Acasă · Clasa a IX-a · Teste · Test: Formule trigonometrice — calcule și demonstrații

Test: Formule trigonometrice — calcule și demonstrații

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Formule trigonometrice de bază

Exerciții

Partea I – Cofuncții, tangentă și semne

Exercițiul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Pentru orice număr real $x$ , $sin (\frac{π}{2} - x)$ este egal cu: A. $sin x$ ; B. $- sin x$ ; C. $cos x$ ; D. $- cos x$ .

b) Pentru orice $x$ din domeniul tangentei, $tg (π + x)$ este egal cu: A. $tg x$ ; B. $- tg x$ ; C. $1 + tg x$ ; D. $0$ .

c) Dacă $cos x = \frac{1}{2}$ și $x \in (\frac{3 π}{2}, 2 π)$ , atunci $sin x$ este: A. $\frac{3}{2}$ ; B. $- \frac{3}{2}$ ; C. $\frac{1}{2}$ ; D. $- \frac{1}{2}$ .

Exercițiul 2 (6 puncte)

Calculează, indicând formula folosită (câte 1,5 puncte): a) $sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{6})$ ; b) $cos (\frac{π}{2} - \frac{π}{4})$ ; c) $tg (π + \frac{π}{3})$ ; d) $tg (π - \frac{π}{4})$ .

Exercițiul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „ $cos (\frac{π}{2} - x) = sin x$ pentru orice număr real $x$ ." b) „ $tg (π - x) = tg x$ pentru orice $x$ din domeniul tangentei." c) „ $sin (\frac{π}{2} + x) = cos x$ pentru orice număr real $x$ ." d) „Dacă $tg x = 2$ , atunci $tg (π + x) = 2$ ."

Exercițiul 4 (6 puncte)

Se știe că $tg x = - \frac{3}{4}$ și $x \in (\frac{π}{2}, π)$ .

a) Calculează $cos x$ . (2 p) b) Calculează $sin x$ . (2 p) c) Justifică semnele obținute prin cadranul în care se află $x$ și verifică formula fundamentală. (2 p)

Partea a II-a – Formule, calcule și aplicații

Exercițiul 5 (8 puncte)

Completează, exprimând fiecare expresie în funcție de $sin x$ , $cos x$ sau $tg x$ (câte 1 punct de la a) la f)): a) $sin (\frac{π}{2} - x) = \dots$ b) $cos (\frac{π}{2} - x) = \dots$ c) $tg (π + x) = \dots$ d) $tg (π - x) = \dots$ e) $sin (π - x) = \dots$ f) $cos (2 π - x) = \dots$ g) Justifică formulele de la a) și b) pe cercul trigonometric, folosind simetria față de prima bisectoare. (2 p)

Exercițiul 6 (7 puncte)

a) Calculează $tg \frac{2 π}{3}$ , reducând la primul cadran. (2 p) b) Calculează $tg \frac{7 π}{6}$ , reducând la primul cadran. (2 p) c) Calculează $tg \frac{5 π}{4}$ , reducând la primul cadran. (2 p) d) Explică de ce nu se poate calcula $tg \frac{3 π}{2}$ . (1 p)

Exercițiul 7 (7 puncte)

a) Arată că $sin^{2} (\frac{π}{2} - x) + sin^{2} x = 1$ pentru orice număr real $x$ . (3 p) b) Calculează $sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{3}) + cos (\frac{π}{2} - \frac{π}{6})$ . (2 p) c) Arată că $E (x) = sin (\frac{π}{2} - x) \cdot cos (π - x) + cos (\frac{π}{2} - x) \cdot sin (π - x)$ este egală cu $sin^{2} x - cos^{2} x$ . (2 p)

Exercițiul 8 (6 puncte)

Se știe că $sin x = \frac{12}{13}$ , fără nicio altă informație despre $x$ .

a) Determină valorile posibile ale lui $cos x$ . (3 p) b) Precizează, pentru fiecare valoare găsită, cadranul în care se poate afla $x$ . (2 p) c) Determină $tg x$ în fiecare dintre cazuri. (1 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

În triunghiul $A B C$ , unghiul $A$ este drept, deci unghiurile $B$ și $C$ sunt complementare: $B + C = \frac{π}{2}$ .

a) Arată, folosind formulele cofuncțiilor, că $sin B = cos C$ și $cos B = sin C$ . (2 p) b) Se știe că $sin B = \frac{3}{5}$ . Calculează $cos B$ , $sin C$ și $cos C$ . (2 p) c) Calculează $tg B$ și $tg C$ și verifică egalitatea $tg B \cdot tg C = 1$ . (2 p)

Partea a III-a – Probleme, demonstrații și itemi de tip examen

Exercițiul 10 (8 puncte)

a) Calculează, reducând la primul cadran, valorile $sin \frac{2 π}{3}$ , $cos \frac{7 π}{6}$ , $tg \frac{5 π}{4}$ și $sin \frac{11 π}{6}$ . (4 p) b) Folosind valorile de la a), calculează $E = sin \frac{2 π}{3} \cdot cos \frac{7 π}{6} + tg \frac{5 π}{4} \cdot sin \frac{11 π}{6} . (2 p)$ c) Calculează $F = sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{4}) + cos (\frac{π}{2} - \frac{π}{3})$ . (2 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.)

a) Demonstrează, pe cercul trigonometric, că $sin (\frac{π}{2} - x) = cos x$ și $cos (\frac{π}{2} - x) = sin x$ . (3 p) b) Demonstrează formulele $tg (π + x) = tg x$ și $tg (π - x) = - tg x$ , pornind de la definiția tangentei și de la formulele pentru sinus și cosinus. Precizează condițiile de existență. (3 p) c) Arată că $sin (\frac{π}{2} + x) = cos x$ pentru orice număr real $x$ . (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

Se știe că $tg x = 3$ , unde $x \in (0, 2 π)$ .

a) Determină toate valorile posibile ale lui $x$ . (3 p) b) Pentru fiecare valoare găsită, calculează $sin x$ și $cos x$ . (3 p) c) Explică, folosind formula $tg (π + x) = tg x$ , de ce condiția din enunț are exact două soluții în intervalul $(0, 2 π)$ . (2 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.)

a) Arătați că $sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{3}) + cos (π + \frac{π}{3}) = 0$ . (2 p) b) Se știe că $cos x = \frac{2}{3}$ și $x \in (\frac{3 π}{2}, 2 π)$ . Calculați $sin x$ și $tg x$ . (3 p) c) Arătați că $sin (\frac{π}{2} - x) \cdot tg x = sin x$ , pentru orice $x$ pentru care $tg x$ este definită. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) C. Este formula cofuncțiilor: $sin (\frac{π}{2} - x) = cos x$ . Aici funcția se schimbă, spre deosebire de formulele cu $π$ și $2 π$ . b) A. Tangenta se repetă din $π$ în $π$ : $tg (π + x) = \frac{sin ( π + x )}{cos ( π + x )} = \frac{- sin x}{- cos x} = tg x$ — cele două semne minus se simplifică. c) B. Numărul $x$ este în cadranul IV, unde sinusul este negativ. Din formula fundamentală, $sin^{2} x = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ , deci $sin x = \pm \frac{3}{2}$ , iar cadranul impune semnul minus. (Varianta $A$ este capcana: valoarea corectă, semnul greșit.)

Exercițiul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p formula, 1 p valoarea).

a) $sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{6}) = cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}$ . (Control: $\frac{π}{2} - \frac{π}{6} = \frac{π}{3}$ , iar $sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}$ ✓.) b) $cos (\frac{π}{2} - \frac{π}{4}) = sin \frac{π}{4} = \frac{2}{2}$ . (Control: $\frac{π}{2} - \frac{π}{4} = \frac{π}{4}$ , iar $cos \frac{π}{4} = \frac{2}{2}$ ✓.) c) $tg (π + \frac{π}{3}) = tg \frac{π}{3} = 3$ . d) $tg (π - \frac{π}{4}) = - tg \frac{π}{4} = - 1$ .

Exercițiul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) A. Punctele asociate numerelor $x$ și $\frac{π}{2} - x$ sunt simetrice față de prima bisectoare, care schimbă între ele abscisa și ordonata: dacă $M (cos x, sin x)$ , atunci simetricul este $(sin x, cos x)$ . Abscisa acestuia este cosinusul numărului $\frac{π}{2} - x$ , deci $cos (\frac{π}{2} - x) = sin x$ . b) F. Formula corectă este $tg (π - x) = - tg x$ , pentru că $tg (π - x) = \frac{sin ( π - x )}{cos ( π - x )} = \frac{sin x}{- cos x} = - tg x .$ Verificare: $tg \frac{3 π}{4} = - 1$ , în timp ce $tg \frac{π}{4} = 1$ . c) A. Se poate deduce în doi pași, din formulele deja știute: $sin (\frac{π}{2} + x) = sin (π - (\frac{π}{2} + x)) = sin (\frac{π}{2} - x) = cos x .$ d) A. Chiar aceasta este formula $tg (π + x) = tg x$ : adunarea lui $π$ nu schimbă valoarea tangentei, pentru că schimbă semnul și numărătorului, și numitorului.

Exercițiul 4. (6 p)

a) (2 p) Cum $x$ este în cadranul II, avem $sin x > 0$ și $cos x < 0$ . Din $tg x = \frac{sin x}{cos x} = - \frac{3}{4}$ scriem $sin x = 3 t$ și $cos x = - 4 t$ , cu $t > 0$ (1 p). Formula fundamentală dă $9 t^{2} + 16 t^{2} = 1 ⟹ 25 t^{2} = 1 ⟹ t = \frac{1}{5} ⟹ cos x = - \frac{4}{5} (1 p) .$

b) (2 p) Cu același $t = \frac{1}{5}$ obținem $sin x = 3 t = \frac{3}{5}$ (2 p). (Alternativ: $sin x = tg x \cdot cos x = (- \frac{3}{4}) \cdot (- \frac{4}{5}) = \frac{3}{5}$ .)

c) (2 p) În cadranul II sinusul este pozitiv (punctul este deasupra axei $O x$ ), iar cosinusul negativ (punctul este în stânga axei $O y$ ) — exact semnele obținute (1 p). Verificare: $(\frac{3}{5})^{2} + (- \frac{4}{5})^{2} = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1 ✓ (1 p) .$

Exercițiul 5. (8 p)

a) (1 p) $sin (\frac{π}{2} - x) = cos x$ . b) (1 p) $cos (\frac{π}{2} - x) = sin x$ . c) (1 p) $tg (π + x) = tg x$ . d) (1 p) $tg (π - x) = - tg x$ . e) (1 p) $sin (π - x) = sin x$ . f) (1 p) $cos (2 π - x) = cos x$ .

g) (2 p) Fie $M$ punctul asociat numărului $x$ , deci $M (cos x, sin x)$ . Numărul $\frac{π}{2} - x$ se obține „măsurând înapoi" de la $\frac{π}{2}$ , iar punctul său asociat $M^{'}$ este simetricul lui $M$ față de prima bisectoare (dreapta $y = x$ ) (1 p). Simetria față de această dreaptă transformă punctul $(a, b)$ în $(b, a)$ , adică inversează abscisa cu ordonata (0,5 p). Prin urmare $M^{'} (sin x, cos x)$ ; cum abscisa lui $M^{'}$ este $cos (\frac{π}{2} - x)$ și ordonata lui este $sin (\frac{π}{2} - x)$ , rezultă exact formulele de la a) și b) (0,5 p). $■$

Exercițiul 6. (7 p)

a) (2 p) $\frac{2 π}{3} = π - \frac{π}{3}$ (1 p), deci $tg \frac{2 π}{3} = - tg \frac{π}{3} = - 3 (1 p) .$ Semnul negativ este cel corect pentru cadranul II.

b) (2 p) $\frac{7 π}{6} = π + \frac{π}{6}$ (1 p), deci $tg \frac{7 π}{6} = tg \frac{π}{6} = \frac{3}{3} (1 p) .$ Semnul pozitiv se potrivește cu cadranul III.

c) (2 p) $\frac{5 π}{4} = π + \frac{π}{4}$ (1 p), deci $tg \frac{5 π}{4} = tg \frac{π}{4} = 1$ (1 p).

d) (1 p) Pentru că $cos \frac{3 π}{2} = 0$ , iar tangenta are numitorul $cos x$ ; numărul $\frac{3 π}{2} = \frac{π}{2} + π$ este exclus din domeniul tangentei.

Exercițiul 7. (7 p)

a) (3 p) Aplicăm formula cofuncțiilor la primul termen (1,5 p): $sin (\frac{π}{2} - x) = cos x ⟹ sin^{2} (\frac{π}{2} - x) = cos^{2} x .$ Atunci suma devine $cos^{2} x + sin^{2} x$ , care este $1$ prin formula fundamentală (1,5 p). $■$

b) (2 p) $sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{3}) = cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ și $cos (\frac{π}{2} - \frac{π}{6}) = sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ (1,5 p), deci suma este $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ (0,5 p).

c) (2 p) Înlocuim cele patru expresii: $sin (\frac{π}{2} - x) = cos x$ , $cos (π - x) = - cos x$ , $cos (\frac{π}{2} - x) = sin x$ , $sin (π - x) = sin x$ (1 p). Rezultă $E (x) = cos x \cdot (- cos x) + sin x \cdot sin x = - cos^{2} x + sin^{2} x = sin^{2} x - cos^{2} x (1 p) . ■$

Exercițiul 8. (6 p)

a) (3 p) Din formula fundamentală (1 p): $cos^{2} x = 1 - (\frac{12}{13})^{2} = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169} (1 p),$ deci $cos x = \frac{5}{13}$ sau $cos x = - \frac{5}{13}$ (1 p). Ambele sunt posibile, pentru că enunțul nu precizează cadranul.

b) (2 p) Sinusul este pozitiv, deci punctul asociat se află deasupra axei $O x$ , adică în cadranul I sau II (0,5 p). Dacă $cos x = \frac{5}{13} > 0$ , punctul este în cadranul I (0,75 p); dacă $cos x = - \frac{5}{13} < 0$ , punctul este în cadranul II (0,75 p).

c) (1 p) În primul caz $tg x = \frac{12/13}{5/13} = \frac{12}{5}$ ; în al doilea caz $tg x = \frac{12/13}{- 5/13} = - \frac{12}{5}$ .

Exercițiul 9. (6 p)

a) (2 p) Din $B + C = \frac{π}{2}$ rezultă $C = \frac{π}{2} - B$ (0,5 p). Aplicând formulele cofuncțiilor (1 p): $cos C = cos (\frac{π}{2} - B) = sin B, sin C = sin (\frac{π}{2} - B) = cos B (0,5 p) . ■$

b) (2 p) Unghiul $B$ este ascuțit, deci este în cadranul I și $cos B > 0$ (0,5 p): $cos^{2} B = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} ⟹ cos B = \frac{4}{5} (1 p) .$ Din punctul a): $sin C = cos B = \frac{4}{5}$ și $cos C = sin B = \frac{3}{5}$ (0,5 p).

c) (2 p) $tg B = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}, tg C = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3} (1,5 p),$ iar produsul este $\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = 1$ ✓ (0,5 p). (Tangentele a două unghiuri complementare sunt inverse una alteia — util la triunghiul dreptunghic.)

Exercițiul 10. (8 p)

a) (4 p) — câte 1 punct:

$sin \frac{2 π}{3} = sin (π - \frac{π}{3}) = sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}$ ;
$cos \frac{7 π}{6} = cos (π + \frac{π}{6}) = - cos \frac{π}{6} = - \frac{3}{2}$ ;
$tg \frac{5 π}{4} = tg (π + \frac{π}{4}) = tg \frac{π}{4} = 1$ ;
$sin \frac{11 π}{6} = sin (2 π - \frac{π}{6}) = - sin \frac{π}{6} = - \frac{1}{2}$ .

b) (2 p) $E = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3}{2}) + 1 \cdot (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = - \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = - \frac{5}{4} (1 p pentru fiecare produs, cu rezultatul final) .$

c) (2 p) $sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{4}) = cos \frac{π}{4} = \frac{2}{2}$ și $cos (\frac{π}{2} - \frac{π}{3}) = sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}$ (1,5 p), deci $F = \frac{2}{2} + \frac{3}{2} = \frac{2 + 3}{2} (0,5 p) .$

Exercițiul 11. (8 p) — redactare completă.

a) (3 p) Fie $M$ punctul asociat numărului real $x$ , deci $M (cos x, sin x)$ , și fie $M^{'}$ punctul asociat numărului $\frac{π}{2} - x$ , deci $M^{'} (cos (\frac{π}{2} - x), sin (\frac{π}{2} - x))$ (0,5 p). Arcul de la $A (1, 0)$ la $M$ are măsura $x$ , iar arcul de la $M^{'}$ la $B (0, 1)$ are măsura $\frac{π}{2} - (\frac{π}{2} - x) = x$ : cele două arce sunt egale, deci $M$ și $M^{'}$ sunt simetrice față de prima bisectoare, care este axa de simetrie ce schimbă între ele punctele $A$ și $B$ (1,5 p). Simetria față de dreapta $y = x$ transformă $(a, b)$ în $(b, a)$ , prin urmare $M^{'} (sin x, cos x)$ (0,5 p). Identificând coordonatele obținem $cos (\frac{π}{2} - x) = sin x, sin (\frac{π}{2} - x) = cos x (0,5 p) . ■$

b) (3 p) Condiții de existență: $tg x$ există pentru $x \neq = \frac{π}{2} + k π$ , iar în acest caz și $π + x$ , și $π - x$ evită mulțimea interzisă, pentru că adunarea sau scăderea lui $π$ mută punctele interzise tot în puncte interzise (0,5 p). Folosim definiția și formulele pentru $π + x$ (1 p): $tg (π + x) = \frac{sin ( π + x )}{cos ( π + x )} = \frac{- sin x}{- cos x} = \frac{sin x}{cos x} = tg x (0,75 p) .$ Analog, cu formulele pentru $π - x$ (0,25 p): $tg (π - x) = \frac{sin ( π - x )}{cos ( π - x )} = \frac{sin x}{- cos x} = - tg x (0,5 p) . ■$

c) (2 p) Scriem $\frac{π}{2} + x = π - (\frac{π}{2} - x)$ (1 p) și aplicăm succesiv formula $sin (π - t) = sin t$ și formula de la punctul a) (0,5 p): $sin (\frac{π}{2} + x) = sin (\frac{π}{2} - x) = cos x (0,5 p) .$ Verificare pe o valoare: pentru $x = \frac{π}{6}$ , $sin \frac{2 π}{3} = \frac{3}{2} = cos \frac{π}{6}$ ✓. $■$

Exercițiul 12. (8 p)

a) (3 p) Tangenta este pozitivă, deci punctul se află în cadranul I sau III (0,5 p). Unghiul de bază este $\frac{π}{3}$ , pentru că $tg \frac{π}{3} = 3$ (1 p). În cadranul I obținem $x = \frac{π}{3}$ , iar în cadranul III, folosind $tg (π + x) = tg x$ (1 p): $x = π + \frac{π}{3} = \frac{4 π}{3} (0,5 p) .$

b) (3 p) Pentru $x = \frac{π}{3}$ (cadranul I): $sin x = \frac{3}{2}$ , $cos x = \frac{1}{2}$ (1,5 p). Pentru $x = \frac{4 π}{3}$ (cadranul III): $sin \frac{4 π}{3} = - sin \frac{π}{3} = - \frac{3}{2}$ și $cos \frac{4 π}{3} = - cos \frac{π}{3} = - \frac{1}{2}$ (1,5 p). (Verificare: $\frac{- 3 /2}{- 1/2} = 3$ ✓ — semnele se simplifică, exact ce spune formula $tg (π + x) = tg x$ .)

c) (2 p) Formula $tg (π + x) = tg x$ arată că tangenta își reia valorile din $π$ în $π$ , nu din $2 π$ în $2 π$ (1 p). Intervalul $(0, 2 π)$ are lungimea $2 π$ , adică exact două astfel de „pași" de lungime $π$ ; pe fiecare dintre ei tangenta ia o valoare dată cel mult o dată. Prin urmare o condiție de forma $tg x = m$ are exact două soluții în $(0, 2 π)$ , iar ele diferă prin $π$ : aici, $\frac{4 π}{3} - \frac{π}{3} = π$ ✓ (1 p).

Exercițiul 13. (8 p)

a) (2 p) $sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{3}) = cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ (1 p) și $cos (π + \frac{π}{3}) = - cos \frac{π}{3} = - \frac{1}{2}$ (0,5 p), deci suma este $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0 (0,5 p) . ■$

b) (3 p) Din formula fundamentală (1 p): $sin^{2} x = 1 - (\frac{2}{3})^{2} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} ⟹ sin x = \pm \frac{5}{3} .$ Cum $x \in (\frac{3 π}{2}, 2 π)$ este în cadranul IV, unde sinusul este negativ, rezultă $sin x = - \frac{5}{3}$ (1 p). Atunci $tg x = \frac{- 5 /3}{2/3} = - \frac{5}{2} (1 p),$ valoare negativă, ca orice tangentă din cadranul IV.

c) (3 p) Aplicăm formula cofuncțiilor la primul factor (1 p): $sin (\frac{π}{2} - x) \cdot tg x = cos x \cdot \frac{sin x}{cos x} .$ Condiția de existență a tangentei este $cos x \neq = 0$ (0,5 p), deci putem simplifica prin $cos x$ (1 p): $cos x \cdot \frac{sin x}{cos x} = sin x (0,5 p) . ■$

Pentru părinți și profesori

Acest test încheie unitatea și o pune la treabă. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: formulele cu $\frac{π}{2}$ , numite și formulele cofuncțiilor — $sin (\frac{π}{2} - x) = cos x$ și $cos (\frac{π}{2} - x) = sin x$ ; ele explică de ce sinusul și cosinusul „își schimbă rolurile" între unghiuri complementare și de ce, într-un triunghi dreptunghic, sinusul unui unghi ascuțit este cosinusul celuilalt. Al doilea: formulele pentru tangentă, $tg (π + x) = tg x$ și $tg (π - x) = - tg x$ , deduse riguros din formulele pentru sinus și cosinus, cu grija cuvenită pentru condițiile de existență. Al treilea: calculul unei funcții trigonometrice când se cunoaște alta — mecanismul complet, cu formula fundamentală pentru valoare și cu cadranul pentru semn, inclusiv cazul în care enunțul nu fixează cadranul și răspunsul trebuie dat pe cazuri. Al patrulea: sinteza — expresii care cer, în același exercițiu, reducere la primul cadran, formula fundamentală și formulele cofuncțiilor. Sunt acoperite lecțiile Formule cu $\frac{π}{2}$ : $sin (\frac{π}{2} - x) = cos x$ , Formule pentru tangentă: $tg (π + x)$ și $tg (π - x)$ și Calculul unei funcții trigonometrice când se cunoaște alta, împreună cu tot ce s-a învățat anterior în unitate.

Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie de matematică, fără calculator. Rezultatele se lasă în formă exactă, cu radicali și cu numitorii raționalizați. La itemii care cer tangenta se punctează și precizarea condiției de existență ( $cos x \neq = 0$ ). Acolo unde enunțul nu fixează cadranul, răspunsul complet conține toate cazurile posibile. La final se compară rezolvările cu Baremul și răspunsurile.
Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe formulele cofuncțiilor și pe alegerea semnului.
Formule de reținut: cofuncțiile — $sin (\frac{π}{2} - x) = cos x, cos (\frac{π}{2} - x) = sin x, sin (\frac{π}{2} + x) = cos x .$ Aici, spre deosebire de formulele cu $π$ și $2 π$ , funcția se schimbă (sinusul devine cosinus și invers), pentru că simetria implicată este cea față de prima bisectoare, care schimbă între ele abscisa și ordonata. Tangenta: $tg x = \frac{sin x}{cos x}$ , definită pentru $x \neq = \frac{π}{2} + k π$ ; $tg (π + x) = tg x$ (tangenta se repetă din $π$ în $π$ , nu din $2 π$ în $2 π$ !) și $tg (π - x) = - tg x$ . Calculul unei funcții din alta: se pleacă de la $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ , care dă valoarea până la semn, iar semnul se decide după cadran; dacă se cunoaște $tg x$ , se scriu $sin x$ și $cos x$ proporționale cu numărătorul și numitorul tangentei și se impune formula fundamentală. Unghiuri complementare: dacă $u + v = \frac{π}{2}$ , atunci $sin u = cos v$ , $cos u = sin v$ și $tg u \cdot tg v = 1$ .

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".