Test: Reducerea la absurd și inducția matematică

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Metode de demonstrație și inducția matematică

Exerciții

Partea I – Recunoașterea metodelor și structura demonstrației

Exercițiul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Pentru a demonstra prin reducere la absurd o propoziție $p$, presupunem că: A. $p$ este adevărată; B. $\neg p$ este adevărată; C. $p$ este simultan adevărată și falsă; D. nu presupunem nimic.

b) Într-o demonstrație prin inducție, ipoteza de inducție este: A. „$P(n)$ este adevărată pentru orice $n$"; B. „$P(1)$ este adevărată"; C. „$P(k)$ este adevărată pentru un $k$ fixat"; D. „$P(k+1)$ este adevărată".

c) Dacă $P(3)$ este adevărată și, pentru orice $k\ge 3$, din $P(k)$ rezultă $P(k+1)$, atunci: A. $P(n)$ este adevărată pentru orice $n\ge 1$; B. $P(n)$ este adevărată pentru orice $n\ge 3$; C. $P(n)$ este adevărată doar pentru $n=3$ și $n=4$; D. nu se poate trage nicio concluzie.

Exercițiul 2 (6 puncte)

Se consideră afirmația $P(n)$: „$1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$", cu $n\ge 1$. a) Scrie explicit propoziția $P(1)$ și verifică-o. (1,5 p) b) Scrie explicit propoziția $P(k)$. (1,5 p) c) Scrie explicit propoziția $P(k+1)$. (1,5 p) d) Precizează termenul care se adaugă la trecerea de la $P(k)$ la $P(k+1)$. (1,5 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „O demonstrație prin inducție poate începe cu verificarea pentru $n_0=3$, dacă afirmația este adevărată abia de la rangul $3$ încolo." b) „Dacă am verificat că $P(1),P(2),\dots ,P(1000)$ sunt adevărate, atunci $P(n)$ este adevărată pentru orice $n\ge 1$." c) „Într-o demonstrație prin reducere la absurd, contradicția obținută arată că presupunerea făcută este falsă." d) „În pasul inductiv presupunem că $P(n)$ este adevărată pentru orice $n$."

Exercițiul 4 (6 puncte)

Pentru fiecare afirmație, precizează care dintre cele două metode (inducția matematică sau reducerea la absurd) este potrivită pentru demonstrarea ei și justifică alegerea într-o frază (câte 2 puncte): a) „$\sqrt{2}$ este număr irațional."; b) „$1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, pentru orice $n\ge 1$."; c) „Nu există un cel mai mare număr prim."

Partea a II-a – Aplicarea metodelor

Exercițiul 5 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) Demonstrează prin metoda inducției matematice că, pentru orice $n\ge 1$: $$2+4+6+\cdots +2n=n(n+1).$$

Exercițiul 6 (8 puncte)

(Reducere la absurd.) Demonstrează că, pentru orice număr natural $n$, dacă $n^2$ este par, atunci $n$ este par.

Exercițiul 7 (6 puncte)

Un elev „demonstrează" că, pentru orice $n\ge 1$, $$1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}+5,$$ astfel: „Presupun afirmația adevărată pentru $k$. Atunci suma până la $k+1$ este $\frac{k(k+1)}{2}+5+(k+1)=\frac{(k+1)(k+2)}{2}+5$, adică exact formula pentru $k+1$. Deci afirmația este adevărată pentru orice $n$." a) Verifică dacă calculul din pasul inductiv este corect. (2 p) b) Arată, printr-un calcul concret, că afirmația este falsă, și precizează etapa lipsă din demonstrație. (4 p)

Exercițiul 8 (6 puncte)

Demonstrează prin inducție matematică că numărul $7^n-1$ este divizibil cu $6$ pentru orice $n\ge 1$.

Exercițiul 9 (5 puncte)

(Reducere la absurd.) Demonstrează că, dacă suma a două numere naturale este impară, atunci cele două numere nu au aceeași paritate (adică unul este par și celălalt impar).

Partea a III-a – Raționament și itemi de tip examen

Exercițiul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) Demonstrează prin inducție matematică inegalitatea $$2^n>2n+1,\text{pentru orice }n\ge 3.$$ Precizează la început de ce verificarea nu se poate face pentru $n=1$.

Exercițiul 11 (8 puncte)

Se știe că $\sqrt{2}$ este număr irațional. Demonstrează prin reducere la absurd: a) numărul $\sqrt{2}+3$ este irațional; (4 p) b) numărul $2\sqrt{2}$ este irațional. (4 p)

Exercițiul 12 (9 puncte)

(Redactare completă cerută.) Demonstrează prin inducție matematică că, pentru orice $n\ge 1$: $$1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots +n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}.$$

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) a) Demonstrați, folosind metoda inducției matematice, că pentru orice $n\ge 1$: $$1+2+2^2+\cdots +2^{n-1}=2^n-1.$$ (5 p) b) Determinați cel mai mic număr natural $n$ pentru care $1+2+2^2+\cdots +2^{n-1}>1000$. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) B — presupunem adevărată negația concluziei și căutăm o contradicție. b) C — ipoteza de inducție privește o singură verigă, $P(k)$, pentru un $k$ fixat; varianta A este chiar concluzia (eroare gravă de redactare). c) B — principiul inducției cu rangul de pornire $n_0=3$; despre $P(1)$ și $P(2)$ nu se poate afirma nimic.

Exercițiul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte. a) $P(1)$: „$1=\frac{1\cdot 2}{2}$", adică $1=1$ — adevărată. b) $P(k)$: „$1+2+\cdots +k=\frac{k(k+1)}{2}$". c) $P(k+1)$: „$1+2+\cdots +k+(k+1)=\frac{(k+1)(k+2)}{2}$". d) Termenul care se adaugă este $k+1$ (termenul de rang $k+1$).

Exercițiul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) A. Este varianta cu rang de pornire $n_0$: verificăm $P(n_0)$ și demonstrăm transmiterea pentru $k\ge n_0$; concluzia acoperă toate rangurile $n\ge n_0$. b) F. Oricâte cazuri particulare nu demonstrează un enunț despre toate numerele naturale — exemplul clasic $n^2+n+41$ dă numere prime pentru $n=0,1,\dots ,39$ și eșuează la $n=40$ ($1681=41^2$). c) A. Contradicția arată că presupunerea $\neg p$ este falsă, deci $p$ este adevărată — acesta este mecanismul metodei. d) F. Presupunem $P(k)$ pentru un $k$ fixat; a presupune adevărul pentru orice $n$ înseamnă a presupune chiar concluzia.

Exercițiul 4. (6 p) — câte 2 puncte (1 p metoda, 1 p justificarea). a) Reducere la absurd — afirmația este de tip „nu se poate scrie ca fracție"; presupunem contrariul ($\sqrt{2}=\frac{a}{b}$, fracție ireductibilă) și obținem o contradicție. b) Inducția matematică — este o egalitate care depinde de $n$ și trebuie demonstrată pentru o infinitate de valori, în lanț. c) Reducere la absurd — enunț de tip „nu există"; presupunem că ar exista un cel mai mare număr prim și construim o contradicție (demonstrația lui Euclid).

Exercițiul 5. (8 p) — redactare completă.

Notăm cu $P(n)$ afirmația: $2+4+\cdots +2n=n(n+1)$. (1 p pentru enunțarea explicită a lui $P(n)$)

Etapa de verificare (2 p). Pentru $n=1$: membrul stâng este $2$, iar membrul drept este $1\cdot 2=2$. Egalitatea are loc, deci $P(1)$ este adevărată.

Etapa de demonstrație (1 p pentru ipoteză + țintă). Presupunem $P(k)$ adevărată pentru un $k\ge 1$ fixat: $$2+4+\cdots +2k=k(k+1).$$ Demonstrăm $P(k+1)$, adică: $2+4+\cdots +2k+2(k+1)=(k+1)(k+2)$.

Calculul (3 p). Folosim ipoteza de inducție pentru primii $k$ termeni: $$\underset{=k(k+1)}{\underbrace{2+4+\cdots +2k}}+2(k+1)=k(k+1)+2(k+1)=(k+1)(k+2).$$ Am obținut exact membrul drept al lui $P(k+1)$, deci $P(k+1)$ este adevărată.

Concluzia (1 p). Conform principiului inducției matematice, egalitatea este adevărată pentru orice $n\ge 1$. $■$

Observație: egalitatea se poate verifica și direct: $2+4+\cdots +2n=2(1+2+\cdots +n)=2\cdot \frac{n(n+1)}{2}=n(n+1)$ — dar itemul cere demonstrația prin inducție, deci punctajul se acordă doar pentru redactarea celor două etape.

Exercițiul 6. (8 p)

Presupunerea contrară (2 p). Fie $n\in \mathbb{N}$ cu $n^2$ par și presupunem, prin reducere la absurd, că $n$ nu este par, adică $n$ este impar.

Calculul (3 p). Atunci $n=2k+1$, cu $k\in \mathbb{N}$, și $$n^2=(2k+1{)}^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1,$$ deci $n^2$ este impar (are forma $2m+1$, cu $m=2k^2+2k\in \mathbb{N}$).

Contradicția (2 p). Am obținut că $n^2$ este impar, în contradicție cu ipoteza, care spune că $n^2$ este par. Un număr natural nu poate fi simultan par și impar.

Concluzia (1 p). Presupunerea „$n$ este impar" este falsă, deci $n$ este par. $■$

Exercițiul 7. (6 p) a) (2 p) Calculul este corect: $\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)=\frac{k(k+1)+2(k+1)}{2}=\frac{(k+1)(k+2)}{2}$, deci adăugând constanta $5$ în ambii membri se obține într-adevăr $\frac{(k+1)(k+2)}{2}+5$. Pasul inductiv „funcționează". b) (4 p) Pentru $n=1$: membrul stâng este $1$, iar membrul drept este $\frac{1\cdot 2}{2}+5=6$, iar $1\ne 6$ (2 p). Afirmația este deci falsă chiar de la primul rang. Etapa lipsă este etapa de verificare (baza inducției): fără ea, un pas inductiv corect poate „transmite" la nesfârșit o formulă falsă — constanta greșită se simplifică în calcul și nu se vede. Prima piesă de domino nu cade, deci nu cade niciuna (2 p).

Exercițiul 8. (6 p)

Verificarea (1 p). Pentru $n=1$: $7^1-1=6$, divizibil cu $6$.

Ipoteza de inducție (2 p). Presupunem că $7^k-1$ este divizibil cu $6$ pentru un $k\ge 1$ fixat, adică $7^k-1=6m$, cu $m\in \mathbb{N}$ (echivalent, $7^k=6m+1$).

Calculul (2 p). $$7^{k+1}-1=7\cdot 7^k-1=7(6m+1)-1=42m+6=6(7m+1),$$ deci $7^{k+1}-1$ este divizibil cu $6$. (Variantă acceptată: $7^{k+1}-1=7(7^k-1)+6$ — ambii termeni sunt divizibili cu $6$.)

Concluzia (1 p). Conform principiului inducției matematice, $6\mid 7^n-1$ pentru orice $n\ge 1$. $■$

Exercițiul 9. (5 p)

Presupunerea contrară (1,5 p). Fie $a,b\in \mathbb{N}$ cu $a+b$ impar și presupunem, prin reducere la absurd, că $a$ și $b$ au aceeași paritate.

Analiza cazurilor (2 p). – Dacă ambele sunt pare: $a=2m$, $b=2t$, cu $m,t\in \mathbb{N}$, deci $a+b=2(m+t)$ — număr par. – Dacă ambele sunt impare: $a=2m+1$, $b=2t+1$, deci $a+b=2m+2t+2=2(m+t+1)$ — număr par.

Contradicția și concluzia (1,5 p). În ambele cazuri $a+b$ este par, în contradicție cu ipoteza că $a+b$ este impar. Presupunerea este deci falsă, adică $a$ și $b$ nu au aceeași paritate: unul este par și celălalt impar. $■$

Exercițiul 10. (8 p)

De ce nu de la $n=1$ (1 p). Pentru $n=1$: $2^1=2$ și $2\cdot 1+1=3$, deci $2>3$ este fals; la fel pentru $n=2$: $4>5$ fals. Inegalitatea devine adevărată abia de la $n=3$, deci rangul de pornire este $n_0=3$.

Etapa de verificare (1,5 p). Pentru $n=3$: $2^3=8$ și $2\cdot 3+1=7$, iar $8>7$ ✓. Deci $P(3)$ este adevărată.

Ipoteza și ținta (1,5 p). Presupunem $P(k)$ adevărată pentru un $k\ge 3$ fixat: $2^k>2k+1$. Demonstrăm $P(k+1)$: $2^{k+1}>2(k+1)+1=2k+3$.

Calculul (3 p). Înmulțim ipoteza cu $2>0$ (inegalitatea își păstrează sensul): $$2^{k+1}=2\cdot 2^k>2(2k+1)=4k+2.$$ Rămâne să arătăm că $4k+2\ge 2k+3$, ceea ce revine la $2k\ge 1$ — adevărat, deoarece $k\ge 3$. (De fapt $4k+2-(2k+3)=2k-1>0$.) Prin urmare $2^{k+1}>4k+2\ge 2k+3$, adică $P(k+1)$ este adevărată.

Concluzia (1 p). Conform principiului inducției matematice, $2^n>2n+1$ pentru orice $n\ge 3$. $■$

Exercițiul 11. (8 p)

a) (4 p) Presupunem, prin reducere la absurd, că $\sqrt{2}+3$ este rațional (1 p), adică $\sqrt{2}+3=q$, cu $q\in \mathbb{Q}$. Atunci $$\sqrt{2}=q-3.$$ Diferența a două numere raționale este un număr rațional (1 p), deci $\sqrt{2}\in \mathbb{Q}$ (1 p) — contradicție cu faptul cunoscut că $\sqrt{2}$ este irațional. Presupunerea este falsă, deci $\sqrt{2}+3$ este irațional (1 p). $■$

b) (4 p) Presupunem, prin reducere la absurd, că $2\sqrt{2}$ este rațional (1 p), adică $2\sqrt{2}=q$, cu $q\in \mathbb{Q}$. Atunci $$\sqrt{2}=\frac{q}{2},$$ iar câtul dintre un număr rațional și numărul rațional nenul $2$ este rațional (1 p), deci $\sqrt{2}\in \mathbb{Q}$ (1 p) — contradicție. Prin urmare $2\sqrt{2}$ este irațional (1 p). $■$

Exercițiul 12. (9 p) — redactare completă.

Notăm cu $P(n)$ afirmația: $1\cdot 2+2\cdot 3+\cdots +n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$. (1 p)

Etapa de verificare (2 p). Pentru $n=1$: membrul stâng este $1\cdot 2=2$, iar membrul drept este $\frac{1\cdot 2\cdot 3}{3}=2$. Egalitatea are loc, deci $P(1)$ este adevărată.

Ipoteza și ținta (2 p). Presupunem $P(k)$ adevărată pentru un $k\ge 1$ fixat: $$1\cdot 2+2\cdot 3+\cdots +k(k+1)=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}.$$ Demonstrăm $P(k+1)$, adică: $$1\cdot 2+\cdots +k(k+1)+(k+1)(k+2)=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}.$$

Calculul (3 p). Termenul care se adaugă este $(k+1)[(k+1)+1]=(k+1)(k+2)$. Folosind ipoteza de inducție: $$\underset{=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}}{\underbrace{1\cdot 2+\cdots +k(k+1)}}+(k+1)(k+2)=\frac{k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)}{3}.$$ Scoatem factorul comun $(k+1)(k+2)$: $$=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3},$$ adică exact membrul drept al lui $P(k+1)$.

Concluzia (1 p). Conform principiului inducției matematice, egalitatea este adevărată pentru orice $n\ge 1$. $■$

Exercițiul 13. (8 p)

a) (5 p) Notăm cu $P(n)$ afirmația: $1+2+2^2+\cdots +2^{n-1}=2^n-1$.

Verificarea (1 p). Pentru $n=1$: membrul stâng este $1$, iar membrul drept $2^1-1=1$ ✓.

Ipoteza și ținta (1,5 p). Presupunem $P(k)$ adevărată pentru un $k\ge 1$ fixat: $1+2+\cdots +2^{k-1}=2^k-1$. Demonstrăm că $1+2+\cdots +2^{k-1}+2^k=2^{k+1}-1$.

Calculul (2 p). $$\underset{=2^k-1}{\underbrace{1+2+\cdots +2^{k-1}}}+2^k=2^k-1+2^k=2\cdot 2^k-1=2^{k+1}-1.✓$$

Concluzia (0,5 p). Conform principiului inducției matematice, egalitatea este adevărată pentru orice $n\ge 1$. $■$

b) (3 p) Din punctul a), suma este $2^n-1$, deci condiția devine $$2^n-1>1000⟺2^n>1001.$$ Cum $2^9=512<1001$ și $2^{10}=1024>1001$, cel mai mic număr natural care verifică inegalitatea este $\mathbf{n}=10$. (Verificare: pentru $n=10$ suma este $1024-1=1023>1000$, iar pentru $n=9$ este $512-1=511<1000$.)

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică cele două mari metode de demonstrație studiate la specializarea matematică-informatică: reducerea la absurd (presupunem contrariul concluziei și ajungem la o contradicție) și inducția matematică (etapa de verificare + pasul inductiv), cu aplicațiile ei la sume, inegalități și divizibilitate. Spre deosebire de testele de calcul, aici se evaluează în primul rând redactarea: baremul acordă puncte separat pentru verificare, pentru formularea ipotezei de inducție, pentru calcul și pentru concluzie. Un elev care scrie corect etapele obține punctaj chiar și atunci când se împiedică în calculul final — exact ca la Bacalaureatul M1.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu redactare completă se cer toate etapele scrise, nu doar calculul.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie. Formulările consacrate („Notăm cu $P(n)$ afirmația…", „Presupunem $P(k)$ adevărată pentru un $k\ge 1$ fixat…", „Conform principiului inducției matematice…") sunt obligatorii la itemii marcați cu redactare completă.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe redactarea celor două etape.
• Reguli de reținut: Reducerea la absurd pentru a demonstra $p$: presupunem $\neg p$ adevărată, deducem corect până obținem o contradicție (cu ipoteza, cu un adevăr cunoscut sau cu presupunerea însăși), deci $\neg p$ este falsă și $p$ este adevărată. Inducția matematică: dacă $P(n_0)$ este adevărată și, pentru orice $k\ge n_0$, din $P(k)$ rezultă $P(k+1)$, atunci $P(n)$ este adevărată pentru orice $n\ge n_0$. Ambele etape sunt obligatorii: fără verificare, pasul inductiv „demonstrează" și formule false; fără pas inductiv, oricâte verificări nu acoperă infinitatea de cazuri. La sume, mișcarea-cheie este ruperea sumei până la $k+1$ în „suma până la $k$" (din ipoteză) plus ultimul termen.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".