Test: Funcții obținute prin înmulțire și împărțire

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Funcția radical și funcții obținute prin operații

Exerciții

Partea I – Produsul a două funcții afine

Exercițiul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Se consideră funcțiile $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-1$ și $g(x)=x+5$. Valoarea $(f\cdot g)(3)$ este: A. $16$; B. $10$; C. $-16$; D. $14$.

b) Domeniul maxim de definiție al funcției $h(x)=\frac{2x+1}{x-3}$ este: A. $\mathbb{R}$; B. $\mathbb{R}\setminus \{3\}$; C. $\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{1}{2}\right\}$; D. $(3,+\infty )$.

c) Zerourile funcției $p:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $p(x)=(x+4)(2x-6)$, sunt: A. $-4$ și $3$; B. $4$ și $-3$; C. $-4$ și $6$; D. $4$ și $3$.

Exercițiul 2 (6 puncte)

Se consideră funcțiile $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-2$ și $g(x)=x+6$, precum și funcția $h=f\cdot g$. a) Scrie $h(x)$ în forma $a{x}^2+bx+c$. (2 p) b) Determină zerourile funcției $h$ și coordonatele vârfului parabolei asociate. (2 p) c) Precizează orientarea ramurilor și valoarea minimă a funcției $h$. (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Graficul produsului a două funcții de gradul întâi taie axa $Ox$ exact în punctele în care o taie cel puțin unul dintre factori." b) „Funcția $h(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ este definită pentru orice număr real." c) „Dacă $f(x)=x-3$ și $g(x)=x-3$, atunci graficul funcției $f\cdot g$ este o parabolă tangentă axei $Ox$ în punctul $(3,0)$." d) „Dacă numitorul unei funcții se anulează în $x=1$, atunci graficul funcției are neapărat asimptota verticală $x=1$."

Exercițiul 4 (6 puncte)

Se consideră funcția $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $h(x)=(x+1)(3-x)$. a) Determină zerourile funcției, scrie $h(x)$ în forma desfășurată și alcătuiește tabelul de semn. (3 p) b) Rezolvă inecuația $h(x)\ge 0$. (3 p)

Partea a II-a – Câtul a două funcții: domeniu, zerouri, semn

Exercițiul 5 (8 puncte)

Se consideră funcția $f(x)=\frac{2x-8}{x+3}$. a) Determină domeniul maxim de definiție. (2 p) b) Determină coordonatele punctelor de intersecție ale graficului cu axele de coordonate. (3 p) c) Calculează $f(1)$, $f(-1)$, $f(7)$ și $f(-13)$. (3 p)

Exercițiul 6 (8 puncte)

Se consideră funcția $g(x)=\frac{x-2}{x+4}$. a) Determină domeniul maxim de definiție. (1 p) b) Alcătuiește tabelul de semn al funcției $g$, marcând atât zeroul, cât și valoarea exclusă. (4 p) c) Rezolvă inecuația $g(x)\le 0$. (3 p)

Exercițiul 7 (7 puncte)

Se consideră funcția $h(x)=\frac{x^2-9}{x-3}$. a) Determină domeniul maxim de definiție. (2 p) b) Arată că $h(x)=x+3$ pentru orice $x$ din domeniu. (2 p) c) Descrie graficul funcției $h$: ce figură este și ce punct îi lipsește? Are graficul asimptotă verticală? Justifică. (3 p)

Exercițiul 8 (7 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{0\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2+\frac{1}{x}$. a) Calculează $f(1)$, $f(10)$, $f(100)$ și $f(1000)$ și precizează spre ce număr se apropie valorile funcției când $x$ crește nemărginit. (3 p) b) Calculează $f(0,1)$, $f(0,01)$ și $f(-0,01)$ și descrie ce se întâmplă cu valorile funcției când $x$ se apropie de $0$. (2 p) c) Precizează ecuațiile celor două asimptote ale graficului. (2 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

(Problemă aplicată.) O mică fabrică are un cost fix de $500$ de lei pe zi și un cost de $8$ lei pentru fiecare obiect produs, deci costul total al unei zile în care se produc $x$ obiecte este $C(x)=500+8x$ lei. Costul mediu pe obiect este $M(x)=\frac{C(x)}{x}$. a) Precizează domeniul cu sens practic al funcției $M$. (1 p) b) Calculează $M(10)$, $M(50)$ și $M(250)$. (3 p) c) Spre ce valoare se apropie costul mediu când producția crește foarte mult? Interpretează rezultatul. (2 p)

Partea a III-a – Grafice, comportament asimptotic și item de tip examen

Exercițiul 10 (8 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x-2)(x-8)$. a) Determină zerourile, coordonatele vârfului și orientarea ramurilor. (3 p) b) Determină intersecția graficului cu axa $Oy$ și schițează graficul. (2 p) c) Rezolvă inecuația $f(x)<0$ și precizează valoarea minimă a funcției, împreună cu punctul în care se atinge. (3 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

Se consideră funcția $f(x)=\frac{x+2}{x-1}$. a) Determină domeniul maxim de definiție. (1 p) b) Arată că $f(x)=1+\frac{3}{x-1}$ pentru orice $x$ din domeniu. (2 p) c) Deduce ecuațiile asimptotelor graficului. (2 p) d) Determină numărul real $x$ pentru care $f(x)=4$ și arată că ecuația $f(x)=1$ nu are nicio soluție. (3 p)

Exercițiul 12 (6 puncte)

Graficul din figură este graficul funcției $f(x)=\frac{3x-12}{x+2}$.

a) Verifică prin calcul coordonatele punctelor de intersecție ale graficului cu axele. (2 p) b) Determină domeniul maxim de definiție și ecuația asimptotei verticale. (2 p) c) Arată că $f(x)=3-\frac{18}{x+2}$ și precizează ecuația asimptotei orizontale. (2 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) Se consideră funcțiile $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-3$ și $g(x)=x+1$, precum și funcția $h=f\cdot g$. a) Calculați $h(2)$. (2 p) b) Determinați coordonatele vârfului parabolei asociate funcției $h$. (3 p) c) Determinați numărul real $x$ pentru care $\frac{f(x)}{g(x)}=2$, precizând mai întâi domeniul pe care are sens raportul. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) A. $(f\cdot g)(3)=f(3)\cdot g(3)=(3-1)(3+5)=2\cdot 8=16$. (Atenție: valorile celor două funcții se înmulțesc, nu se adună — varianta $10$ vine tocmai din adunarea lor.) b) B. Singura condiție este ca numitorul să nu se anuleze: $x-3\ne 0⟺x\ne 3$, deci $D=\mathbb{R}\setminus \{3\}$. Numărătorul poate lua orice valoare, inclusiv $0$. c) A. Un produs este nul dacă și numai dacă cel puțin un factor este nul: $x+4=0⟺x=-4$, iar $2x-6=0⟺x=3$. Deci zerourile sunt $-4$ și $3$.

Exercițiul 2. (6 p)

a) (2 p) $h(x)=(x-2)(x+6)=x^2+6x-2x-12=x^2+4x-12$.

b) (2 p) Zerourile se citesc direct din factori: $x_1=2$ și $x_2=-6$ (1 p). Abscisa vârfului este mijlocul lor, $x_V=\frac{2+(-6)}{2}=-2$ (același rezultat cu formula $-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2}=-2$), iar $h(-2)=(-2-2)(-2+6)=(-4)\cdot 4=-16$, deci $V(-2,-16)$ (1 p).

c) (2 p) Coeficientul dominant este $a=1>0$, deci ramurile sunt orientate în sus (1 p); prin urmare vârful este punct de minim, iar valoarea minimă a funcției este $-16$, atinsă în $x=-2$ (1 p).

Exercițiul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) A. Graficul taie axa $Ox$ acolo unde $f(x)\cdot g(x)=0$, iar un produs de numere reale este nul dacă și numai dacă cel puțin un factor este nul. Deci zerourile produsului sunt exact reuniunea zerourilor factorilor. b) F. Numitorul se anulează în $x=2$, deci $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$. Faptul că fracția se simplifică ($x+2$ pentru $x\ne 2$) nu schimbă domeniul: valoarea $x=2$ rămâne exclusă. c) A. $(f\cdot g)(x)=(x-3{)}^2$, o funcție de gradul al doilea cu $\Delta =0$ și rădăcină dublă $x=3$. Graficul este o parabolă cu ramurile în sus, al cărei vârf $(3,0)$ este chiar pe axa $Ox$ — deci parabola atinge axa într-un singur punct. d) F. Contraexemplu: $h(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$ pentru orice $x\ne 1$. Numitorul se anulează în $x=1$, dar valorile nu „explodează": ele se apropie de $2$. Graficul este dreapta $y=x+1$ din care lipsește punctul $(1,2)$, deci nu are asimptotă verticală. Asimptota apare doar când numărătorul nu se anulează în același punct.

Exercițiul 4. (6 p)

a) (3 p) Zerourile: $x+1=0⟺x=-1$ și $3-x=0⟺x=3$ (1 p). Forma desfășurată: $h(x)=(x+1)(3-x)=3x-x^2+3-x=-x^2+2x+3$ (1 p). Cum $a=-1<0$, expresia are semnul lui $a$ (negativ) în afara rădăcinilor și semn contrar între ele (1 p):

b) (3 p) Din tabel, $h(x)\ge 0$ pe intervalul dintre rădăcini, capetele fiind incluse (acolo $h$ se anulează) (2 p): $$x\in [-1,3].$$ (1 p) Verificare: $h(0)=1\cdot 3=3>0$ ✓, iar $h(4)=5\cdot (-1)=-5<0$ ✓.

Exercițiul 5. (8 p)

a) (2 p) Condiția: $x+3\ne 0⟺x\ne -3$, deci $D=\mathbb{R}\setminus \{-3\}$.

b) (3 p) Cu axa $Ox$: $f(x)=0⟺2x-8=0$ (numitorul fiind nenul) $⟺x=4$, deci punctul $(4,0)$ (1,5 p). Cu axa $Oy$: $f(0)=\frac{-8}{3}$, deci punctul $\left(0,-\frac{8}{3}\right)$ (1,5 p).

c) (3 p) $f(1)=\frac{2-8}{4}=\frac{-6}{4}=-\frac{3}{2}$; $f(-1)=\frac{-2-8}{2}=\frac{-10}{2}=-5$; $f(7)=\frac{14-8}{10}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$; $f(-13)=\frac{-26-8}{-10}=\frac{-34}{-10}=\frac{17}{5}$. (Câte 0,75 p.)

Exercițiul 6. (8 p)

a) (1 p) $x+4\ne 0⟺x\ne -4$, deci $D=\mathbb{R}\setminus \{-4\}$.

b) (4 p) Zeroul funcției este $x=2$ (se anulează numărătorul), iar $x=-4$ este valoarea exclusă (se anulează numitorul) — ambele trebuie să apară în tabel (1 p). Studiem semnele celor doi factori de gradul întâi (1,5 p):

Prin urmare: $g(x)>0$ pe $(-\infty ,-4)\cup (2,+\infty )$, $g(x)<0$ pe $(-4,2)$, $g(2)=0$, iar în $x=-4$ funcția nu este definită (bara verticală din tabel) (1,5 p).

c) (3 p) Din tabel, $g(x)\le 0$ pe intervalul $(-4,2]$ (2 p). Capătul $2$ este inclus (acolo $g$ se anulează), iar capătul $-4$ este exclus (acolo funcția nu există) (1 p). Verificare: $g(0)=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}<0$ ✓, $g(-5)=\frac{-7}{-1}=7>0$ ✓.

Exercițiul 7. (7 p)

a) (2 p) $x-3\ne 0⟺x\ne 3$, deci $D=\mathbb{R}\setminus \{3\}$.

b) (2 p) Descompunem numărătorul cu formula diferenței de pătrate: $x^2-9=(x-3)(x+3)$ (1 p). Pentru $x\ne 3$ avem $x-3\ne 0$, deci putem simplifica: $$h(x)=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3.$$ (1 p)

c) (3 p) Graficul este dreapta $y=x+3$, din care lipsește un singur punct: cel de abscisă $3$, adică $(3,6)$ — desenat, de obicei, ca un cerculeț gol (2 p). Graficul nu are asimptotă verticală: când $x$ se apropie de $3$, valorile funcției se apropie de $6$ (nu cresc nemărginit), pentru că factorul care se anula la numitor s-a simplificat (1 p).

Exercițiul 8. (7 p)

a) (3 p) $f(1)=2+1=3$; $f(10)=2+0,1=2,1$; $f(100)=2+0,01=2,01$; $f(1000)=2+0,001=2,001$ (2 p). Când $x$ crește nemărginit, fracția $\frac{1}{x}$ se apropie oricât de mult de $0$, deci valorile funcției se apropie de 2 (de deasupra) (1 p).

b) (2 p) $f(0,1)=2+10=12$; $f(0,01)=2+100=102$; $f(-0,01)=2-100=-98$ (1 p). Când $x$ se apropie de $0$ prin valori pozitive, valorile cresc nemărginit; când se apropie prin valori negative, scad nemărginit. Graficul „se lipește" de axa $Oy$ (1 p).

c) (2 p) Asimptota verticală este dreapta $x=0$ (axa $Oy$) (1 p), iar asimptota orizontală este dreapta $y=2$ (1 p).

Exercițiul 9. (6 p)

a) (1 p) Are sens doar pentru un număr strict pozitiv de obiecte: $x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ (sau, dacă modelăm continuu, $x>0$). Pentru $x=0$ raportul nici nu este definit — nu se poate vorbi despre cost mediu pe obiect când nu se produce nimic.

b) (3 p) $M(10)=\frac{500+80}{10}=\frac{580}{10}=58$ lei; $M(50)=\frac{500+400}{50}=\frac{900}{50}=18$ lei; $M(250)=\frac{500+2000}{250}=\frac{2500}{250}=10$ lei. (Câte 1 p.)

c) (2 p) Scriem $M(x)=\frac{500+8x}{x}=8+\frac{500}{x}$ (1 p). Când $x$ crește nemărginit, fracția $\frac{500}{x}$ se apropie de $0$, deci costul mediu se apropie de 8 lei — dreapta $y=8$ este asimptotă orizontală. Interpretare: costul fix de $500$ de lei se împarte la tot mai multe obiecte, deci contribuția lui pe obiect devine neglijabilă; costul mediu nu poate scădea însă niciodată sub costul unitar de $8$ lei (1 p).

Exercițiul 10. (8 p)

a) (3 p) Zerourile se citesc din factori: $x_1=2$ și $x_2=8$ (1 p). Abscisa vârfului este mijlocul lor, $x_V=\frac{2+8}{2}=5$, iar $f(5)=(5-2)(5-8)=3\cdot (-3)=-9$, deci $V(5,-9)$ (1,5 p). Forma desfășurată este $f(x)=x^2-10x+16$, cu $a=1>0$, deci ramurile sunt orientate în sus (0,5 p).

b) (2 p) $f(0)=(-2)(-8)=16$, deci graficul taie axa $Oy$ în $(0,16)$ (1 p). Schița: parabolă cu ramurile în sus, care taie axa $Ox$ în $(2,0)$ și $(8,0)$, cu vârful în $(5,-9)$ și axa de simetrie $x=5$ (1 p).

c) (3 p) Cum $a>0$, funcția este negativă între rădăcini: $f(x)<0⟺x\in (2,8)$ (2 p). Valoarea minimă este $-9$, atinsă în $x=5$ (1 p). Verificare: $f(3)=1\cdot (-5)=-5<0$ ✓ și $f(9)=7\cdot 1=7>0$ ✓.

Exercițiul 11. (8 p)

a) (1 p) $x-1\ne 0⟺x\ne 1$, deci $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$.

b) (2 p) Aducem la același numitor membrul drept: $$1+\frac{3}{x-1}=\frac{x-1+3}{x-1}=\frac{x+2}{x-1}=f(x),$$ pentru orice $x\ne 1$. (Echivalent, se poate scrie direct $x+2=(x-1)+3$ și se împarte termen cu termen.)

c) (2 p) Asimptota verticală: $x=1$ — când $x$ se apropie de $1$, numitorul se apropie de $0$, iar numărătorul de $3\ne 0$, deci fracția $\frac{3}{x-1}$ crește (sau scade) nemărginit (1 p). Asimptota orizontală: $y=1$ — când $|x|$ crește nemărginit, $\frac{3}{x-1}$ se apropie de $0$, deci $f(x)$ se apropie de $1$ (1 p).

d) (3 p) Din $1+\frac{3}{x-1}=4$ rezultă $\frac{3}{x-1}=3$, deci $x-1=1$ și $x=2$ (1,5 p). Verificare: $f(2)=\frac{4}{1}=4$ ✓. Ecuația $f(x)=1$ ar cere $\frac{3}{x-1}=0$, imposibil, pentru că o fracție cu numărătorul $3\ne 0$ nu se poate anula niciodată (1,5 p). Tocmai de aceea valoarea $1$ nu este atinsă, deși graficul se apropie oricât de mult de dreapta $y=1$ — sensul precis al cuvântului „asimptotă".

Exercițiul 12. (6 p)

a) (2 p) Cu $Ox$: $f(x)=0⟺3x-12=0⟺x=4$, deci punctul $(4,0)$ ✓ (1 p). Cu $Oy$: $f(0)=\frac{-12}{2}=-6$, deci punctul $(0,-6)$ ✓ (1 p). Ambele coincid cu ce se citește pe figură.

b) (2 p) $x+2\ne 0⟺x\ne -2$, deci $D=\mathbb{R}\setminus \{-2\}$ (1 p). Asimptota verticală este dreapta $x=-2$: numărătorul în $-2$ valorează $3\cdot (-2)-12=-18\ne 0$, deci valorile funcției „explodează" în apropierea lui $-2$ (1 p).

c) (2 p) Aducem la același numitor: $$3-\frac{18}{x+2}=\frac{3(x+2)-18}{x+2}=\frac{3x+6-18}{x+2}=\frac{3x-12}{x+2}=f(x)$$ (1 p). Când $|x|$ crește nemărginit, $\frac{18}{x+2}$ se apropie de $0$, deci $f(x)$ se apropie de $3$: asimptota orizontală este dreapta $y=3$ (1 p).

Exercițiul 13. (8 p)

a) (2 p) $h(2)=f(2)\cdot g(2)=(2-3)(2+1)=(-1)\cdot 3=-3$.

b) (3 p) $h(x)=(x-3)(x+1)=x^2-2x-3$ (1 p). Abscisa vârfului: $x_V=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2}=1$ (sau mijlocul zerourilor $3$ și $-1$) (1 p), iar $h(1)=(1-3)(1+1)=(-2)\cdot 2=-4$. Deci $V(1,-4)$ (1 p).

c) (3 p) Raportul $\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x-3}{x+1}$ are sens pentru $x+1\ne 0$, adică $x\ne -1$ (1 p). Ecuația devine $$\frac{x-3}{x+1}=2⟹x-3=2(x+1)⟹x-3=2x+2⟹x=-5$$ (1,5 p). Cum $-5\ne -1$, valoarea aparține domeniului. Verificare: $\frac{-5-3}{-5+1}=\frac{-8}{-4}=2$ ✓ (0,5 p).

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică al doilea strat al unității: ce se întâmplă când înmulțim sau împărțim funcții deja cunoscute. Sunt acoperite lecțiile Produsul a două funcții afine și graficul lui, Câtul a două funcții: domeniu și comportament și Comportament asimptotic citit pe grafic. Se evaluează trei deprinderi: recunoașterea faptului că produsul a două funcții de gradul întâi este o funcție de gradul al doilea, cu zerouri gata citite din factori și cu vârful la mijlocul lor; determinarea domeniului unui cât (numitorul nu se anulează), a zerourilor și a semnului lui; și citirea comportamentului asimptotic — ce se întâmplă cu valorile funcției când $x$ crește nemărginit și când $x$ se apropie de o valoare exclusă din domeniu. Ultima parte cere un studiu complet al unei funcții raționale simple și un item redactat în stilul Bacalaureatului.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie cu pătrățele, fără calculator. La itemii cu grafic se cere schița (zerouri, vârf, valoarea exclusă, asimptote), nu un desen la scară perfectă. Tabelele de semn se acceptă în orice formă corectă, cu condiția să apară toate valorile care „taie" axa: zerourile și valorile excluse din domeniu.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe diferența dintre un zero al funcției (numărătorul se anulează) și o valoare exclusă din domeniu (numitorul se anulează).
• Formule și condiții de reținut: dacă $f(x)=a_{1}x+b_1$ și $g(x)=a_{2}x+b_2$ sunt funcții de gradul întâi, atunci produsul $(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)$ este o funcție de gradul al doilea; zerourile ei sunt exact zerourile factorilor (un produs este nul dacă și numai dacă cel puțin un factor este nul), iar abscisa vârfului este mijlocul lor. Pentru cât, $\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$, domeniul maxim este mulțimea numerelor reale pentru care $g(x)\ne 0$; zerourile câtului sunt zerourile numărătorului aflate în domeniu, iar semnul se citește din tabelul semnelor celor doi factori. Comportament asimptotic: dacă valorile lui $f(x)$ se apropie oricât de mult de un număr $\ell$ atunci când $|x|$ crește nemărginit, dreapta $y=\ell$ este asimptotă orizontală; dacă valorile „explodează" (cresc sau scad nemărginit) când $x$ se apropie de un număr $x_0$ exclus din domeniu, dreapta $x=x_0$ este asimptotă verticală. Scrierea $\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{a}{c}+\frac{k}{cx+d}$ face vizibile ambele asimptote.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".