Test: Funcții trigonometrice inverse

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Funcții trigonometrice inverse și ecuații trigonometrice

Exerciții

Partea I – Definiții, valori remarcabile, domenii și imagini

Exercițiul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Valoarea lui $\arcsin \frac{1}{2}$ este: A. $\frac{\pi }{6}$; B. $\frac{\pi }{3}$; C. $\frac{5\pi }{6}$; D. $-\frac{\pi }{6}$.

b) Imaginea (mulțimea valorilor) funcției $\arccos$ este: A. $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$; B. $[0,\pi ]$; C. $(0,\pi )$; D. $\mathbb{R}$.

c) Valoarea lui $\mathrm{arctg}(-1)$ este: A. $\frac{3\pi }{4}$; B. $-\frac{\pi }{4}$; C. $\frac{\pi }{4}$; D. $-\frac{3\pi }{4}$.

Exercițiul 2 (6 puncte)

Calculează (câte 1 punct): a) $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$; b) $\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)$; c) $\mathrm{arctg}\sqrt{3}$; d) $\mathrm{arcctg}(-1)$; e) $\arcsin (-1)$; f) $\arccos 0$.

Exercițiul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „$\arcsin (\sin x)=x$ pentru orice număr real $x$." b) „$\arcsin a+\arccos a=\frac{\pi }{2}$ pentru orice $a\in [-1,1]$." c) „$\arccos (-a)=-\arccos a$ pentru orice $a\in [-1,1]$." d) „Funcția $\mathrm{arctg}$ are domeniul $\mathbb{R}$ și imaginea $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$."

Exercițiul 4 (6 puncte)

a) Explică de ce numărul $\arcsin 2$ nu există. (2 p) b) Compară, fără a calcula efectiv, numerele $\arccos 0,3$ și $\arccos 0,7$. (2 p) c) Precizează monotonia fiecăreia dintre cele patru funcții trigonometrice inverse. (2 p)

Partea a II-a – Compuneri, identități și ecuații simple

Exercițiul 5 (8 puncte)

Calculează (câte 2 puncte): a) $\sin (\arcsin 0,4)$; b) $\cos (\arccos (-0,6))$; c) $\sin \left(\arccos \frac{3}{5}\right)$; d) $\mathrm{tg}\left(\arcsin \frac{3}{5}\right)$.

Exercițiul 6 (7 puncte)

Calculează, justificând de fiecare dată la ce interval trebuie să aparțină rezultatul: a) $\arcsin \left(\sin \frac{2\pi }{3}\right)$; (2 p) b) $\arccos \left(\cos \frac{7\pi }{6}\right)$; (2 p) c) $\mathrm{arctg}\left(\mathrm{tg}\frac{5\pi }{6}\right)$. (2 p) d) Formulează regula generală: când este adevărat că $\arcsin (\sin x)=x$? (1 p)

Exercițiul 7 (7 puncte)

a) Calculează $\arcsin \frac{1}{3}+\arccos \frac{1}{3}$, fără a calcula separat cei doi termeni. (2 p) b) Calculează $\mathrm{arctg}5+\mathrm{arcctg}5$. (2 p) c) Demonstrează identitatea $\arcsin a+\arccos a=\frac{\pi }{2}$, pentru orice $a\in [-1,1]$. (3 p)

Exercițiul 8 (6 puncte)

Rezolvă în $\mathbb{R}$ (câte 2 puncte): a) $\arccos x=\frac{2\pi }{3}$; b) $\mathrm{arctg}x=-\frac{\pi }{4}$; c) $\arcsin x=\frac{3\pi }{4}$.

Exercițiul 9 (6 puncte)

Se consideră numerele $u=\arcsin \frac{3}{5}$ și $v=\arccos \frac{5}{13}$. a) Calculează $\cos (u+v)$. (3 p) b) Calculează $\sin (u+v)$ și verifică formula fundamentală pentru $u+v$. (3 p)

Partea a III-a – Demonstrații și itemi de tip examen

Exercițiul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Demonstrează că $\mathrm{arctg}a+\mathrm{arcctg}a=\frac{\pi }{2}$, pentru orice număr real $a$. (5 p) b) Știind că $\mathrm{arctg}(-1)=-\frac{\pi }{4}$, deduce valoarea lui $\mathrm{arcctg}(-1)$ și verifică rezultatul direct din definiție. (3 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Demonstrează că funcția $\arcsin$ este impară, adică $\arcsin (-a)=-\arcsin a$ pentru orice $a\in [-1,1]$. (4 p) b) Demonstrează că $\arccos (-a)=\pi -\arccos a$ pentru orice $a\in [-1,1]$ și explică de ce funcția $\arccos$ nu este nici pară, nici impară. (4 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\arcsin (\sin x)$. a) Calculează $f\left(\frac{\pi }{6}\right)$, $f\left(\frac{5\pi }{6}\right)$ și $f\left(\frac{7\pi }{6}\right)$. (3 p) b) Demonstrează că $f(x)=\pi -x$ pentru orice $x\in \left[\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right]$. (3 p) c) Determină toate numerele reale $x$ pentru care $f(x)=x$. (2 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră numărul $x=\mathrm{arctg}\frac{1}{2}+\mathrm{arctg}\frac{1}{3}$. a) Calculați $\mathrm{tg}x$. (4 p) b) Arătați că $x=\frac{\pi }{4}$. (4 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) A. Căutăm numărul $u$ cu $\sin u=\frac{1}{2}$ și $u\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$; acesta este $\frac{\pi }{6}$. Varianta C, $\frac{5\pi }{6}$, are într-adevăr sinusul $\frac{1}{2}$, dar nu aparține intervalului-imagine. b) B. Funcția cosinus a fost restrânsă la $[0,\pi ]$, interval pe care este strict descrescătoare și bijectivă pe $[-1,1]$; inversa ei ia deci valori în $[0,\pi ]$, capetele incluse. c) B. $\mathrm{tg}\left(-\frac{\pi }{4}\right)=-1$ și $-\frac{\pi }{4}\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$. Varianta A are tangenta $-1$, dar $\frac{3\pi }{4}$ nu este în intervalul-imagine.

Exercițiul 2. (6 p) — câte 1 punct. a) $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{3}$; b) $\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2\pi }{3}$ (rezultatul trebuie să fie în $[0,\pi ]$, iar cosinusul este negativ în cadranul al II-lea); c) $\mathrm{arctg}\sqrt{3}=\frac{\pi }{3}$; d) $\mathrm{arcctg}(-1)=\frac{3\pi }{4}$ (rezultatul trebuie să fie în $(0,\pi )$); e) $\arcsin (-1)=-\frac{\pi }{2}$; f) $\arccos 0=\frac{\pi }{2}$.

Exercițiul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) F. Egalitatea are loc doar pentru $x\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$. Contraexemplu: pentru $x=\frac{3\pi }{4}$ avem $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci $\arcsin (\sin x)=\frac{\pi }{4}\ne \frac{3\pi }{4}$. b) A. Este identitatea complementară; rezultă din faptul că, dacă $u=\arcsin a$, atunci $\frac{\pi }{2}-u\in [0,\pi ]$ și $\cos \left(\frac{\pi }{2}-u\right)=\sin u=a$, deci $\frac{\pi }{2}-u=\arccos a$. c) F. Formula corectă este $\arccos (-a)=\pi -\arccos a$. Contraexemplu: $\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2\pi }{3}$, în timp ce $-\arccos \frac{1}{2}=-\frac{\pi }{3}$. De altfel, $\arccos$ ia numai valori nenegative, deci nu poate fi impară. d) A. Tangenta restrânsă la $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ este strict crescătoare și bijectivă pe $\mathbb{R}$, deci inversa ei este definită pe tot $\mathbb{R}$ și ia valori în intervalul deschis $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ (capetele nu se ating niciodată).

Exercițiul 4. (6 p)

a) (2 p) Domeniul funcției $\arcsin$ este $[-1,1]$, pentru că $\arcsin 2$ ar însemna un număr $u$ cu $\sin u=2$; dar sinusul oricărui număr real aparține intervalului $[-1,1]$, deci nu există un astfel de $u$.

b) (2 p) $\arccos$ este strict descrescătoare pe $[-1,1]$ (1 p); cum $0,3<0,7$, rezultă $\arccos 0,3>\arccos 0,7$ (1 p).

c) (2 p) $\arcsin$ este strict crescătoare pe $[-1,1]$; $\arccos$ este strict descrescătoare pe $[-1,1]$; $\mathrm{arctg}$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$; $\mathrm{arcctg}$ este strict descrescătoare pe $\mathbb{R}$. (Fiecare funcție inversă păstrează sensul de variație al restricției pe care a fost construită: sinusul crește pe $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$, cosinusul scade pe $[0,\pi ]$, tangenta crește pe $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$, iar cotangenta scade pe $(0,\pi )$.) Practic, acesta este și motivul pentru care restrângerile s-au făcut exact pe acele intervale: sunt cele mai apropiate de origine pe care funcția este strict monotonă, deci injectivă, și pe care parcurge toate valorile posibile.

Exercițiul 5. (8 p) — câte 2 puncte.

a) $\sin (\arcsin 0,4)=0,4$, pentru că $0,4\in [-1,1]$, iar $\sin (\arcsin a)=a$ pe tot domeniul funcției $\arcsin$.

b) $\cos (\arccos (-0,6))=-0,6$, din același motiv ($-0,6\in [-1,1]$).

c) Notăm $u=\arccos \frac{3}{5}\in [0,\pi ]$, deci $\cos u=\frac{3}{5}$ și $\sin u\ge 0$ (1 p). Din formula fundamentală, $\sin u=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}$ (1 p).

d) Notăm $v=\arcsin \frac{3}{5}\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$, deci $\sin v=\frac{3}{5}$ și $\cos v\ge 0$, de unde $\cos v=\frac{4}{5}$ (1 p). Atunci $\mathrm{tg}v=\frac{3/5}{4/5}=\frac{3}{4}$ (1 p).

Exercițiul 6. (7 p)

a) (2 p) $\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, iar rezultatul trebuie să fie în $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$; prin urmare $\arcsin \left(\sin \frac{2\pi }{3}\right)=\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{3}$. Răspunsul $\frac{2\pi }{3}$ este greșit, pentru că nu aparține intervalului-imagine.

b) (2 p) $\cos \frac{7\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, iar rezultatul trebuie să fie în $[0,\pi ]$; deci $\arccos \left(\cos \frac{7\pi }{6}\right)=\arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{5\pi }{6}$. (Se observă regula: pentru $x\in [\pi ,2\pi ]$ avem $\arccos (\cos x)=2\pi -x$, iar aici $2\pi -\frac{7\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$ ✓.)

c) (2 p) $\mathrm{tg}\frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$, iar rezultatul trebuie să fie în $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$; deci $\mathrm{arctg}\left(\mathrm{tg}\frac{5\pi }{6}\right)=\mathrm{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=-\frac{\pi }{6}$.

d) (1 p) $\arcsin (\sin x)=x$ dacă și numai dacă $x\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$. În rest, se calculează întâi $\sin x$, apoi se caută numărul din intervalul-imagine cu acel sinus. Regula se ține minte astfel: compunerea „funcție $\circ$ inversă" ($\sin (\arcsin a)$) este mereu identitatea pe domeniul inversei, pentru că se pornește dintr-un rezultat deja aflat în intervalul restrâns; compunerea „inversă $\circ$ funcție" ($\arcsin (\sin x)$) readuce mai întâi argumentul în intervalul restrâns și abia apoi îl întoarce, deci modifică valoarea ori de câte ori $x$ era în afara lui. Aceleași reguli, cu intervalele lor: $\arccos (\cos x)=x$ doar pentru $x\in [0,\pi ]$, iar $\mathrm{arctg}(\mathrm{tg}x)=x$ doar pentru $x\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$.

Exercițiul 7. (7 p)

a) (2 p) Conform identității complementare, $\arcsin \frac{1}{3}+\arccos \frac{1}{3}=\frac{\pi }{2}$, oricare ar fi valoarea comună din interval — nu e nevoie de calculul separat al termenilor (care nici nu sunt „unghiuri frumoase").

b) (2 p) Analog, $\mathrm{arctg}5+\mathrm{arcctg}5=\frac{\pi }{2}$.

c) (3 p) Fie $a\in [-1,1]$ și $u=\arcsin a$, deci $\sin u=a$ și $u\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ (1 p). Notăm $w=\frac{\pi }{2}-u$. Din $-\frac{\pi }{2}\le u\le \frac{\pi }{2}$ rezultă $0\le w\le \pi$, adică $w$ se află exact în intervalul-imagine al funcției $\arccos$ (1 p). Pe de altă parte, prin formula cofuncțiilor, $\cos w=\cos \left(\frac{\pi }{2}-u\right)=\sin u=a$. Cele două condiții — $\cos w=a$ și $w\in [0,\pi ]$ — înseamnă, prin definiție, că $w=\arccos a$, adică $\frac{\pi }{2}-\arcsin a=\arccos a$, ceea ce trebuia demonstrat (1 p). $■$

Exercițiul 8. (6 p) — câte 2 puncte.

a) $\arccos x=\frac{2\pi }{3}$. Cum $\frac{2\pi }{3}\in [0,\pi ]$, ecuația are soluție, iar aceasta este $x=\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$. Verificare: $\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2\pi }{3}$ ✓.

b) $\mathrm{arctg}x=-\frac{\pi }{4}$. Cum $-\frac{\pi }{4}\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$, soluția este $x=\mathrm{tg}\left(-\frac{\pi }{4}\right)=-1$.

c) $\arcsin x=\frac{3\pi }{4}$ nu are soluții: valorile funcției $\arcsin$ sunt cuprinse în $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$, iar $\frac{3\pi }{4}>\frac{\pi }{2}$. (Greșeala tipică este să se scrie $x=\sin \frac{3\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$; dar $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi }{4}\ne \frac{3\pi }{4}$, deci acest $x$ nu verifică ecuația.)

Exercițiul 9. (6 p)

Pregătirea (inclusă în punctajele de mai jos). Din $u=\arcsin \frac{3}{5}$ rezultă $\sin u=\frac{3}{5}$ și, cum $u\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$, $\cos u=\frac{4}{5}>0$. Din $v=\arccos \frac{5}{13}$ rezultă $\cos v=\frac{5}{13}$ și, cum $v\in [0,\pi ]$, $\sin v=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\frac{12}{13}>0$.

a) (3 p) Cu formula cosinusului sumei (1 p): $$\cos (u+v)=\cos u\cos v-\sin u\sin v=\frac{4}{5}\cdot \frac{5}{13}-\frac{3}{5}\cdot \frac{12}{13}=\frac{20-36}{65}=-\frac{16}{65}$$ (2 p).

b) (3 p) Cu formula sinusului sumei (1 p): $$\sin (u+v)=\sin u\cos v+\cos u\sin v=\frac{3}{5}\cdot \frac{5}{13}+\frac{4}{5}\cdot \frac{12}{13}=\frac{15+48}{65}=\frac{63}{65}$$ (1,5 p). Verificare (0,5 p): ${\left(-\frac{16}{65}\right)}^2+{\left(\frac{63}{65}\right)}^2=\frac{256+3969}{4225}=\frac{4225}{4225}=1$ ✓.

Exercițiul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (5 p) Fie $a\in \mathbb{R}$ și $u=\mathrm{arctg}a$, deci $\mathrm{tg}u=a$ și $u\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ (1,5 p). Notăm $w=\frac{\pi }{2}-u$. Din $-\frac{\pi }{2}<u<\frac{\pi }{2}$ rezultă $0<w<\pi$, adică $w$ aparține intervalului-imagine al funcției $\mathrm{arcctg}$ (1,5 p). Mai departe, folosind formulele cofuncțiilor (1,5 p): $$\mathrm{ctg}w=\frac{\cos \left(\frac{\pi }{2}-u\right)}{\sin \left(\frac{\pi }{2}-u\right)}=\frac{\sin u}{\cos u}=\mathrm{tg}u=a.$$ Din $\mathrm{ctg}w=a$ și $w\in (0,\pi )$ rezultă, prin definiție, $w=\mathrm{arcctg}a$, adică $\frac{\pi }{2}-\mathrm{arctg}a=\mathrm{arcctg}a$ (0,5 p). $■$

b) (3 p) Din identitate: $\mathrm{arcctg}(-1)=\frac{\pi }{2}-\mathrm{arctg}(-1)=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$ (2 p). Verificare directă: $\mathrm{ctg}\frac{3\pi }{4}=\frac{\cos \frac{3\pi }{4}}{\sin \frac{3\pi }{4}}=\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=-1$, iar $\frac{3\pi }{4}\in (0,\pi )$ ✓ (1 p).

Exercițiul 11. (8 p) — redactare completă.

a) (4 p) Fie $a\in [-1,1]$ și $u=\arcsin a$, deci $\sin u=a$ și $u\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ (1 p). Atunci $-u\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ (intervalul este simetric față de $0$) (1,5 p) și, sinusul fiind funcție impară, $$\sin (-u)=-\sin u=-a.$$ Din $\sin (-u)=-a$ și $-u$ în intervalul-imagine rezultă $\arcsin (-a)=-u=-\arcsin a$ (1,5 p). $■$

b) (4 p) Fie $u=\arccos a$, deci $\cos u=a$ și $u\in [0,\pi ]$ (1 p). Atunci $\pi -u\in [0,\pi ]$ (1 p) și, prin formula de reducere $\cos (\pi -u)=-\cos u$, $$\cos (\pi -u)=-a$$ (1 p). Cele două condiții dau $\arccos (-a)=\pi -u=\pi -\arccos a$. Funcția $\arccos$ nu este impară, pentru că orice funcție impară definită în $0$ verifică $g(0)=0$, în timp ce $\arccos 0=\frac{\pi }{2}\ne 0$; și nu este pară, pentru că paritatea ar însemna $\arccos (-a)=\arccos a$, fals de exemplu pentru $a=\frac{1}{2}$: $\frac{2\pi }{3}\ne \frac{\pi }{3}$ (1 p).

Exercițiul 12. (8 p)

a) (3 p) — câte 1 punct pentru fiecare valoare. $f\left(\frac{\pi }{6}\right)=\arcsin \left(\sin \frac{\pi }{6}\right)=\arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi }{6}$ (aici $\frac{\pi }{6}$ chiar este în intervalul-imagine); $f\left(\frac{5\pi }{6}\right)=\arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi }{6}$; $f\left(\frac{7\pi }{6}\right)=\arcsin \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\pi }{6}$.

b) (3 p) Fie $x\in \left[\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right]$ și $y=\pi -x$. Atunci $y\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ (1,5 p). În plus, prin formula de reducere, $\sin y=\sin (\pi -x)=\sin x$ (1 p). Cele două condiții — $\sin y=\sin x$ și $y$ în intervalul-imagine — dau exact $\arcsin (\sin x)=y=\pi -x$ (0,5 p). $■$ (Control: pentru $x=\frac{5\pi }{6}$ formula dă $\pi -\frac{5\pi }{6}=\frac{\pi }{6}$, ceea ce coincide cu rezultatul de la a) ✓.)

c) (2 p) $f(x)=x$ înseamnă $\arcsin (\sin x)=x$. Cum valorile funcției $f$ sunt mereu în $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$, o eventuală soluție trebuie să aparțină și ea acestui interval; reciproc, pentru orice $x$ din acest interval egalitatea este adevărată, prin chiar definiția funcției $\arcsin$. Așadar mulțimea căutată este exact $$\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right].$$ (Grafic, aceasta înseamnă că graficul funcției $f$ — un „zigzag" cuprins între dreptele $y=-\frac{\pi }{2}$ și $y=\frac{\pi }{2}$ — se suprapune peste prima bisectoare $y=x$ exact pe acest interval, iar în rest coboară sau urcă în sens contrar.)

Exercițiul 13. (8 p)

a) (4 p) Notăm $\alpha =\mathrm{arctg}\frac{1}{2}$ și $\beta =\mathrm{arctg}\frac{1}{3}$, deci $\mathrm{tg}\alpha =\frac{1}{2}$, $\mathrm{tg}\beta =\frac{1}{3}$, iar $\alpha ,\beta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ (1 p). Cu formula tangentei sumei (1 p): $$\mathrm{tg}x=\mathrm{tg}(\alpha +\beta )=\frac{\mathrm{tg}\alpha +\mathrm{tg}\beta }{1-\mathrm{tg}\alpha \mathrm{tg}\beta }=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}}=\frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}}=1$$ (2 p). (Numitorul $1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$ este nenul, deci formula se poate aplica.)

b) (4 p) Din $\mathrm{tg}\alpha =\frac{1}{2}<1$ și $\mathrm{tg}\beta =\frac{1}{3}<1$, folosind monotonia strictă a tangentei pe $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, rezultă $0<\alpha <\frac{\pi }{4}$ și $0<\beta <\frac{\pi }{4}$ (2 p). Prin urmare $x=\alpha +\beta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ (1 p). Pe acest interval, singurul număr cu tangenta egală cu $1$ este $\frac{\pi }{4}$, deci $x=\frac{\pi }{4}$ (1 p). $■$ (Control numeric: $\mathrm{arctg}0,5\approx 0,4636$ și $\mathrm{arctg}\frac{1}{3}\approx 0,3217$; suma este $\approx 0,7854=\frac{\pi }{4}$ ✓.)

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică prima jumătate a unității: funcțiile trigonometrice inverse. Ele apar dintr-o nevoie simplă — dacă știm sinusul unui unghi, cum aflăm unghiul? — dar răspunsul cere rigoare: funcțiile $\sin$, $\cos$, $\mathrm{tg}$, $\mathrm{ctg}$ nu sunt injective pe $\mathbb{R}$, deci se inversează doar după restrângerea la un interval pe care sunt strict monotone. De aici vin cele patru lucruri evaluate. Primul: definițiile, domeniile și imaginile — $\arcsin :[-1,1]\to \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$, $\arccos :[-1,1]\to [0,\pi ]$, $\mathrm{arctg}:\mathbb{R}\to \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$, $\mathrm{arcctg}:\mathbb{R}\to (0,\pi )$. Al doilea: valorile remarcabile, citite invers din tabelul cunoscut. Al treilea: identitățile complementare $\arcsin a+\arccos a=\frac{\pi }{2}$ și $\mathrm{arctg}a+\mathrm{arcctg}a=\frac{\pi }{2}$, împreună cu paritatea ($\arcsin$ impară, $\arccos (-a)=\pi -\arccos a$). Al patrulea, și cel mai important pentru examen: compunerile — $\sin (\arcsin a)=a$ este adevărată mereu pe domeniu, dar $\arcsin (\sin x)=x$ numai dacă $x\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$. Această asimetrie este capcana clasică a temei și revine constant la Bacalaureatul M1.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu demonstrație se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Toate rezultatele se dau în formă exactă (fracții din $\pi$, radicali). La orice compunere de tipul $\arcsin (\sin x)$ se punctează verificarea apartenenței rezultatului la intervalul-imagine; un răspuns corect ca valoare, dar fără această verificare, primește punctaj parțial.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe intervalele-imagine și pe compuneri.
• Formule de reținut: definițiile — $\arcsin a=u$ înseamnă $\sin u=a$ și $u\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$; $\arccos a=u$ înseamnă $\cos u=a$ și $u\in [0,\pi ]$; $\mathrm{arctg}a=u$ înseamnă $\mathrm{tg}u=a$ și $u\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$; $\mathrm{arcctg}a=u$ înseamnă $\mathrm{ctg}u=a$ și $u\in (0,\pi )$. Monotonie: $\arcsin$ și $\mathrm{arctg}$ sunt strict crescătoare, $\arccos$ și $\mathrm{arcctg}$ sunt strict descrescătoare. Compuneri sigure: $\sin (\arcsin a)=a$ și $\cos (\arccos a)=a$ pentru $a\in [-1,1]$; $\mathrm{tg}(\mathrm{arctg}a)=a$ pentru orice $a$ real. Compuneri cu capcană: $\arcsin (\sin x)=x$ doar pentru $x\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$; $\arccos (\cos x)=x$ doar pentru $x\in [0,\pi ]$. Identități: $$\arcsin a+\arccos a=\frac{\pi }{2}(a\in [-1,1]),\mathrm{arctg}a+\mathrm{arcctg}a=\frac{\pi }{2}(a\in \mathbb{R}),$$ $$\arcsin (-a)=-\arcsin a,\arccos (-a)=\pi -\arccos a,\mathrm{arctg}(-a)=-\mathrm{arctg}a.$$ Utile la calcule: $\sin (\arccos a)=\sqrt{1-a^2}$ și $\cos (\arcsin a)=\sqrt{1-a^2}$ (radicalul are semnul plus, pentru că $\arccos a\in [0,\pi ]$ dă sinus nenegativ, iar $\arcsin a\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ dă cosinus nenegativ).

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".