Relația lui Stewart: formulă

Formulă din tema Relații metrice în triunghiul oarecare, clasa a IX-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$D$ este un punct oarecare de pe latura $BC$, iar $AD$ este ceviana dusă din $A$; $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$. Relația dă lungimea oricărei ceviene când știi laturile și cele două bucăți în care este împărțită latura $BC$. Regula de memorare: fiecare latură la pătrat merge cu segmentul depărtat de ea. Metoda din spatele ei este teorema cosinusului aplicată de două ori pentru același unghi, o dată în triunghiul mic și o dată în cel mare.

Exemplu: Pentru $a=5$, $b=4$, $c=6$, cu bisectoarea din $A$ ($BD=3$, $DC=2$): $16\cdot 3+36\cdot 2=48+72=120$, iar $5\left(A{D}^2+6\right)=120$ dă $A{D}^2=18$, deci $AD=3\sqrt{2}$.