Test: Progresii geometrice — termen general

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Progresii geometrice

Exerciții

Partea I – Rație, recunoaștere, termeni

Exercițiul 1 (6 puncte)

Stabilește care dintre șirurile de mai jos sunt progresii geometrice. Pentru cele care sunt, scrie rația; pentru celelalte, arată printr-un calcul de ce nu sunt (câte 1 punct): a) $3, 6, 12, 24, \dots$ b) $2, 5, 8, 11, \dots$ c) $81, 27, 9, 3, \dots$ d) $5, - 10, 20, - 40, \dots$ e) $1, 4, 9, 16, \dots$ f) șirul cu $b_{n} = 3 \cdot 2^{n}$ .

Exercițiul 2 (6 puncte)

Se consideră progresia geometrică $(b_{n})_{n \geq 1}$ cu $b_{1} = 2$ și rația $q = 3$ . a) Scrie termenii $b_{2}$ , $b_{3}$ și $b_{4}$ . (2 p) b) Calculează $b_{7}$ . (2 p) c) Scrie formula termenului general $b_{n}$ . (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Completează termenii care lipsesc, știind că în fiecare caz numerele sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice cu termeni pozitivi (câte 2 puncte; se cere și rația): a) $2, 6, \underline{xx}, 54$ ; b) $128, 64, \underline{xx}, 16$ ; c) $3, \underline{xx}, \underline{xx}, 81$ .

Exercițiul 4 (8 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Într-o progresie geometrică cu $b_{1} = 5$ și $q = 2$ , termenul $b_{6}$ este: A. $80$ ; B. $160$ ; C. $320$ ; D. $60$ .

b) Rația progresiei geometrice $96, 48, 24, \dots$ este: A. $- 2$ ; B. $2$ ; C. $\frac{1}{2}$ ; D. $- \frac{1}{2}$ .

c) Într-o progresie geometrică se știe că $b_{2} = 6$ și $b_{3} = 18$ . Atunci $b_{1}$ este: A. $2$ ; B. $3$ ; C. $6$ ; D. $\frac{1}{3}$ .

d) Suma $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{10}$ este egală cu: A. $1023$ ; B. $2046$ ; C. $2047$ ; D. $2048$ .

Partea a II-a – Formula termenului general și sume

Exercițiul 5 (6 puncte)

Se consideră progresia geometrică $(b_{n})_{n \geq 1}$ cu $b_{1} = 3$ și rația $q = 2$ . a) Scrie formula termenului general $b_{n}$ . (2 p) b) Calculează $b_{8}$ . (2 p) c) Determină rangul termenului egal cu $3072$ . (2 p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

Într-o progresie geometrică cu termeni pozitivi se cunosc $b_{3} = 20$ și $b_{6} = 160$ . a) Determină rația $q$ și primul termen $b_{1}$ . (4 p) b) Calculează $b_{7}$ . (2 p)

Exercițiul 7 (8 puncte)

Calculează sumele următoare, folosind formula sumei primilor $n$ termeni: a) $S_{8}$ , pentru progresia geometrică cu $b_{1} = 1$ și $q = 2$ . (2 p) b) $S_{6}$ , pentru progresia geometrică cu $b_{1} = 3$ și $q = 2$ . (3 p) c) $S_{5}$ , pentru progresia geometrică cu $b_{1} = 2$ și $q = 3$ . (3 p)

Exercițiul 8 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Într-o progresie geometrică, raportul dintre un termen și cel dinaintea lui este mereu același." b) „O progresie geometrică poate avea un termen egal cu $0$ ." c) „Dacă rația unei progresii geometrice este negativă, atunci semnele termenilor alternează." d) „Dacă rația unei progresii geometrice este $q = 1$ , atunci $S_{n} = n \cdot b_{1}$ ."

Exercițiul 9 (6 puncte)

Determină numărul real pozitiv $x$ pentru care numerele $4$ , $x$ și $25$ sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii geometrice. a) Scrie condiția pe care trebuie să o îndeplinească cele trei numere. (2 p) b) Rezolvă ecuația obținută. (2 p) c) Scrie cei trei termeni și rația progresiei. (2 p)

Partea a III-a – Raționament și probleme

Exercițiul 10 (8 puncte)

O cultură de bacterii se dublează la fiecare $3$ ore. La începutul observației există $500$ de bacterii. Notăm cu $N_{n}$ numărul de bacterii după $n$ intervale de câte $3$ ore, deci $N_{0} = 500$ . a) Arată că șirul $(N_{n})_{n \geq 0}$ este progresie geometrică și scrie formula lui $N_{n}$ . (2 p) b) Câte bacterii sunt după $12$ ore? (3 p) c) După câte ore se ajunge la $32000$ de bacterii? (3 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

Se consideră suma $S = 2 + 6 + 18 + \dots + 1458.$ a) Arată că termenii formează o progresie geometrică, precizează rația și determină numărul de termeni. (4 p) b) Calculează $S$ . (4 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

Într-o progresie geometrică cu termeni pozitivi se știe că $b_{1} + b_{2} = 12$ și $b_{2} + b_{3} = 36$ . a) Determină rația $q$ . (3 p) b) Determină primul termen $b_{1}$ . (2 p) c) Calculează $S_{5}$ , suma primilor $5$ termeni. (3 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) Se consideră progresia geometrică $(b_{n})_{n \geq 1}$ cu termeni pozitivi, în care $b_{1} = 2$ și $b_{3} = 18$ . a) Arată că rația progresiei este $q = 3$ . (2 p) b) Calculează $b_{5}$ . (3 p) c) Calculează $S_{6}$ , suma primilor $6$ termeni ai progresiei. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct (clasificare + rație sau contraexemplu). a) Da, $q = 2$ (rapoartele: $\frac{6}{3} = \frac{12}{6} = \frac{24}{12} = 2$ ). b) Nu: $\frac{5}{2} = 2, 5$ , dar $\frac{8}{5} = 1, 6$ ; rapoartele nu sunt constante (este progresie aritmetică, cu $r = 3$ ). c) Da, $q = \frac{1}{3}$ (rapoartele: $\frac{27}{81} = \frac{9}{27} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ ); progresia este descrescătoare. d) Da, $q = - 2$ (rapoartele: $\frac{- 10}{5} = \frac{20}{- 10} = \frac{- 40}{20} = - 2$ ); semnele alternează. e) Nu: $\frac{4}{1} = 4$ , dar $\frac{9}{4} = 2, 25$ (sunt pătratele perfecte). f) Da, $q = 2$ : $\frac{b _{n + 1}}{b _{n}} = \frac{3 \cdot 2 ^{n + 1}}{3 \cdot 2 ^{n}} = 2$ (primul termen este $b_{1} = 6$ ).

Exercițiul 2. (6 p) a) (2 p) $b_{2} = 2 \cdot 3 = 6$ , $b_{3} = 6 \cdot 3 = 18$ , $b_{4} = 18 \cdot 3 = 54$ . b) (2 p) $b_{7} = b_{1} \cdot q^{6} = 2 \cdot 3^{6} = 2 \cdot 729 = 1458$ . c) (2 p) $b_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1}$ .

Exercițiul 3. (6 p) — câte 2 puncte (1 p termenii, 1 p rația). a) $q = \frac{6}{2} = 3$ , deci termenul lipsă este $6 \cdot 3 = 18$ : $2, 6, 18, 54$ (verificare: $18 \cdot 3 = 54$ ). b) $q = \frac{64}{128} = \frac{1}{2}$ , deci termenul lipsă este $64 : 2 = 32$ : $128, 64, 32, 16$ . c) De la $3$ la $81$ sunt trei „pași": $q^{3} = \frac{81}{3} = 27$ , deci $q = 3$ (termeni pozitivi). Termenii lipsă sunt $9$ și $27$ : $3, 9, 27, 81$ .

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) B — $b_{6} = b_{1} \cdot q^{5} = 5 \cdot 32 = 160$ . b) C — $q = \frac{48}{96} = \frac{1}{2}$ (verificare: $48 \cdot \frac{1}{2} = 24$ ). c) A — $q = \frac{b _{3}}{b _{2}} = \frac{18}{6} = 3$ , deci $b_{1} = \frac{b _{2}}{q} = \frac{6}{3} = 2$ . d) C — este suma primilor $11$ termeni ai progresiei cu $b_{1} = 1$ și $q = 2$ : $S_{11} = 1 \cdot \frac{2 ^{11} - 1}{2 - 1} = 2048 - 1 = 2047$ .

Exercițiul 5. (6 p) a) (2 p) $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1} = 3 \cdot 2^{n - 1}$ . b) (2 p) $b_{8} = 3 \cdot 2^{7} = 3 \cdot 128 = 384$ . c) (2 p) $3 \cdot 2^{n - 1} = 3072 \Rightarrow 2^{n - 1} = 1024 = 2^{10} \Rightarrow n - 1 = 10 \Rightarrow n = 11$ .

Observație: ecuațiile de acest tip se rezolvă aducând ambii membri la aceeași bază și egalând exponenții; nu se împarte $3072$ la $2$ „până iese", chiar dacă și așa se ajunge la răspuns.

Exercițiul 6. (6 p) a) (4 p) Din $b_{6} = b_{3} \cdot q^{3}$ obținem $160 = 20 \cdot q^{3}$ , deci $q^{3} = 8$ și $q = 2$ (2 p). Apoi $b_{1} = \frac{b _{3}}{q ^{2}} = \frac{20}{4} = 5$ (2 p). b) (2 p) $b_{7} = b_{1} \cdot q^{6} = 5 \cdot 64 = 320$ .

Exercițiul 7. (8 p) a) (2 p) $S_{8} = 1 \cdot \frac{2 ^{8} - 1}{2 - 1} = 256 - 1 = 255$ . b) (3 p) $S_{6} = 3 \cdot \frac{2 ^{6} - 1}{2 - 1} = 3 \cdot 63 = 189$ . c) (3 p) $S_{5} = 2 \cdot \frac{3 ^{5} - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{243 - 1}{2} = 242$ . (Verificare prin adunare directă: $2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242$ .)

Observație: la toate cele trei subpuncte, exponentul lui $q$ din formulă este $n$ (numărul de termeni), nu $n - 1$ ca la termenul general — este greșeala cea mai frecventă la acest item. Formula folosită are sens doar pentru că $q \neq = 1$ în fiecare caz.

Exercițiul 8. (6 p) — câte 1,5 puncte (răspuns + justificare). a) A. Este chiar definiția progresiei geometrice: $\frac{b _{n + 1}}{b _{n}} = q$ pentru orice $n$ . b) F. Prin definiție $b_{1} \neq = 0$ și $q \neq = 0$ , iar $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$ este produs de factori nenuli, deci niciun termen nu poate fi $0$ . (Dacă un termen ar fi $0$ , raportul cu următorul nici nu s-ar putea calcula.) c) A. Înmulțind repetat cu un număr negativ, semnul se schimbă la fiecare pas: de exemplu $5, - 10, 20, - 40$ pentru $q = - 2$ . d) A. Dacă $q = 1$ , toți termenii sunt egali cu $b_{1}$ , deci $S_{n} = n \cdot b_{1}$ . Formula $S_{n} = b_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ nu se poate folosi aici, fiindcă numitorul ar fi $0$ .

Exercițiul 9. (6 p) a) (2 p) Condiția este ca rapoartele consecutive să fie egale: $\frac{x}{4} = \frac{25}{x} .$ b) (2 p) Din $x^{2} = 100$ rezultă $x = 10$ sau $x = - 10$ ; cum se cere $x$ pozitiv, avem $x = 10$ . (Observație: și $x = - 10$ ar da o progresie geometrică validă, $4, - 10, 25$ , cu rația $- \frac{5}{2}$ ; este eliminată doar de condiția $x > 0$ din enunț.) c) (2 p) Termenii sunt $4, 10, 25$ , cu rația $q = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$ (verificare: $\frac{25}{10} = \frac{5}{2}$ ).

Exercițiul 10. (8 p) a) (2 p) La fiecare interval numărul se înmulțește cu același factor: $\frac{N _{n + 1}}{N _{n}} = 2$ , deci $(N_{n})_{n \geq 0}$ este progresie geometrică cu rația $q = 2$ și primul termen $N_{0} = 500$ (indexarea începe de la $n = 0$ ). Formula: $N_{n} = 500 \cdot 2^{n}$ . b) (3 p) $12$ ore înseamnă $12 : 3 = 4$ intervale (1 p), deci $N_{4} = 500 \cdot 2^{4} = 500 \cdot 16 = 8000$ de bacterii (2 p). c) (3 p) $500 \cdot 2^{n} = 32000 \Rightarrow 2^{n} = 64 = 2^{6} \Rightarrow n = 6$ intervale (2 p), adică $6 \cdot 3 = 18$ ore (1 p).

Observație: enunțul cere ore, dar progresia numără intervale de 3 ore. Răspunsul „ $6$ " (fără transformare) se punctează cu cel mult 2 puncte din 3 — o problemă aplicată se încheie mereu în unitatea cerută.

Exercițiul 11. (8 p) a) (4 p) Rapoartele sunt constante: $\frac{6}{2} = \frac{18}{6} = 3$ , deci este progresie geometrică cu $b_{1} = 2$ și $q = 3$ (2 p). Din $2 \cdot 3^{n - 1} = 1458$ rezultă $3^{n - 1} = 729 = 3^{6}$ , deci $n - 1 = 6$ și $n = 7$ termeni (2 p). b) (4 p) $S_{7} = 2 \cdot \frac{3 ^{7} - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{2187 - 1}{2} = 2186$ . (Verificare: $2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486 + 1458 = 2186$ .)

Exercițiul 12. (8 p) a) (3 p) Observăm că $b_{2} + b_{3} = b_{1} q + b_{2} q = q (b_{1} + b_{2})$ (2 p), deci $36 = q \cdot 12$ și $q = 3$ (1 p). b) (2 p) Din $b_{1} + b_{2} = b_{1} (1 + q) = 12$ obținem $4 b_{1} = 12$ , deci $b_{1} = 3$ . c) (3 p) $S_{5} = 3 \cdot \frac{3 ^{5} - 1}{3 - 1} = 3 \cdot \frac{242}{2} = 3 \cdot 121 = 363$ . (Verificare: $3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 363$ .)

Exercițiul 13. (8 p) a) (2 p) $b_{3} = b_{1} \cdot q^{2} \Rightarrow 18 = 2 q^{2} \Rightarrow q^{2} = 9 \Rightarrow q = 3$ sau $q = - 3$ ; cum toți termenii sunt pozitivi, $q = 3$ . b) (3 p) $b_{5} = b_{1} \cdot q^{4} = 2 \cdot 3^{4} = 2 \cdot 81 = 162$ . c) (3 p) $S_{6} = b_{1} \cdot \frac{q ^{6} - 1}{q - 1} = 2 \cdot \frac{3 ^{6} - 1}{2} = 3^{6} - 1 = 729 - 1 = 728$ . (Verificare: $2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486 = 728$ .)

Observație pentru profesor: la punctul a), varianta $q = - 3$ nu este o eroare de calcul — ea dă o progresie geometrică perfect validă ( $2, - 6, 18, \dots$ , care are tot $b_{3} = 18$ ). Este eliminată exclusiv de ipoteza „termeni pozitivi" din enunț, iar elevul care justifică astfel primește punctajul integral. La subiectele de Bacalaureat, această ipoteză este întotdeauna scrisă explicit tocmai din acest motiv.

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică primul strat al unității: ce este o progresie geometrică și rația ei, cum se deosebește de o progresie aritmetică, cum se folosește formula termenului general $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$ în ambele sensuri (termen din rang și rang din termen) și cum se calculează suma primilor $n$ termeni. Sunt acoperite lecțiile Progresia geometrică și rația ei, Termenul general al unei progresii geometrice și Suma primilor $n$ termeni ai unei progresii geometrice. Aplicațiile procentuale — creșterea și descreșterea repetată, dobânda compusă, dinamica populației și alegerea modelului potrivit — se verifică în testul următor al unității.

Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Puterile folosite sunt mici ( $2^{10}$ , $3^{7}$ cel mult) și se pot calcula în scris; se cere scrierea formulei folosite, nu doar rezultatul. La final se compară rezolvările cu Baremul și răspunsurile.
Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, în special a exercițiilor în care rangul se află din ecuații cu puteri.
Formule de reținut: un șir $(b_{n})_{n \geq 1}$ cu $b_{1} \neq = 0$ este progresie geometrică dacă raportul a doi termeni consecutivi este constant: $\frac{b _{n + 1}}{b _{n}} = q$ pentru orice $n$ , cu $q \neq = 0$ . Termenul general: $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$ ; formula „de la orice termen": $b_{n} = b_{k} \cdot q^{n - k}$ . Suma primilor $n$ termeni: $S_{n} = b_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ , valabilă numai pentru $q \neq = 1$ ; dacă $q = 1$ , toți termenii sunt egali și $S_{n} = n \cdot b_{1}$ . Într-o progresie geometrică niciun termen nu poate fi $0$ . Dacă $q < 0$ , semnele termenilor alternează.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".