Test: Progresii geometrice — creștere procentuală

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Progresii geometrice

Exerciții

Partea I – Procente și factori

Exercițiul 1 (6 puncte)

Scrie factorul cu care se înmulțește valoarea inițială în fiecare situație (câte 1 punct): a) creștere cu $10%$ ; b) scădere cu $10%$ ; c) creștere cu $25%$ ; d) scădere cu $5%$ ; e) creștere cu $100%$ ; f) scădere cu $50%$ .

Exercițiul 2 (6 puncte)

Calculează, arătând factorii folosiți (câte 2 puncte): a) Un produs costă $200$ de lei. Prețul crește cu $10%$ , apoi noul preț crește din nou cu $10%$ . Cât costă la final? b) Un produs costă $500$ de lei. Prețul scade cu $20%$ , apoi noul preț scade din nou cu $20%$ . Cât costă la final? c) Un produs costă $300$ de lei. Prețul crește cu $20%$ , apoi noul preț scade cu $20%$ . Cât costă la final?

Exercițiul 3 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) O sumă de $1000$ de lei este depusă cu dobândă compusă de $10%$ pe an. După $3$ ani, în cont se află: A. $1300$ lei; B. $1331$ lei; C. $1330$ lei; D. $1210$ lei.

b) Prețul unui produs scade cu $50%$ , apoi crește cu $50%$ . Față de prețul inițial, prețul final este: A. cu $25%$ mai mare; B. neschimbat; C. cu $25%$ mai mic; D. cu $50%$ mai mic.

c) Populația unui oraș crește cu $2%$ în fiecare an. Creșterea totală după $2$ ani este de: A. $4, 04%$ ; B. $4%$ ; C. $2, 04%$ ; D. $4, 4%$ .

Exercițiul 4 (8 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică printr-un calcul (câte 2 puncte): a) „O creștere cu $10%$ urmată de o scădere cu $10%$ readuce prețul la valoarea inițială." b) „Două creșteri succesive de câte $20%$ înseamnă o creștere totală de $40%$ ." c) „Prețul unui produs care scade cu $30%$ în fiecare an formează o progresie geometrică cu rația $0, 7$ ." d) „Dacă o sumă crește cu $100%$ în fiecare an, atunci după $3$ ani ea este de $6$ ori mai mare."

Partea a II-a – Dobândă compusă și depreciere

Exercițiul 5 (8 puncte)

O sumă de $2000$ de lei este depusă la bancă cu dobândă compusă de $5%$ pe an. Notăm cu $S_{n}$ suma din cont după $n$ ani, deci $S_{0} = 2000$ de lei. a) Calculează suma din cont după $1$ an. (2 p) b) Calculează suma din cont după $2$ ani. (2 p) c) Calculează suma din cont după $3$ ani. (2 p) d) Scrie formula lui $S_{n}$ și precizează ce fel de progresie formează șirul $(S_{n})_{n \geq 0}$ , cu rația ei. (2 p)

Exercițiul 6 (8 puncte)

O mașină cumpărată cu $24000$ de euro pierde în fiecare an $20%$ din valoarea pe care o avea la începutul acelui an. Notăm cu $V_{n}$ valoarea mașinii după $n$ ani, deci $V_{0} = 24000$ de euro. a) Calculează valoarea mașinii după $1$ an. (2 p) b) Calculează valoarea mașinii după $3$ ani. (3 p) c) După câți ani valoarea mașinii scade sub $10000$ de euro? (3 p)

Exercițiul 7 (8 puncte)

O sumă de $10000$ de lei este depusă pe $3$ ani, cu dobânda de $6%$ pe an. Compară cele două variante: a) dobândă simplă (dobânda se calculează în fiecare an la suma inițială): ce sumă se află în cont după $3$ ani? (3 p) b) dobândă compusă (dobânda se calculează la suma acumulată): ce sumă se află în cont după $3$ ani? (3 p) c) Care este diferența dintre cele două sume și ce tip de progresie descrie fiecare variantă? (2 p)

Exercițiul 8 (8 puncte)

Pentru fiecare situație, precizează dacă modelul potrivit este o progresie aritmetică sau una geometrică și scrie rația ei (câte 2 puncte): a) Un abonament costă $60$ de lei pe lună; urmărim suma totală plătită după fiecare lună: $60, 120, 180, \dots$ b) O colonie de bacterii crește cu $8%$ în fiecare oră; urmărim numărul de bacterii din oră în oră. c) Dintr-un rezervor se consumă $5$ litri în fiecare zi; urmărim cantitatea rămasă la sfârșitul fiecărei zile. d) Valoarea unui laptop scade cu $15%$ în fiecare an; urmărim valoarea la sfârșitul fiecărui an.

Partea a III-a – Probleme aplicate

Exercițiul 9 (8 puncte)

Un oraș are $80000$ de locuitori, iar populația scade cu $2%$ în fiecare an. Notăm cu $P_{n}$ populația după $n$ ani, deci $P_{0} = 80000$ . a) Câți locuitori are orașul după $1$ an? (2 p) b) Câți locuitori are orașul după $3$ ani? (3 p) c) Cu ce procent, în total, a scăzut populația în cei $3$ ani? Este acest procent egal cu $6%$ ? (3 p)

Exercițiul 10 (8 puncte)

Salariul lunar al unui angajat este de $4000$ de lei. În primul an crește cu $10%$ , iar în al doilea an noul salariu crește cu $20%$ . a) Cât este salariul după cei doi ani? (3 p) b) Cu ce procent, în total, a crescut salariul față de cel inițial? (3 p) c) Un coleg susține că salariul a crescut cu $30%$ . Explică unde greșește. (2 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

Un elev depune într-o pușculiță $100$ de lei în prima lună, iar în fiecare lună următoare cu $50%$ mai mult decât în luna precedentă. a) Ce sumă depune în luna a $5$ -a? (3 p) b) Ce sumă a depus în total în primele $5$ luni? (3 p) c) Ce model matematic descrie sumele depuse lunar și ce reprezintă totalul de la punctul b)? (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) O sumă de $5000$ de lei este depusă la bancă cu dobândă compusă de $4%$ pe an. Notăm cu $S_{n}$ suma din cont la sfârșitul anului $n$ , deci $S_{0} = 5000$ de lei. a) Arată că șirul $(S_{n})_{n \geq 0}$ este progresie geometrică cu rația $q = 1, 04$ . (2 p) b) Calculează suma din cont după $2$ ani. (3 p) c) Determină după câți ani suma din cont depășește $5600$ de lei. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct. a) $1 + \frac{10}{100} = 1, 1$ . b) $1 - \frac{10}{100} = 0, 9$ . c) $1 + \frac{25}{100} = 1, 25$ . d) $1 - \frac{5}{100} = 0, 95$ . e) $1 + \frac{100}{100} = 2$ (valoarea se dublează). f) $1 - \frac{50}{100} = 0, 5$ (valoarea se înjumătățește).

Exercițiul 2. (6 p) — câte 2 puncte (1 p factorii, 1 p rezultatul). a) $200 \cdot 1, 1 = 220$ , apoi $220 \cdot 1, 1 = 242$ de lei (echivalent: $200 \cdot 1, 1^{2} = 200 \cdot 1, 21$ ). b) $500 \cdot 0, 8 = 400$ , apoi $400 \cdot 0, 8 = 320$ de lei (echivalent: $500 \cdot 0, 64$ ). c) $300 \cdot 1, 2 = 360$ , apoi $360 \cdot 0, 8 = 288$ de lei. Prețul final nu revine la $300$ : factorul total este $1, 2 \cdot 0, 8 = 0, 96$ , deci o scădere netă de $4%$ .

Exercițiul 3. (6 p) — câte 2 puncte. a) B — $1000 \cdot 1, 1 = 1100$ ; $1100 \cdot 1, 1 = 1210$ ; $1210 \cdot 1, 1 = 1331$ de lei (adică $1000 \cdot 1, 1^{3} = 1000 \cdot 1, 331$ ). b) C — factorul total este $0, 5 \cdot 1, 5 = 0, 75$ , deci prețul final este $75%$ din cel inițial, adică cu $25%$ mai mic. c) A — factorul pe doi ani este $1, 0 2^{2} = 1, 0404$ , deci creșterea totală este de $4, 04%$ , nu de $4%$ .

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte (1 p răspunsul, 1 p calculul justificativ). a) F. Factorul total este $1, 1 \cdot 0, 9 = 0, 99$ , deci prețul final este cu $1%$ mai mic decât cel inițial. b) F. Factorul total este $1, 2^{2} = 1, 44$ , deci creșterea este de $44%$ , nu de $40%$ (procentele nu se adună). c) A. Fiecare valoare se obține din cea dinainte înmulțind cu $1 - 0, 3 = 0, 7$ , deci raportul a doi termeni consecutivi este constant, egal cu $0, 7$ — adică o progresie geometrică cu $q = 0, 7$ . d) F. O creștere cu $100%$ înseamnă înmulțire cu $2$ , deci după $3$ ani factorul este $2^{3} = 8$ : suma devine de $8$ ori mai mare, nu de $6$ ori.

Exercițiul 5. (8 p) a) (2 p) $S_{1} = 2000 \cdot 1, 05 = 2100$ de lei. b) (2 p) $S_{2} = 2100 \cdot 1, 05 = 2205$ de lei. c) (2 p) $S_{3} = 2205 \cdot 1, 05 = 2315, 25$ lei. d) (2 p) $S_{n} = 2000 \cdot 1, 0 5^{n}$ (1 p). Șirul $(S_{n})_{n \geq 0}$ este progresie geometrică cu rația $q = 1, 05$ și primul termen $S_{0} = 2000$ (indexarea începe de la $n = 0$ ), deoarece $\frac{S _{n + 1}}{S _{n}} = 1, 05$ pentru orice $n$ (1 p).

Exercițiul 6. (8 p) Factorul anual este $1 - 0, 2 = 0, 8$ , deci $V_{n} = 24000 \cdot 0, 8^{n}$ — progresie geometrică cu rația $0, 8$ și primul termen $V_{0} = 24000$ . a) (2 p) $V_{1} = 24000 \cdot 0, 8 = 19200$ de euro. b) (3 p) $V_{2} = 19200 \cdot 0, 8 = 15360$ (1,5 p); $V_{3} = 15360 \cdot 0, 8 = 12288$ de euro (1,5 p). (Echivalent: $24000 \cdot 0, 512$ .) c) (3 p) $V_{4} = 12288 \cdot 0, 8 = 9830, 4$ euro (2 p), iar $9830, 4 < 10000 \leq 12288 = V_{3}$ , deci valoarea scade sub $10000$ de euro după $4$ ani (1 p).

Exercițiul 7. (8 p) a) (3 p) Dobânda simplă anuală este $6%$ din $10000$ , adică $600$ de lei (1,5 p). După $3$ ani: $10000 + 3 \cdot 600 = 11800$ de lei (1,5 p). b) (3 p) $10000 \cdot 1, 06 = 10600$ ; $10600 \cdot 1, 06 = 11236$ ; $11236 \cdot 1, 06 = 11910, 16$ lei. (Echivalent: $10000 \cdot 1, 0 6^{3} = 10000 \cdot 1, 191016$ .) c) (2 p) Diferența este $11910, 16 - 11800 = 110, 16$ lei în favoarea dobânzii compuse (1 p). Dobânda simplă dă o progresie aritmetică (se adaugă mereu $600$ de lei), iar dobânda compusă dă o progresie geometrică (se înmulțește mereu cu $1, 06$ ) (1 p).

Exercițiul 8. (8 p) — câte 2 puncte (1 p tipul, 1 p rația). a) Aritmetică, cu rația $r = 60$ (lei) — în fiecare lună se adaugă aceeași sumă. b) Geometrică, cu rația $q = 1, 08$ — în fiecare oră numărul se înmulțește cu același factor. c) Aritmetică, cu rația $r = - 5$ (litri) — în fiecare zi se scade aceeași cantitate. d) Geometrică, cu rația $q = 0, 85$ — în fiecare an valoarea se înmulțește cu $1 - 0, 15$ .

Exercițiul 9. (8 p) Factorul anual este $1 - 0, 02 = 0, 98$ , deci $P_{n} = 80000 \cdot 0, 9 8^{n}$ . a) (2 p) $P_{1} = 80000 \cdot 0, 98 = 78400$ de locuitori. b) (3 p) $P_{2} = 78400 \cdot 0, 98 = 76832$ (1,5 p); $P_{3} = 76832 \cdot 0, 98 = 75295, 36$ , adică aproximativ $75295$ de locuitori (1,5 p). c) (3 p) Scăderea totală este $80000 - 75295, 36 = 4704, 64$ de locuitori (1 p), adică $\frac{4 704 , 64}{80 000} \cdot 100 = 5, 8808% \approx 5, 88%$ (1 p). Nu este $6%$ : procentele nu se adună, iar factorul total este $0, 9 8^{3} = 0, 941192$ , ceea ce înseamnă o scădere de $5, 8808%$ — mai mică decât $3 \cdot 2% = 6%$ , fiindcă fiecare scădere se aplică la o populație deja micșorată (1 p).

Exercițiul 10. (8 p) a) (3 p) $4000 \cdot 1, 1 = 4400$ de lei după primul an (1,5 p); $4400 \cdot 1, 2 = 5280$ de lei după al doilea an (1,5 p). b) (3 p) Factorul total este $1, 1 \cdot 1, 2 = 1, 32$ (1,5 p), deci salariul a crescut cu $32%$ . (Verificare: $\frac{5 280 - 4 000}{4 000} \cdot 100 = \frac{1 280}{4 000} \cdot 100 = 32%$ .) (1,5 p) c) (2 p) Colegul a adunat procentele: $10% + 20% = 30%$ . Procentele nu se adună, ci factorii se înmulțesc: a doua creștere, de $20%$ , se aplică salariului deja mărit ( $4400$ de lei), nu celui inițial. Diferența de $2%$ provine exact din $20%$ din creșterea de $400$ de lei, adică $80$ de lei.

Exercițiul 11. (8 p) Sumele depuse lunar formează o progresie geometrică cu $b_{1} = 100$ și $q = 1, 5$ : $100, 150, 225, 337, 50, 506, 25$ . a) (3 p) $b_{5} = 100 \cdot 1, 5^{4}$ (1 p) $= 100 \cdot 5, 0625 = 506, 25$ lei (2 p). (Se acceptă și calculul pas cu pas: $100 \to 150 \to 225 \to 337, 50 \to 506, 25$ .) b) (3 p) $S_{5} = 100 \cdot \frac{1 , 5 ^{5} - 1}{1 , 5 - 1} = 100 \cdot \frac{7 , 59375 - 1}{0 , 5} = 100 \cdot 13, 1875 = 1318, 75$ lei (2 p). (Verificare prin adunare: $100 + 150 + 225 + 337, 50 + 506, 25 = 1318, 75$ .) (1 p) c) (2 p) Depunerile lunare formează o progresie geometrică cu rația $q = 1, 5$ (creștere cu $50%$ în fiecare lună) (1 p), iar totalul de la punctul b) este suma primilor $5$ termeni ai acestei progresii — el nu este un termen al progresiei, ci o sumă a ei (1 p).

Exercițiul 12. (8 p) a) (2 p) La dobândă compusă, suma de la sfârșitul unui an se obține adăugând $4%$ la suma existentă, adică înmulțind cu $1 + \frac{4}{100} = 1, 04$ : $S_{n + 1} = S_{n} \cdot 1, 04$ (1 p). Raportul $\frac{S _{n + 1}}{S _{n}} = 1, 04$ este constant, deci $(S_{n})_{n \geq 0}$ este progresie geometrică cu rația $q = 1, 04$ și primul termen $S_{0} = 5000$ (1 p). b) (3 p) $S_{1} = 5000 \cdot 1, 04 = 5200$ de lei (1,5 p); $S_{2} = 5200 \cdot 1, 04 = 5408$ de lei (1,5 p). (Echivalent: $5000 \cdot 1, 0 4^{2} = 5000 \cdot 1, 0816$ .) c) (3 p) $S_{3} = 5408 \cdot 1, 04 = 5624, 32$ lei (2 p). Cum $S_{2} = 5408 < 5600$ , iar $S_{3} = 5624, 32 > 5600$ , suma depășește $5600$ de lei după $3$ ani (1 p).

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică partea aplicată a unității: cum se traduce un procent în factor de creștere sau de descreștere, ce se întâmplă când același procent se aplică repetat (prețuri, reduceri, inflație), cum funcționează dobânda compusă față de cea simplă, cum se modelează dinamica unei populații și — cel mai important — cum se decide dacă o situație cere un model aritmetic (se adaugă mereu aceeași valoare) sau geometric (se înmulțește mereu cu același factor). Sunt acoperite lecțiile Creștere și descreștere procentuală repetată, Dobânda compusă și dinamica populației și Aritmetică sau geometrică? Cum alegi modelul potrivit. Formula termenului general și suma primilor $n$ termeni se presupun cunoscute din testul precedent al unității.

Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator — toate numerele sunt alese astfel încât înmulțirile cu $1, 05$ , $0, 8$ sau $1, 06$ să se poată face în scris, pas cu pas. Se cere scrierea factorului folosit și a modelului (aritmetic sau geometric), nu doar rezultatul. La final se compară rezolvările cu Baremul și răspunsurile.
Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, în special a exercițiilor cu procente aplicate repetat (unde greșeala tipică este adunarea procentelor).
Formule de reținut: o creștere cu $p %$ înseamnă înmulțire cu factorul $1 + \frac{p}{100}$ , iar o scădere cu $p %$ înseamnă înmulțire cu $1 - \frac{p}{100}$ . Aplicat de $n$ ori, factorul devine o putere: valoarea după $n$ pași este $V_{n} = V_{0} \cdot (1 \pm \frac{p}{100})^{n}$ , deci valorile succesive formează o progresie geometrică cu rația egală cu factorul. Dobânda compusă: $S_{n} = S_{0} \cdot (1 + \frac{p}{100})^{n}$ (dobânda se calculează la suma acumulată), spre deosebire de dobânda simplă, $S_{n} = S_{0} + \frac{p}{100} \cdot S_{0} \cdot n$ , care dă o progresie aritmetică. Procentele nu se adună: o creștere cu $10%$ urmată de o scădere cu $10%$ dă $1, 1 \cdot 0, 9 = 0, 99$ , adică o scădere netă de $1%$ . Regula de alegere a modelului: „se adaugă aceeași valoare" $\Rightarrow$ aritmetică; „se înmulțește cu același factor / crește cu același procent" $\Rightarrow$ geometrică.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".