Matrice inversabilă și matricea adjunctă: formulă

Formulă din tema Determinanți și matrice inversabile, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ se numește inversabilă (sau nesingulară) dacă există $A^{-1}$ cu $A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I_n$; criteriul este $\det A\ne 0$. $A^{\ast }$ este matricea adjunctă: transpusa matricei complemenților algebrici, adică elementul de pe linia $i$ și coloana $j$ al lui $A^{\ast }$ este ${\delta }_{ji}$ — indicii se schimbă între ei, aici se greșește cel mai des. Rețeta în patru pași: se calculează $\det A$ și se verifică $\det A\ne 0$; se scrie ${}^{t}A$; se înlocuiește fiecare element cu complementul lui algebric, obținând $A^{\ast }$; se împarte la $\det A$. Verificarea obligatorie: $A\cdot A^{-1}=I_n$.

Exemplu: Pentru $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 4\\ 5& 6& 0\end{array}\right)$ avem $\det A=1$ și $A^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}-24& 18& 5\\ 20& -15& -4\\ -5& 4& 1\end{array}\right)$, deci $A^{-1}=A^{\ast }$, iar $A\cdot A^{-1}=I_3$ ✓.