac{\pi }{3}\right)=-\cos \frac{\pi }{3}=-\frac{1}{2}$, deci $$E=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}-1}{2}.$$

b) $\sin \frac{7\pi }{6}=\sin \left(\pi +\frac{\pi }{6}\right)=-\sin \frac{\pi }{6}=-\frac{1}{2}$ și $\cos \frac{4\pi }{3}=-\cos \frac{\pi }{3}=-\frac{1}{2}$, deci $$F=\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}.$$

c) $\cos \frac{5\pi }{6}=-\cos \frac{\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ și $\sin \frac{5\pi }{3}=\sin \left(2\pi -\frac{\pi }{3}\right)=-\sin \frac{\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci $$G=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=-\sqrt{3}.$$

d) $\cos \frac{7\pi }{6}=-\cos \frac{\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ și $\sin \frac{4\pi }{3}=-\sin \frac{\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci $$H=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=0.$$

Exercițiul 6. (7 p)

a) (3 p) Din formula fundamentală (1 p): $${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}⟹\sin x=\pm \frac{12}{13}\text{(1 p)}.$$ Cum $x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$, adică în cadranul II, unde sinusul este pozitiv, obținem $\sin x=\frac{12}{13}$ (1 p).

b) (2 p) $$\mathrm{tg}x=\frac{12/13}{-5/13}=-\frac{12}{5}\text{(2 p)}.$$ Semnul negativ este cel corect pentru cadranul II.

c) (2 p) $${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=\frac{144}{169}+\frac{25}{169}=\frac{169}{169}=1✓\text{(2 p)}.$$ (Numerele $5$, $12$, $13$ formează un triplet pitagoreic — de aceea rezultatele au ieșit „rotunde".)

Exercițiul 7. (7 p)

a) (2 p) Grupul ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x$ este exact $1$ prin formula fundamentală (1 p), deci $E(x)=1+3=4$, pentru orice $x$ real (1 p).

b) (2 p) Dezvoltăm pătratul binomului (1 p): $$(\sin x+\cos x{)}^2={\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x.$$ Scăzând $2\sin x\cos x$ rămâne ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ (1 p). $■$

c) (3 p) Dezvoltăm ambele pătrate (1,5 p): $$(\sin x+\cos x{)}^2={\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x,(\sin x-\cos x{)}^2={\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x.$$ Adunând, termenii $\pm 2\sin x\cos x$ se reduc (1 p): $$2{\sin }^{2}x+2{\cos }^{2}x=2\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\right)=2\cdot 1=2\text{(0,5 p)}.■$$

Exercițiul 8. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p formula, 1 p justificarea).

a) $\sin (\pi -x)=\sin x$. Punctul asociat lui $\pi -x$ este simetricul față de axa $Oy$ al punctului asociat lui $x$; simetria față de $Oy$ păstrează ordonata și schimbă semnul abscisei, iar sinusul este ordonata. b) $\cos (\pi +x)=-\cos x$. Punctul asociat lui $\pi +x$ este simetricul față de origine: ambele coordonate își schimbă semnul, deci și abscisa, adică cosinusul. c) $\sin (2\pi -x)=-\sin x$. Punctul asociat lui $2\pi -x$ este simetricul față de axa $Ox$: abscisa rămâne, ordonata își schimbă semnul, deci sinusul devine opusul său. d) $\cos (\pi -x)=-\cos x$. Aceeași simetrie ca la a), față de axa $Oy$: abscisa (cosinusul) își schimbă semnul.

Exercițiul 9. (6 p)

a) (2 p) ${\cos }^{2}a=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$, deci $\cos a=\pm \frac{\sqrt{5}}{3}$ (1 p); cum $a$ este în cadranul I, unde cosinusul este pozitiv, $\cos a=\frac{\sqrt{5}}{3}$ (1 p).

b) (2 p) $\sin (\pi -a)=\sin a=\frac{2}{3}$ (1 p) și $\cos (\pi -a)=-\cos a=-\frac{\sqrt{5}}{3}$ (1 p).

c) (2 p) $\sin (\pi +a)=-\sin a=-\frac{2}{3}$ (1 p) și $\cos (2\pi -a)=\cos a=\frac{\sqrt{5}}{3}$ (1 p).

Exercițiul 10. (8 p)

a) (3 p) Sinusul este negativ, deci punctul asociat se află sub axa $Ox$, adică în cadranul III sau IV (1 p). Unghiul de bază este $\frac{\pi }{3}$, pentru că $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (1 p). Aplicând reducerile: $$x=\pi +\frac{\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}\text{sau}x=2\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{3}\text{(1 p)}.$$

b) (3 p) Pentru $x=\frac{4\pi }{3}$ (cadranul III): $\cos \frac{4\pi }{3}=-\cos \frac{\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ (1,5 p). Pentru $x=\frac{5\pi }{3}$ (cadranul IV): $\cos \frac{5\pi }{3}=\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ (1,5 p).

c) (2 p) Formula fundamentală dă doar pătratul: ${\cos }^{2}x=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$, deci $\cos x=\pm \frac{1}{2}$ (1 p). Un pătrat cunoscut lasă întotdeauna două rădăcini, opuse; care dintre ele este valoarea reală se decide numai din poziția punctului pe cerc, adică din cadran — exact ce am făcut la punctul b), unde ambele cazuri chiar se realizează (1 p).

Exercițiul 11. (8 p) — redactare completă.

a) (4 p) Fie $M$ punctul asociat numărului real $x$ pe cercul trigonometric, deci $M(\cos x,\sin x)$, iar $OM=1$ (raza cercului) (1 p). Fie $C$ proiecția lui $M$ pe axa $Ox$; atunci $C(\cos x,0)$ (0,5 p). Triunghiul $OCM$ este dreptunghic în $C$, cu catetele $$OC=|\cos x|,CM=|\sin x|\text{(1,5 p)}$$ și ipotenuza $OM=1$. Aplicând teorema lui Pitagora (0,5 p): $$O{C}^2+C{M}^2=O{M}^2⟹{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1\text{(0,5 p)}.$$ (Cazurile în care $M$ este pe una dintre axe se verifică direct: de exemplu, pentru $x=0$ avem $0^2+1^2=1$ ✓.) $■$

b) (2 p) Numerele $x$ și $\pi -x$ au punctele asociate simetrice față de axa $Oy$: parcurgând de la $\pi$ înapoi cu $x$ ajungem la „oglinda" punctului $M$ (1 p). Simetria față de $Oy$ transformă punctul $(a,b)$ în $(-a,b)$, deci abscisa își schimbă semnul, iar ordonata rămâne (0,5 p). Cum abscisa este cosinusul și ordonata este sinusul, rezultă $$\cos (\pi -x)=-\cos x,\sin (\pi -x)=\sin x\text{(0,5 p)}.■$$

c) (2 p) Înlocuim formulele de la b) (1 p): $${\sin }^2(\pi -x)+{\cos }^2(\pi -x)=(\sin x{)}^2+(-\cos x{)}^2={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1\text{(1 p)}.$$ (Era de așteptat: formula fundamentală este valabilă pentru orice număr real, deci și pentru $\pi -x$.) $■$

Exercițiul 12. (8 p)

a) (3 p) Reducem fiecare termen (2 p): $$\sin (\pi -x)=\sin x,\cos (\pi +x)=-\cos x,\sin (2\pi -x)=-\sin x,\cos (2\pi -x)=\cos x.$$ Adunând (1 p): $$E(x)=\sin x-\cos x-\sin x+\cos x=0\text{pentru orice }x\in \mathbb{R}.■$$

b) (2 p) Pentru $x=\frac{\pi }{3}$ termenii devin $\sin \frac{2\pi }{3}$, $\cos \frac{4\pi }{3}$, $\sin \frac{5\pi }{3}$, $\cos \frac{5\pi }{3}$ (1 p), adică $$E\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)+\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\frac{1}{2}=0✓\text{(1 p)}.$$

c) (3 p) Înlocuim reducerile (1,5 p): $$F(x)=\sin x\cdot \cos x+(-\cos x)\cdot (-\sin x)=\sin x\cos x+\sin x\cos x=2\sin x\cos x\text{(0,5 p)}.$$ Pentru $x=\frac{\pi }{6}$ (1 p): $$F\left(\frac{\pi }{6}\right)=2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Exercițiul 13. (8 p)

a) (2 p) Scriem $\frac{2\pi }{3}=\pi -\frac{\pi }{3}$ (1 p) și aplicăm formula $\sin (\pi -t)=\sin t$ cu $t=\frac{\pi }{3}$ (0,5 p): $$\sin \frac{2\pi }{3}=\sin \frac{\pi }{3}\left(=\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\text{(0,5 p)}.■$$

b) (3 p) Din formula fundamentală (1 p): $${\cos }^{2}x=1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}⟹\cos x=\pm \frac{2\sqrt{2}}{3}\text{(1 p)},$$ pentru că $\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{\sqrt{8}}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Cum $x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ este în cadranul II, unde cosinusul este negativ, rezultă $$\cos x=-\frac{2\sqrt{2}}{3}\text{(1 p)}.$$

c) (3 p) Membrul stâng este o diferență de pătrate (1,5 p): $$(1-\sin x)(1+\sin x)=1^2-{\sin }^{2}x=1-{\sin }^{2}x.$$ Din formula fundamentală, $1-{\sin }^{2}x={\cos }^{2}x$ (1,5 p), deci egalitatea are loc pentru orice număr real $x$. $■$

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică prima trusă de formule a trigonometriei. Sunt evaluate trei lucruri. Primul: formula fundamentală ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ — de unde vine (este teorema lui Pitagora aplicată în triunghiul dreptunghic format de raza cercului trigonometric cu proiecțiile ei pe axe) și cum se folosește pentru a afla o funcție când se cunoaște cealaltă. Al doilea, și cel mai delicat: discuția semnului. Formula fundamentală dă întotdeauna două valori posibile, $+$ și $-$; alegerea corectă se face exclusiv după cadranul în care se află numărul, iar dacă enunțul nu precizează cadranul, răspunsul corect conține ambele variante. Al treilea: reducerea la primul cadran — formulele pentru $\pi -x$ (simetrie față de axa $Oy$), $\pi +x$ (simetrie față de origine) și $2\pi -x$ (simetrie față de axa $Ox$), care permit calculul oricărei valori de bază, în orice cadran, pornind de la tabelul primului cadran. Sunt acoperite lecțiile Formula fundamentală: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$, Reducerea la primul cadran: $\sin (\pi -x)$ și $\cos (\pi -x)$ și Formule cu $\pi +x$ și $2\pi -x$. Formulele cu $\frac{\pi }{2}$ și cele pentru tangentă fac obiectul testului următor al unității.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie de matematică, fără calculator. Valorile se lasă în formă exactă, cu radicali și fracții ireductibile. Se punctează separat justificarea semnului — un rezultat corect ca valoare absolută, dar cu semn ales „din instinct", nu primește punctajul integral. Se recomandă ca la fiecare item de reducere elevul să deseneze un cerc mic și să marcheze cadranul. La final se compară rezolvările cu Baremul și răspunsurile.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe discuția semnului și pe cele trei simetrii.
• Formule de reținut: formula fundamentală — pentru orice număr real $x$, $${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1,$$ de unde $\sin x=\pm \sqrt{1-{\cos }^{2}x}$ și $\cos x=\pm \sqrt{1-{\sin }^{2}x}$, semnul alegându-se după cadran. Reducerea la primul cadran:

Regula de memorare: funcția nu se schimbă (sinusul rămâne sinus, cosinusul rămâne cosinus), iar semnul este cel pe care îl are funcția în cadranul unde ajunge unghiul. Consecințe utile ale formulei fundamentale: $1-{\sin }^{2}x={\cos }^{2}x$, $(1-\sin x)(1+\sin x)={\cos }^{2}x$ și $(\sin x+\cos x{)}^2=1+2\sin x\cos x$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".