Mulțimile de soluții ale ecuațiilor elementare: formulă

Formulă din tema Trigonometrie, clasa a IX-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$\arcsin a$ este unicul număr din $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ cu sinusul $a$, $\arccos a$ este unicul număr din $[0,\pi ]$ cu cosinusul $a$, iar $\text{arctg}a$ este unicul număr din $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ cu tangenta $a$. Ecuațiile cu sinus și cosinus au soluții doar dacă $a\in [-1,1]$, pe când cea cu tangentă are soluții pentru orice $a$ real, cu o singură familie și pasul $\pi$. Formă echivalentă pentru sinus: $x=\arcsin a+2k\pi$ sau $x=\pi -\arcsin a+2k\pi$. Capcană: la argument compus (de exemplu $2x+1$) rezolvi întâi în $u=2x+1$, apoi împarți tot membrul drept la $2$ — inclusiv termenul cu $k$.

Exemplu: $\sin x=\frac{1}{2}$: $x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ sau $x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. • $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$: $x=\pm \frac{\pi }{4}+2k\pi$. • $\text{tg}x=1$: $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$.