Suma coeficienților binomiali: formulă

Formulă din tema Combinatorică, clasa a X-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Prima identitate se obține punând $a=b=1$ în binomul lui Newton, a doua punând $a=1$ și $b=-1$. Prima are și o citire directă: o mulțime cu $n$ elemente are $2^n$ submulțimi, iar grupându-le după numărul de elemente obții tocmai combinările. A doua spune că submulțimile cu număr par de elemente sunt tot atâtea câte cele cu număr impar. Capcană: a doua identitate cere $n\ge 1$ — pentru $n=0$ suma este $1$.

Exemplu: $C_4^0+C_4^1+C_4^2+C_4^3+C_4^4=1+4+6+4+1=16=2^4$. • Dintr-o clasă de $10$ elevi se pot forma $2^{10}=1024$ de echipe diferite (numărând și echipa goală, și clasa întreagă). • $C_5^0-C_5^1+C_5^2-C_5^3+C_5^4-C_5^5=1-5+10-10+5-1=0$.