Ordinul unei clase de resturi: formulă

Formulă din tema Grupuri, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Formula scutește de încercarea tuturor multiplilor: se calculează c.m.m.d.c. dintre reprezentant și modul și se împarte. Convenția pentru clasa nulă este $(0,n)=n$, deci $\mathrm{ord}(\hat{0})=1$. Rezultatul e mereu un divizor al lui $n$, ceea ce confirmă Consecința 1 a teoremei lui Lagrange și spune în plus care divizor. Generatorii lui $({\mathbb{Z}}_n,+)$ sunt exact clasele $\hat{a}$ cu $(a,n)=1$, adică cele de ordin $n$.

Exemplu: $\mathrm{ord}\left(\widehat{12}\right)$ în $({\mathbb{Z}}_{18},+)$: $(12,18)=6$, deci ordinul este $\frac{18}{6}=3$ ✓, fiindcă $\widehat{12}+\widehat{12}+\widehat{12}=\widehat{36}=\hat{0}$.