Test: Relațiile lui Viète și ecuația de gradul al doilea

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Funcția de gradul al doilea

Exerciții

Partea I – Ecuația de gradul al doilea, sumă și produs

Exercițiul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Discriminantul ecuației $2x^2-5x+2=0$ este: A. $9$; B. $41$; C. $-9$; D. $21$.

b) Dacă $x_1$ și $x_2$ sunt rădăcinile ecuației $x^2-6x+4=0$, atunci $x_1+x_2$ și $x_1{x}_2$ sunt, în această ordine: A. $6$ și $4$; B. $-6$ și $4$; C. $6$ și $-4$; D. $-6$ și $-4$.

c) Ecuația de gradul al doilea care are rădăcinile $2$ și $5$ este: A. $x^2+7x+10=0$; B. $x^2-7x+10=0$; C. $x^2-7x-10=0$; D. $x^2-3x+10=0$.

Exercițiul 2 (6 puncte)

Se consideră ecuația $2x^2-5x+2=0$. a) Rezolvă ecuația folosind formula rădăcinilor. (3 p) b) Verifică relațiile lui Viète pentru rădăcinile obținute. (3 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Dacă $\Delta <0$, ecuația $a{x}^2+bx+c=0$, cu $a\ne 0$, nu are rădăcini reale." b) „Pentru ecuația $a{x}^2+bx+c=0$, cu $a\ne 0$, suma rădăcinilor este $\frac{b}{a}$." c) „Dacă $\Delta \ge 0$ și $\frac{c}{a}<0$, atunci rădăcinile ecuației au semne contrare." d) „Dacă o ecuație de gradul al doilea cu coeficienți întregi are $\Delta >0$, atunci rădăcinile ei sunt numere raționale."

Exercițiul 4 (6 puncte)

Fie $x_1$ și $x_2$ rădăcinile ecuației $x^2-6x+4=0$. Fără a rezolva ecuația, calculează (câte 2 puncte): a) $x_1^2+x_2^2$; b) $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$; c) $x_1^3+x_2^3$.

Partea a II-a – Expresii simetrice, ecuații cu rădăcini date, parametru

Exercițiul 5 (8 puncte)

Fie $x_1$ și $x_2$ rădăcinile ecuației $x^2-3x+1=0$. a) Arată că ecuația are două rădăcini reale distincte și scrie $S$ și $P$. (2 p) b) Calculează $(x_1-x_2{)}^2$. (3 p) c) Calculează $\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}$. (3 p)

Exercițiul 6 (8 puncte)

Fie $x_1$ și $x_2$ rădăcinile ecuației $x^2-6x+4=0$. a) Formează ecuația de gradul al doilea care are rădăcinile $x_1+1$ și $x_2+1$. (4 p) b) Formează ecuația de gradul al doilea care are rădăcinile $\frac{1}{x_1}$ și $\frac{1}{x_2}$. (4 p)

Exercițiul 7 (7 puncte)

Se consideră ecuația $x^2-(m+1)x+m-2=0$, unde $m$ este un număr real. a) Arată că ecuația are două rădăcini reale distincte, oricare ar fi $m\in \mathbb{R}$. (3 p) b) Determină valorile lui $m$ pentru care rădăcinile verifică $x_1^2+x_2^2=14$. (4 p)

Exercițiul 8 (7 puncte)

Se consideră aceeași ecuație, $x^2-(m+1)x+m-2=0$, cu $m\in \mathbb{R}$. a) Determină valorile lui $m$ pentru care ecuația are rădăcini de semne contrare. (4 p) b) Verifică rezultatul pentru $m=0$, rezolvând efectiv ecuația. (3 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația bipătratică $$x^4-13x^2+36=0,$$ folosind substituția $t=x^2$. Precizează la fiecare pas condițiile pe care trebuie să le îndeplinească $t$.

Partea a III-a – Demonstrații și item de tip examen

Exercițiul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) Fie $a$, $b$, $c$ numere reale cu $a\ne 0$. Deduce, prin metoda formării pătratului perfect, formula de rezolvare a ecuației $$a{x}^2+bx+c=0,$$ și discută numărul soluțiilor reale după semnul lui $\Delta =b^2-4ac$.

Exercițiul 11 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) Presupunând $\Delta \ge 0$, demonstrează relațiile lui Viète: dacă $x_1$ și $x_2$ sunt rădăcinile ecuației $a{x}^2+bx+c=0$ (cu $a\ne 0$), atunci $$x_1+x_2=-\frac{b}{a}\text{și}{x}_1\cdot x_2=\frac{c}{a}.$$

Exercițiul 12 (6 puncte)

a) Determină două numere reale care au suma $7$ și produsul $12$. (3 p) b) Arată că nu există două numere reale a căror sumă să fie $3$ și al căror produs să fie $5$. (3 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră ecuația $x^2-5x+3=0$, cu rădăcinile $x_1$ și $x_2$. a) Arătați că ecuația are două rădăcini reale distincte. (2 p) b) Calculați $x_1^2+x_2^2$. (3 p) c) Calculați $(x_1+2)(x_2+2)$. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p)

a) A. (2 p) $\Delta =(-5{)}^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9$.

b) A. (2 p) Cu $a=1$, $b=-6$, $c=4$: $S=-\frac{b}{a}=6$ și $P=\frac{c}{a}=4$. (Greșeala frecventă este semnul: suma este $-\frac{b}{a}$, nu $\frac{b}{a}$.)

c) B. (2 p) $S=2+5=7$ și $P=2\cdot 5=10$, deci ecuația este $t^2-St+P=0$, adică $x^2-7x+10=0$. Verificare: $4-14+10=0$ ✓ și $25-35+10=0$ ✓.

Exercițiul 2. (6 p)

a) (3 p) $\Delta =25-16=9>0$, deci $\sqrt{\Delta }=3$ (1 p) și $$x_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4}⟹x_1=\frac{8}{4}=2,x_2=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.$$ (2 p)

b) (3 p) Relațiile lui Viète pentru $a=2$, $b=-5$, $c=2$ dau $S=-\frac{b}{a}=\frac{5}{2}$ și $P=\frac{c}{a}=1$ (1,5 p). Verificare cu rădăcinile găsite: $$x_1+x_2=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}✓,x_1\cdot x_2=2\cdot \frac{1}{2}=1✓.$$ (1,5 p)

Exercițiul 3. (6 p)

a) A. (1,5 p) Din forma cu pătrat perfect, $a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2=\frac{\Delta }{4a}$; dacă $\Delta <0$, ecuația ${\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2=\frac{\Delta }{4a^2}$ cere ca un pătrat să fie negativ, ceea ce este imposibil în $\mathbb{R}$.

b) F. (1,5 p) Suma rădăcinilor este $-\frac{b}{a}$. Contraexemplu: pentru $x^2-5x+6=0$, rădăcinile sunt $2$ și $3$, cu suma $5$, în timp ce $\frac{b}{a}=-5$.

c) A. (1,5 p) $\frac{c}{a}=P=x_1{x}_2<0$ înseamnă că produsul celor două rădăcini (reale, pentru că $\Delta \ge 0$) este negativ, deci ele au semne contrare. (Observație: dacă $P<0$, atunci $\Delta =b^2-4ac>0$ automat, deci condiția $\Delta \ge 0$ este oricum îndeplinită.)

d) F. (1,5 p) Contraexemplu: $x^2-3x+1=0$ are $\Delta =5>0$, dar rădăcinile $\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$ sunt iraționale. Rădăcinile sunt raționale doar când $\Delta$ este pătrat perfect.

Exercițiul 4. (6 p)

a) (2 p) Cu $S=6$ și $P=4$: $$x_1^2+x_2^2=S^2-2P=36-8=28.$$

b) (2 p) $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}=\frac{S}{P}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$. (Operația are sens pentru că $P=4\ne 0$, deci nicio rădăcină nu este nulă.)

c) (2 p) $x_1^3+x_2^3=S^3-3PS=216-3\cdot 4\cdot 6=216-72=144$. (Formula provine din $x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2{)}^3-3x_1{x}_2(x_1+x_2)$.)

Exercițiul 5. (8 p)

a) (2 p) $\Delta =9-4=5>0$, deci ecuația are două rădăcini reale distincte; $S=3$ și $P=1$.

b) (3 p) Pornim de la identitatea $(x_1-x_2{)}^2=(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2$ (1,5 p), deci $$(x_1-x_2{)}^2=S^2-4P=9-4=5.$$ (1,5 p) (Coincidența cu $\Delta$ nu este întâmplătoare: $(x_1-x_2{)}^2=\frac{\Delta }{a^2}$, iar aici $a=1$.)

c) (3 p) Aducem la același numitor (1 p): $$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1{x}_2}=\frac{S^2-2P}{P}.$$ (1 p) Cu $S=3$ și $P=1$: $\frac{9-2}{1}=7$ (1 p).

Exercițiul 6. (8 p)

a) (4 p) Pentru ecuația dată, $S=6$ și $P=4$. Noile rădăcini $y_1=x_1+1$ și $y_2=x_2+1$ au (1 p) $$S^{\prime }=y_1+y_2=(x_1+x_2)+2=6+2=8,$$ (1 p) $$P^{\prime }=(x_1+1)(x_2+1)=x_1{x}_2+(x_1+x_2)+1=4+6+1=11.$$ (1 p) Ecuația căutată este $$y^2-8y+11=0.$$ (1 p) (Verificare rapidă: ${\Delta }^{\prime }=64-44=20=\Delta$ — translația rădăcinilor cu $1$ nu schimbă distanța dintre ele.)

b) (4 p) Deoarece $P=4\ne 0$, rădăcinile sunt nenule și inversele lor există (0,5 p). Atunci $$S^{\prime \prime }=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{S}{P}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2},P^{\prime \prime }=\frac{1}{x_1{x}_2}=\frac{1}{P}=\frac{1}{4}.$$ (2 p) Ecuația este $y^2-\frac{3}{2}y+\frac{1}{4}=0$ (1 p), sau, înmulțind cu $4$ pentru coeficienți întregi, $$4y^2-6y+1=0.$$ (0,5 p)

Exercițiul 7. (7 p)

a) (3 p) Cu $a=1$, $b=-(m+1)$, $c=m-2$: $$\Delta =(m+1{)}^2-4(m-2)=m^2+2m+1-4m+8=m^2-2m+9.$$ (1,5 p) Restrângem pătratul: $m^2-2m+9=(m-1{)}^2+8\ge 8>0$ pentru orice $m$ real (1,5 p). Prin urmare $\Delta >0$ întotdeauna, deci ecuația are două rădăcini reale distincte, oricare ar fi $m$.

b) (4 p) Din Viète, $S=m+1$ și $P=m-2$ (1 p), deci $$x_1^2+x_2^2=S^2-2P=(m+1{)}^2-2(m-2)=m^2+2m+1-2m+4=m^2+5.$$ (1,5 p) Condiția $m^2+5=14$ dă $m^2=9$, deci $\mathbf{m}=3$ sau $\mathbf{m}=-3$ (1 p). Ambele convin, pentru că, potrivit punctului a), rădăcinile sunt reale pentru orice $m$ (0,5 p). (Verificare: pentru $m=3$ ecuația este $x^2-4x+1=0$, cu $S=4$, $P=1$ și $S^2-2P=14$ ✓; pentru $m=-3$ ecuația este $x^2+2x-5=0$, cu $S=-2$, $P=-5$ și $4+10=14$ ✓.)

Exercițiul 8. (7 p)

a) (4 p) Rădăcinile sunt reale pentru orice $m$ (punctul a) al itemului 7) (1 p). Ele au semne contrare dacă și numai dacă produsul lor este negativ (1,5 p): $$P=\frac{c}{a}=m-2<0⟺\mathbf{m}<2,\text{adica˘ }m\in (-\infty ,2).$$ (1,5 p)

b) (3 p) Pentru $m=0$ ecuația devine $x^2-x-2=0$ (1 p). Cu $\Delta =1+8=9$ obținem $x_{1,2}=\frac{1\pm 3}{2}$, adică $x_1=2$ și $x_2=-1$ (1,5 p). Într-adevăr, rădăcinile au semne contrare, iar $0<2$ ✓ (0,5 p).

Exercițiul 9. (6 p)

Substituția (1,5 p). Notăm $t=x^2$. Deoarece $x$ este real, avem obligatoriu $t\ge 0$ — condiție care va fi verificată la final pentru fiecare valoare găsită. Ecuația devine $$t^2-13t+36=0.$$

Rezolvarea în $t$ (2 p). $\Delta =169-144=25$, $\sqrt{\Delta }=5$, deci $$t_1=\frac{13-5}{2}=4,t_2=\frac{13+5}{2}=9.$$ Ambele valori sunt pozitive, deci ambele sunt acceptabile.

Revenirea la $x$ (2 p). Din $x^2=4$ rezultă $x=\pm 2$; din $x^2=9$ rezultă $x=\pm 3$. Mulțimea soluțiilor este $$S=\{-3,-2,2,3\}.$$

Verificarea (0,5 p). Pentru $x=2$: $16-52+36=0$ ✓. Pentru $x=3$: $81-117+36=0$ ✓. (Valorile negative dau aceleași calcule, pentru că apar doar puteri pare.)

Exercițiul 10. (8 p) — redactare completă.

Împărțirea la $a$ (2 p). Cum $a\ne 0$, ecuația $a{x}^2+bx+c=0$ este echivalentă cu $$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0.$$

Formarea pătratului perfect (3 p). Observăm că $x^2+\frac{b}{a}x$ sunt primii doi termeni ai dezvoltării lui ${\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2$, căreia îi lipsește $\frac{b^2}{4a^2}$. Adunăm și scădem acest termen: $${\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}=0⟺{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}=\frac{\Delta }{4a^2}.$$

Discuția după semnul lui $\Delta$ (3 p). Membrul stâng este un pătrat, deci nenegativ; numitorul $4a^2$ este strict pozitiv. Prin urmare: – dacă $\Delta <0$, membrul drept este negativ și ecuația nu are soluții reale; – dacă $\Delta =0$, obținem ${\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2=0$, deci o singură soluție reală (rădăcină dublă), $x=-\frac{b}{2a}$; – dacă $\Delta >0$, extragem radicalul: $x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{\Delta }}{2|a|}$, adică $x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{\Delta }}{2a}$ (semnul $\pm$ acoperă ambele situații, indiferent de semnul lui $a$), de unde două soluții reale distincte: $$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}.■$$

Exercițiul 11. (8 p) — redactare completă.

Punctul de plecare (2 p). Cum $\Delta \ge 0$, rădăcinile există și sunt $$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a},x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}.$$

Suma (2,5 p). Adunăm cele două fracții, care au același numitor: $$x_1+x_2=\frac{\left(-b-\sqrt{\Delta }\right)+\left(-b+\sqrt{\Delta }\right)}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}.$$ Radicalii se reduc, indiferent cât de complicat ar fi $\sqrt{\Delta }$.

Produsul (2,5 p). Folosim formula $(u-v)(u+v)=u^2-v^2$, cu $u=-b$ și $v=\sqrt{\Delta }$: $$x_1\cdot x_2=\frac{{\left(-b\right)}^2-{\left(\sqrt{\Delta }\right)}^2}{4a^2}=\frac{b^2-\Delta }{4a^2}=\frac{b^2-\left(b^2-4ac\right)}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}.$$

Concluzia (1 p). Prin urmare $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ și $x_1{x}_2=\frac{c}{a}$, adică exact relațiile lui Viète. Ele arată că suma și produsul rădăcinilor se citesc direct din coeficienți, fără a rezolva ecuația. $■$

Exercițiul 12. (6 p)

a) (3 p) Dacă cele două numere au suma $7$ și produsul $12$, ele sunt rădăcinile ecuației $t^2-7t+12=0$ (1,5 p). Cu $\Delta =49-48=1$ obținem $t_1=\frac{7-1}{2}=3$ și $t_2=\frac{7+1}{2}=4$ (1 p). Numerele sunt $3$ și $4$; verificare: $3+4=7$ ✓ și $3\cdot 4=12$ ✓ (0,5 p).

b) (3 p) Presupunem prin absurd că ar exista două numere reale cu suma $3$ și produsul $5$. Atunci ele ar fi rădăcinile ecuației $t^2-3t+5=0$ (1,5 p), al cărei discriminant este $$\Delta =9-20=-11<0,$$ deci ecuația nu are rădăcini reale (1 p). Contradicție; prin urmare nu există astfel de numere reale (0,5 p). (Condiția generală de existență este $S^2\ge 4P$, iar aici $9<20$.)

Exercițiul 13. (8 p)

a) (2 p) $\Delta =(-5{)}^2-4\cdot 1\cdot 3=25-12=13>0$, deci ecuația are două rădăcini reale distincte.

b) (3 p) Din relațiile lui Viète, $S=5$ și $P=3$ (1 p). Atunci $$x_1^2+x_2^2=S^2-2P=25-6=19.$$ (2 p)

c) (3 p) Dezvoltăm produsul și grupăm ca să apară $S$ și $P$ (1 p): $$(x_1+2)(x_2+2)=x_1{x}_2+2(x_1+x_2)+4=P+2S+4.$$ (1 p) Înlocuind: $3+10+4=17$ (1 p). (Metodă rapidă, utilă la examen: cum $f(x)=x^2-5x+3=(x-x_1)(x-x_2)$, avem $f(-2)=(-2-x_1)(-2-x_2)=(x_1+2)(x_2+2)$, deci răspunsul este chiar $f(-2)=4+10+3=17$ ✓.)

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică partea de curriculum diferențiat (mate-info) a unității: nu doar folosirea formulei rădăcinilor, ci deducerea ei, și nu doar rezolvarea unei ecuații, ci extragerea de informații despre rădăcini fără a le calcula. Sunt acoperite lecțiile Ecuația de gradul al doilea: deducerea formulelor de rezolvare și Relațiile lui Viète și aplicațiile lor. Se evaluează: trecerea de la $a{x}^2+bx+c=0$ la forma cu pătrat perfect și discuția după semnul discriminantului; calculul expresiilor simetrice ($x_1^2+x_2^2$, $x_1^3+x_2^3$, $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$, $(x_1-x_2{)}^2$) prin $S$ și $P$; formarea unei ecuații cu rădăcini date; ecuațiile cu parametru, inclusiv discuția semnelor rădăcinilor. Ultima parte cere redactare completă, ca la Bacalaureatul M1.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu demonstrație se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. La itemii cu relațiile lui Viète este greșeală de metodă rezolvarea ecuației și înlocuirea numerică atunci când enunțul cere „fără a rezolva ecuația"; la itemii cu parametru, răspunsul este complet doar dacă se verifică și condiția de existență a rădăcinilor reale.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe scrierea expresiilor simetrice în funcție de $S$ și $P$.
• Formule de reținut: pentru $a{x}^2+bx+c=0$ cu $a\ne 0$ și $\Delta =b^2-4ac$, rădăcinile sunt $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$ (când $\Delta \ge 0$). Relațiile lui Viète: $S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ și $P=x_1{x}_2=\frac{c}{a}$. Expresii simetrice: $x_1^2+x_2^2=S^2-2P$; $(x_1-x_2{)}^2=S^2-4P=\frac{\Delta }{a^2}$; $x_1^3+x_2^3=S^3-3PS$; $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{S}{P}$ (pentru $P\ne 0$); $\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{S^2-2P}{P}$. Ecuația cu rădăcini date: dacă două numere au suma $S$ și produsul $P$, ele sunt rădăcinile ecuației $t^2-St+P=0$, care are soluții reale doar dacă $S^2-4P\ge 0$. Semnele rădăcinilor (când $\Delta \ge 0$): $P<0$ înseamnă rădăcini de semne contrare; $P>0$ și $S>0$ înseamnă ambele pozitive; $P>0$ și $S<0$ înseamnă ambele negative.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".