Determinantul produsului a două matrice: formulă

Formulă din tema Determinanți și matrice inversabile, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$A,B\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ — de același ordin. Aceasta este cea mai folosită proprietate a capitolului: transformă o întrebare despre un produs de matrice într-una despre două numere. Consecințe imediate: $\det (A^k)=(\det A{)}^k$ pentru orice $k\in \mathbb{N}$; dacă $A$ este inversabilă, $\det (A^{-1})=\frac{1}{\det A}$; iar $\det (AB)=\det (BA)$, chiar dacă $AB\ne BA$. Capcană: nu există nicio formulă analogă pentru sumă — $\det (A+B)$ nu se poate calcula din $\det A$ și $\det B$.

Exemplu: Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 3& 4\end{array}\right)$ ($\det A=11$) și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 5\end{array}\right)$ ($\det B=5$): $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 3& 26\end{array}\right)$, cu $\det (AB)=52+3=55=11\cdot 5$ ✓. • Dacă $\det A=2$ și $A\in {\mathcal{M}}_3$, atunci $\det (A^3)=8$.