Test: Funcția radical și domeniul de definiție

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Funcția radical și funcții obținute prin operații

Exerciții

Partea I – Funcția radical: valori, grafic, domenii simple

Exercițiul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Cel mai mare dintre numerele $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $2$, $\sqrt{5}$ este: A. $\sqrt{2}$; B. $\sqrt{3}$; C. $2$; D. $\sqrt{5}$.

b) Domeniul maxim de definiție al funcției $f(x)=\sqrt{x-3}$ este: A. $[3,+\infty )$; B. $(-\infty ,3]$; C. $[-3,+\infty )$; D. $\mathbb{R}$.

c) Domeniul maxim de definiție al funcției $g(x)=\sqrt{5-x}$ este: A. $[5,+\infty )$; B. $(-\infty ,5]$; C. $[-5,+\infty )$; D. $\mathbb{R}\setminus \{5\}$.

Exercițiul 2 (6 puncte)

Se consideră funcția $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$. a) Calculează $f(0)$, $f(1,44)$, $f(64)$ și $f(0,09)$. (2 p) b) Stabilește, prin calcul, dacă punctele $A(25,5)$ și $B(3,9)$ aparțin graficului funcției. (2 p) c) Determină numărul real $x$ pentru care $f(x)=11$ și precizează câte soluții are ecuația $f(x)=-2$. (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „$\sqrt{x^2}=x$ pentru orice număr real $x$." b) „Funcția $f(x)=\sqrt{x}$ este strict crescătoare pe $[0,+\infty )$." c) „Domeniul maxim de definiție al funcției $h(x)=\sqrt{x^2+1}$ este $\mathbb{R}$." d) „Ecuația $\sqrt{x}=m$ are soluție pentru orice număr real $m$."

Exercițiul 4 (6 puncte)

Determină domeniul maxim de definiție al fiecărei funcții, scriindu-l ca interval sau reuniune de intervale (câte 2 puncte): a) $f(x)=\sqrt{2x-6}$; b) $g(x)=\sqrt{15-3x}$; c) $h(x)=\sqrt{x+4}+\sqrt{6-x}$.

Partea a II-a – Comparări, domenii cu numitor și lecturi grafice

Exercițiul 5 (8 puncte)

a) Ordonează crescător numerele $\sqrt{11}$, $3$, $\sqrt{7}$, $3,5$, fără calculator, și explică metoda folosită. (4 p) b) Compară numerele $\sqrt{50}$ și $7,1$. (2 p) c) Arată că $4<\sqrt{17}<4,2$. (2 p)

Exercițiul 6 (8 puncte)

Determină domeniul maxim de definiție al fiecărei funcții: a) $f(x)=\sqrt{x^2-9}$; (3 p) b) $g(x)=\frac{\sqrt{x}}{x-4}$; (3 p) c) $h(x)=\frac{1}{\sqrt{x-2}}$. (2 p)

Exercițiul 7 (7 puncte)

Folosind graficul funcției $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$, și monotonia ei: a) rezolvă ecuația $\sqrt{x}=6$; (2 p) b) rezolvă inecuația $\sqrt{x}<5$; (2 p) c) determină toate numerele naturale $n$ pentru care $\sqrt{n}\le 3$ și precizează câte sunt. (3 p)

Exercițiul 8 (7 puncte)

Se consideră funcția $f(x)=\sqrt{3x+1}$. a) Determină domeniul maxim de definiție $D$. (2 p) b) Calculează $f(1)$, $f(5)$ și $f(8)$. (3 p) c) Determină numărul real $x$ pentru care $f(x)=7$. (2 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

(Problemă aplicată.) Distanța până la linia orizontului, privită de la înălțimea $h$ (măsurată în metri), se aproximează cu formula $d=3,57\sqrt{h}$, unde $d$ se obține în kilometri. a) Calculează distanța până la orizont de la înălțimea $h=4$ m. (2 p) b) Calculează distanța până la orizont de pe o clădire de $h=100$ m. (2 p) c) De la ce înălțime se vede până la $17,85$ km? (2 p)

Partea a III-a – Domenii compuse, demonstrație și item de tip examen

Exercițiul 10 (8 puncte)

Determină domeniul maxim de definiție al fiecărei funcții și scrie-l ca interval sau reuniune de intervale: a) $f(x)=\sqrt{x-1}+\frac{1}{\sqrt{6-x}}$; (4 p) b) $g(x)=\sqrt{x^2-7x+12}$. (4 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Demonstrează că funcția $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$, este strict crescătoare. (4 p) b) Folosind monotonia demonstrată la punctul a), rezolvă inecuația $\sqrt{2x-1}<3$, precizând mai întâi domeniul pe care are sens. (4 p)

Exercițiul 12 (6 puncte)

a) Determină mulțimea valorilor funcției $f:[0,9]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$. (2 p) b) Pentru funcția $g:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=\sqrt{x}-4$, determină mulțimea valorilor, punctul de intersecție al graficului cu axa $Ox$ și valoarea minimă. (4 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) Se consideră funcția $f:D\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x-2}$. a) Determinați domeniul maxim de definiție $D$. (2 p) b) Calculați $f(6)+f(11)$. (2 p) c) Determinați numărul real $x$ pentru care $f(x)=3$, apoi rezolvați inecuația $f(x)\le 3$. (4 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) D. Scriem $2=\sqrt{4}$. Cum $2<3<4<5$ și funcția radical este strict crescătoare, obținem $\sqrt{2}<\sqrt{3}<2<\sqrt{5}$, deci cel mai mare este $\sqrt{5}$. (Control: $\sqrt{5}\approx 2,24$.) b) A. Condiția de existență este $x-3\ge 0$, adică $x\ge 3$, deci $D=[3,+\infty )$. c) B. Condiția de existență este $5-x\ge 0$, adică $x\le 5$, deci $D=(-\infty ,5]$. Atenție la sensul inegalității: necunoscuta apare cu semnul minus.

Exercițiul 2. (6 p) a) (2 p) $f(0)=0$; $f(1,44)=1,2$ (căci $1,2^2=1,44$); $f(64)=8$; $f(0,09)=0,3$ (căci $0,3^2=0,09$). (0,5 p pentru fiecare valoare.) b) (2 p) Punctul $A(25,5)$ aparține graficului, pentru că $f(25)=\sqrt{25}=5$ ✓ (1 p). Punctul $B(3,9)$ nu aparține graficului: ar cere $\sqrt{3}=9$, dar $\sqrt{3}\approx 1,73$. Pe graficul funcției radical se află punctul $(81,9)$, nu $(3,9)$ (1 p). c) (2 p) Din $\sqrt{x}=11$ rezultă $x=11^2=121$; verificare: $\sqrt{121}=11$ ✓ (1 p). Ecuația $f(x)=-2$ nu are nicio soluție, pentru că $\sqrt{x}\ge 0$ pentru orice $x$ din domeniu, deci nu poate fi egal cu un număr negativ (1 p).

Exercițiul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) F. Corect este $\sqrt{x^2}=|x|$. Contraexemplu: pentru $x=-7$ avem $\sqrt{(-7{)}^2}=\sqrt{49}=7\ne -7$. Egalitatea $\sqrt{x^2}=x$ este adevărată doar pentru $x\ge 0$. b) A. Dacă $0\le x_1<x_2$ și am avea $\sqrt{x_1}\ge \sqrt{x_2}$, atunci, ridicând la pătrat (permis, ambele fiind nenegative), am obține $x_1\ge x_2$ — contradicție. Deci $\sqrt{x_1}<\sqrt{x_2}$. c) A. Condiția de existență este $x^2+1\ge 0$, iar $x^2\ge 0$ pentru orice $x$ real, deci $x^2+1\ge 1>0$ mereu. Domeniul este întreaga mulțime $\mathbb{R}$. d) F. Ecuația are soluție doar pentru $m\ge 0$ (atunci $x=m^2$, soluție unică). Pentru $m<0$, de exemplu $m=-2$, nu există niciun $x$ cu $\sqrt{x}=-2$, fiindcă radicalul este nenegativ.

Exercițiul 4. (6 p) — câte 2 puncte (1 p condiția, 1 p intervalul). a) $2x-6\ge 0⟺2x\ge 6⟺x\ge 3$, deci $D=[3,+\infty )$. b) $15-3x\ge 0⟺15\ge 3x⟺x\le 5$, deci $D=(-\infty ,5]$. c) Ambii radicali trebuie să existe simultan, deci condițiile se intersectează: $x+4\ge 0$ și $6-x\ge 0$, adică $x\ge -4$ și $x\le 6$. Rezultă $D=[-4,+\infty )\cap (-\infty ,6]=[-4,6]$.

Exercițiul 5. (8 p)

a) (4 p) Aducem toate numerele sub radical, folosind $b=\sqrt{b^2}$ pentru $b\ge 0$ (1 p): $$3=\sqrt{9},3,5=\sqrt{12,25}.$$ Comparăm radicanzii: $7<9<11<12,25$ (1,5 p). Cum funcția radical este strict crescătoare, ordinea se păstrează (0,5 p): $$\sqrt{7}<3<\sqrt{11}<3,5.$$ (1 p) (Control cu aproximări: $2,65<3<3,32<3,5$ ✓.)

b) (2 p) Scriem $7,1=\sqrt{50,41}$, pentru că $7,1^2=50,41$ (1 p). Cum $50<50,41$, rezultă $\sqrt{50}<7,1$ (1 p).

c) (2 p) Avem $4=\sqrt{16}$ și $4,2=\sqrt{17,64}$ (1 p). Din $16<17<17,64$ și din monotonia funcției radical rezultă $4<\sqrt{17}<4,2$ (1 p).

Exercițiul 6. (8 p)

a) (3 p) Condiția: $x^2-9\ge 0$, adică $(x-3)(x+3)\ge 0$ (1 p). Expresia de gradul al doilea are $a=1>0$ și rădăcinile $-3$ și $3$, deci este nenegativă în afara rădăcinilor (1 p): $$D=(-\infty ,-3]\cup [3,+\infty ).$$ (1 p)

b) (3 p) Sunt două condiții: radicalul de la numărător cere $x\ge 0$ (1 p), iar numitorul cere $x-4\ne 0$, adică $x\ne 4$ (1 p). Intersectând: $$D=[0,4)\cup (4,+\infty ).$$ (1 p)

c) (2 p) Radicalul stă la numitor, deci nu are voie să se anuleze: condiția devine $x-2>0$ (strict!), adică $x>2$ (1 p). Prin urmare $D=(2,+\infty )$ (1 p). (Greșeala tipică: $x\ge 2$ — dar pentru $x=2$ numitorul ar fi $0$.)

Exercițiul 7. (7 p)

a) (2 p) Orizontala $y=6$ taie graficul într-un singur punct, de abscisă $36$, pentru că $\sqrt{36}=6$. Soluția este $x=36$, unică (funcția este strict crescătoare, deci nu ia de două ori aceeași valoare).

b) (2 p) Punctul în care $\sqrt{x}=5$ are abscisa $25$; valorile mai mici se obțin la stânga lui, fără a ieși din domeniu. Soluția este $x\in [0,25)$ (1,5 p); capătul din stânga este $0$, nu $-\infty$ (0,5 p).

c) (3 p) Din monotonie, $\sqrt{n}\le 3⟺n\le 9$ (1 p), iar $n$ trebuie să fie număr natural, deci și $n\ge 0$ (0,5 p). Rezultă $$n\in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\},$$ adică 10 numere naturale (1,5 p). Verificare la capăt: $\sqrt{9}=3\le 3$ ✓, iar $\sqrt{10}\approx 3,16>3$ ✗.

Exercițiul 8. (7 p)

a) (2 p) Condiția de existență: $3x+1\ge 0⟺3x\ge -1⟺x\ge -\frac{1}{3}$, deci $D=\left[-\frac{1}{3},+\infty \right)$.

b) (3 p) $f(1)=\sqrt{3\cdot 1+1}=\sqrt{4}=2$; $f(5)=\sqrt{16}=4$; $f(8)=\sqrt{25}=5$. (Câte 1 p.)

c) (2 p) Din $\sqrt{3x+1}=7$ rezultă $3x+1=49$, deci $3x=48$ și $x=16$ (1,5 p). Verificare: $f(16)=\sqrt{49}=7$ ✓, iar $16$ aparține domeniului (0,5 p).

Exercițiul 9. (6 p)

a) (2 p) $d=3,57\sqrt{4}=3,57\cdot 2=7,14$ km.

b) (2 p) $d=3,57\sqrt{100}=3,57\cdot 10=35,7$ km.

c) (2 p) Din $3,57\sqrt{h}=17,85$ rezultă $\sqrt{h}=\frac{17,85}{3,57}=5$ (1 p), deci $h=25$ m (1 p). (Observație de discutat la clasă: de la $4$ m la $100$ m înălțimea crește de $25$ de ori, iar distanța doar de $5$ ori — exact „încetinirea" specifică radicalului.)

Exercițiul 10. (8 p)

a) (4 p) Sunt două condiții, care trebuie îndeplinite simultan: – radicalul de la primul termen: $x-1\ge 0⟺x\ge 1$ (1,5 p); – radicalul de la numitor: $6-x>0$ (strict, ca numitorul să nu se anuleze) $⟺x<6$ (1,5 p). Intersectând cele două condiții: $D=[1,6)$ (1 p). (Capătul $1$ este inclus, capătul $6$ nu.)

b) (4 p) Condiția: $x^2-7x+12\ge 0$ (1 p). Rezolvăm ecuația atașată: $\Delta =49-48=1$, deci $x_1=3$ și $x_2=4$ (1,5 p). Cum $a=1>0$, expresia este nenegativă în afara rădăcinilor (1 p): $$D=(-\infty ,3]\cup [4,+\infty ).$$ (0,5 p) Verificare rapidă: pentru $x=3,5$ obținem $12,25-24,5+12=-0,25<0$, deci intervalul $(3,4)$ este într-adevăr exclus ✓.

Exercițiul 11. (8 p) — redactare completă.

a) Monotonia (4 p). Fie $x_1,x_2\in [0,+\infty )$ cu $x_1<x_2$; trebuie să arătăm că $\sqrt{x_1}<\sqrt{x_2}$ (1 p). Presupunem, prin absurd, că $\sqrt{x_1}\ge \sqrt{x_2}$ (1 p). Ambele numere sunt nenegative, iar ridicarea la pătrat păstrează inegalitatea între numere nenegative, deci $${\left(\sqrt{x_1}\right)}^2\ge {\left(\sqrt{x_2}\right)}^2⟹x_1\ge x_2,$$ în contradicție cu ipoteza $x_1<x_2$ (1,5 p). Prin urmare $\sqrt{x_1}<\sqrt{x_2}$, adică $f$ este strict crescătoare (0,5 p). $■$

b) Inecuația (4 p). Condiția de existență: $2x-1\ge 0⟺x\ge \frac{1}{2}$ (1 p). Pe acest domeniu, ambii membri sunt nenegativi, iar $3=\sqrt{9}$; din stricta monotonie a funcției radical, inegalitatea dintre radicali este echivalentă cu inegalitatea dintre radicanzi (1,5 p): $$\sqrt{2x-1}<\sqrt{9}⟺2x-1<9⟺2x<10⟺x<5.$$ (1 p) Intersectând cu domeniul, soluția este $x\in \left[\frac{1}{2},5\right)$ (0,5 p). Verificare: pentru $x=1$ avem $\sqrt{1}=1<3$ ✓, iar pentru $x=5$ avem $\sqrt{9}=3$, care nu este strict mai mic decât $3$ ✓.

Exercițiul 12. (6 p)

a) (2 p) Funcția este strict crescătoare pe $[0,9]$, deci ia valoarea minimă în capătul din stânga, $f(0)=0$, și valoarea maximă în capătul din dreapta, $f(9)=3$ (1 p). Cum graficul este o curbă continuă, mulțimea valorilor este $\mathrm{Im}f=[0,3]$ (1 p).

b) (4 p) Funcția $g(x)=\sqrt{x}-4$ se obține coborând graficul funcției radical cu $4$ unități (1 p). Cum $\sqrt{x}\in [0,+\infty )$, rezultă $$\mathrm{Im}g=[-4,+\infty )$$ (1,5 p). Intersecția cu axa $Ox$: $\sqrt{x}-4=0⟺\sqrt{x}=4⟺x=16$, deci punctul este $(16,0)$ (1 p). Valoarea minimă este $-4$, atinsă în $x=0$ (0,5 p).

Exercițiul 13. (8 p)

a) (2 p) Condiția de existență: $x-2\ge 0⟺x\ge 2$, deci $D=[2,+\infty )$.

b) (2 p) $f(6)+f(11)=\sqrt{4}+\sqrt{9}=2+3=5$.

c) (4 p) Din $\sqrt{x-2}=3$ rezultă $x-2=9$, deci $x=11$; verificare: $\sqrt{9}=3$ ✓, iar $11\in D$ (2 p). Pentru inecuație folosim stricta monotonie a funcției radical: pe domeniul $x\ge 2$, $$\sqrt{x-2}\le 3⟺x-2\le 9⟺x\le 11$$ (1,5 p). Intersectând cu domeniul, soluția este $x\in [2,11]$ (0,5 p). (Se acceptă și rezolvarea prin lectură grafică: porțiunea de grafic aflată sub orizontala $y=3$, de la capătul din stânga al domeniului până la punctul $(11,3)$ inclusiv.)

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică primul strat al unității: funcția radical de ordin 2 ca obiect cu grafic și proprietăți, plus deprinderea care se cere apoi la fiecare exercițiu de liceu — determinarea domeniului maxim de definiție. Sunt acoperite lecțiile Funcția radical de ordin 2: f(x) = √x și Domeniul de definiție al unei funcții cu radical. Se evaluează trei lucruri: calculul de valori și recunoașterea punctelor de pe grafic; folosirea monotoniei pentru comparări fără calculator și pentru rezolvarea inecuațiilor; scrierea corectă a domeniului ca interval sau reuniune de intervale, atunci când sub radical apare o expresie de gradul întâi, o expresie de gradul al doilea, sau când radicalul stă la numitor. Ultima parte adaugă o mică demonstrație (monotonia) și un item redactat în stilul Bacalaureatului.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. La itemii de domeniu, răspunsul este complet doar dacă este scris ca interval (sau reuniune de intervale) și dacă sunt precizate condițiile de existență din care a rezultat. La final se compară rezolvările cu Baremul și răspunsurile.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe diferența dintre condiția $\ge 0$ (radical simplu) și condiția $>0$ (radical la numitor).
• Condiții de existență și formule de reținut: $\sqrt{x}$ este unicul număr nenegativ al cărui pătrat este $x$; de aceea $\sqrt{x}\ge 0$ mereu, iar $\sqrt{x^2}=|x|$ (nu $x$!). Funcția radical de ordin 2 este $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$, cu domeniul $[0,+\infty )$, mulțimea valorilor $[0,+\infty )$, minimul $0$ atins în $x=0$, și este strict crescătoare: din $0\le x_1<x_2$ rezultă $\sqrt{x_1}<\sqrt{x_2}$. Regulile de domeniu: pentru $\sqrt{E(x)}$ se pune $E(x)\ge 0$; pentru $\frac{1}{\sqrt{E(x)}}$ se pune $E(x)>0$ (radicalul de la numitor nu are voie să se anuleze); pentru $\frac{A(x)}{B(x)}$ se pune $B(x)\ne 0$; la o sumă de radicali, condițiile se intersectează. Comparări: ca să compari $\sqrt{a}$ cu un număr $b\ge 0$, scrii $b=\sqrt{b^2}$ și compari radicanzii. Inecuații: pentru $m>0$, $\sqrt{E(x)}<m⟺0\le E(x)<m^2$, iar $\sqrt{E(x)}>m⟺E(x)>m^2$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".