Teorema sinusurilor: formulă

Formulă din tema Relații metrice în triunghiul oarecare, clasa a IX-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$a$, $b$, $c$ sunt laturile, $A$, $B$, $C$ unghiurile opuse lor, iar $R$ este raza cercului circumscris triunghiului. Latura și unghiul dintr-un raport sunt mereu opuse. Ca să pornești ai nevoie de o pereche completă — o latură împreună cu unghiul opus ei; dacă ai două unghiuri, afli întâi al treilea din suma de $180^{\circ }$. De aici $R=\frac{a}{2\sin A}$, fără să construiești centrul cercului, și $a=2R\sin A\le 2R$: nicio latură nu depășește diametrul. Capcană: sinusul nu distinge unghiurile suplementare ($\sin (180^{\circ }-x)=\sin x$), deci un unghi aflat cu sinusul poate avea două valori.

Exemplu: Pentru $a=10$, $A=30^{\circ }$ și $B=45^{\circ }$: $2R=\frac{10}{\sin 30^{\circ }}=\frac{10}{0,5}=20$, deci $R=10$ și $b=20\sin 45^{\circ }=10\sqrt{2}$. • În triunghiul dreptunghic ipotenuza este diametrul cercului circumscris, deci $R=\frac{\text{ipotenuza}}{2}$.