Transpusa unei matrice: formulă

Formulă din tema Matrice și operații cu matrice, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Transpusa ${}^{t}A$ se obține schimbând liniile cu coloanele: elementul de pe linia $i$ și coloana $j$ al lui ${}^{t}A$ este $a_{ji}$. Dacă $A\in {\mathcal{M}}_{m,n}$, atunci ${}^{t}A\in {\mathcal{M}}_{n,m}$, deci tipul se răstoarnă. Transpunerea de două ori readuce matricea inițială, iar peste adunare și peste înmulțirea cu un scalar trece nestingherit: ${}^t(\alpha A)=\alpha {}^{t}A$. O matrice pătratică cu ${}^{t}A=A$ se numește simetrică. Notația românească este ${}^{t}A$ (în manualele străine apare $A^T$).

Exemplu: Pentru $B=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{R})$ avem ${}^{t}B=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 5\\ 3& 6\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{3,2}(\mathbb{R})$. • $\left(\begin{array}{cc}1& 7\\ 7& 2\end{array}\right)$ este simetrică, pentru că elementele așezate simetric față de diagonala principală coincid.