Formule: Trigonometrie

De la cercul trigonometric la formulele de sumă, unghi dublu și ecuațiile elementare. 11 formule, clasa 9.

• Formula fundamentală a trigonometriei — clasa 9
• Identitățile cu tangenta și cotangenta — clasa 9
• Valorile de bază, în radiani — clasa 9
• Reducerea la primul cadran: π − x și π + x — clasa 9
• Reducerea la primul cadran: 2π − x și π/2 − x — clasa 9
• Sinusul sumei și al diferenței — clasa 9
• Cosinusul sumei și al diferenței — clasa 9
• Tangenta sumei și a diferenței — clasa 9
• Formulele unghiului dublu — clasa 9
• Transformarea sumelor în produse — clasa 9
• Mulțimile de soluții ale ecuațiilor elementare — clasa 9

Formula fundamentală a trigonometriei — clasa 9

${\sin }^{2}x$ înseamnă $(\sin x{)}^2$. Pe cercul trigonometric (cercul de rază $1$ cu centrul în origine), punctul asociat numărului $x$ are coordonatele $(\cos x,\sin x)$, iar formula este chiar ecuația cercului — de aceea este valabilă pentru orice număr real, nu doar pentru unghiurile ascuțite din clasa a VII-a. Formele de lucru: ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$ și ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$. Capcană: ele dau pătratul, nu valoarea — după radical rămân două variante, iar semnul îl decide cadranul. Tot de aici rezultă $-1\le \sin x\le 1$ și $-1\le \cos x\le 1$.

Exemplu: Dacă $\sin x=\frac{3}{5}$ și $x$ este în cadranul II, atunci ${\cos }^{2}x=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$, deci $\cos x=-\frac{4}{5}$ (în cadranul II cosinusul este negativ). • Ecuația $\sin x=1,2$ nu are soluții.

Identitățile cu tangenta și cotangenta — clasa 9

Tangenta există doar unde $\cos x\ne 0$, adică pentru $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, iar cotangenta doar unde $\sin x\ne 0$, adică pentru $x\ne k\pi$. Ultimele două identități se obțin împărțind formula fundamentală la ${\cos }^{2}x$, respectiv la ${\sin }^{2}x$, și îți permit să treci de la tangentă la cosinus: $|\cos x|=\frac{1}{\sqrt{1+{\text{tg}}^{2}x}}$, apoi $\sin x=\text{tg}x\cdot \cos x$. Capcană: formula dă doar valoarea absolută — semnul îl decide cadranul, niciodată calculul.

Exemplu: Dacă $\text{tg}x=\frac{3}{4}$ și $x$ este în cadranul I: $1+\frac{9}{16}=\frac{25}{16}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$, deci $\cos x=\frac{4}{5}$ și $\sin x=\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{5}=\frac{3}{5}$. • Semnele pe cadrane, pentru $\sin$, $\cos$ și $\text{tg}$ în această ordine: I $(+,+,+)$, II $(+,-,-)$, III $(-,-,+)$, IV $(-,+,-)$.

Valorile de bază, în radiani — clasa 9

Tabelul dă valorile exacte pentru unghiurile de bază, scrise în radiani: $\frac{\pi }{6}=30^{\circ }$, $\frac{\pi }{4}=45^{\circ }$, $\frac{\pi }{3}=60^{\circ }$, $\frac{\pi }{2}=90^{\circ }$ (conversia pornește de la $180^{\circ }=\pi$ rad). Truc de reconstruire: scrie pe rândul sinusului $\frac{\sqrt{0}}{2},\frac{\sqrt{1}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{4}}{2}$ și ai tot rândul gata; cosinusul ia aceleași valori, în ordine inversă. Semnul $\nexists$ arată că tangenta nu este definită în $\frac{\pi }{2}$, unde $\cos \frac{\pi }{2}=0$. Pe restul axelor: $\sin \pi =0$, $\cos \pi =-1$, $\sin \frac{3\pi }{2}=-1$, $\cos \frac{3\pi }{2}=0$.

Exemplu: $\sin \frac{\pi }{3}+\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$. • ${\text{tg}}^2\frac{\pi }{4}+\sin \frac{\pi }{2}=1+1=2$. • Lungimea arcului de rază $R$ și măsură $t$ radiani: $\ell =R\cdot t$.

Reducerea la primul cadran: π − x și π + x — clasa 9

Formulele aduc orice unghi din cadranele II și III înapoi în primul cadran, unde valorile se știu pe de rost. Explicația este geometrică: punctul lui $\pi -x$ este simetricul punctului lui $x$ față de axa $Oy$ (ordonata, adică sinusul, rămâne; abscisa, adică cosinusul, își schimbă semnul), iar punctul lui $\pi +x$ este cel diametral opus, deci ambele coordonate își schimbă semnul. Valoarea absolută nu se schimbă niciodată la reducere — se schimbă doar semnul, dictat de cadran. Consecință utilă: unghiurile suplementare au același sinus, deci într-un triunghi $\sin A=\sin (B+C)$.

Exemplu: $\sin 120^{\circ }=\sin (180^{\circ }-60^{\circ })=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, iar $\cos 120^{\circ }=-\cos 60^{\circ }=-\frac{1}{2}$. • $\sin 210^{\circ }=\sin (180^{\circ }+30^{\circ })=-\sin 30^{\circ }=-\frac{1}{2}$.

Reducerea la primul cadran: 2π − x și π/2 − x — clasa 9

La $2\pi -x$ punctul se oglindește față de axa $Ox$, deci numai sinusul își schimbă semnul — așa reduci unghiurile din cadranul IV. La $\frac{\pi }{2}-x$ nu apare niciun minus: se schimbă funcția, nu semnul, pentru că unghiurile complementare (care însumează $90^{\circ }$) schimbă între ele cateta opusă cu cea alăturată. Strategia completă, în trei pași: scazi ture întregi de $360^{\circ }$, scrii unghiul rămas ca $180^{\circ }-t$, $180^{\circ }+t$ sau $360^{\circ }-t$, apoi pui semnul dictat de cadran. Pentru tangentă perioada este $\pi$: $\text{tg}(x+k\pi )=\text{tg}x$ și $\text{tg}(\pi -x)=-\text{tg}x$.

Exemplu: $\cos 330^{\circ }=\cos (360^{\circ }-30^{\circ })=\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, iar $\sin 330^{\circ }=-\sin 30^{\circ }=-\frac{1}{2}$. • $\sin 70^{\circ }=\cos 20^{\circ }$, pentru că $70^{\circ }+20^{\circ }=90^{\circ }$.

Sinusul sumei și al diferenței — clasa 9

$a$ și $b$ sunt două numere reale oarecare. Sinusul „amestecă” funcțiile: în fiecare produs apar și sinus, și cosinus, iar semnul din membrul drept este același cu cel din paranteză. Capcană: $\sin (a+b)$ NU este $\sin a+\sin b$. Formula se citește și invers — când vezi structura $\sin a\cos b+\cos a\sin b$, scrie imediat $\sin (a+b)$; această citire inversă rezolvă jumătate din exercițiile de examen.

Exemplu: $\sin 75^{\circ }=\sin (45^{\circ }+30^{\circ })=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$. • $\sin 15^{\circ }=\sin (45^{\circ }-30^{\circ })=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.

Cosinusul sumei și al diferenței — clasa 9

Cosinusul „păstrează perechile” — cosinus cu cosinus, sinus cu sinus — dar schimbă semnul: la $\cos (a+b)$ apare minus, la $\cos (a-b)$ apare plus. Formula-mamă a întregii familii este $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$, demonstrată cu ajutorul coardei din cercul trigonometric și al teoremei lui Pitagora; celelalte trei se obțin din ea. Capcană: semnul se inversează față de cel din paranteză — exact pe dos față de sinus.

Exemplu: $\cos 75^{\circ }=\cos (45^{\circ }+30^{\circ })=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$. • $\cos 15^{\circ }=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.

Tangenta sumei și a diferenței — clasa 9

Se obține împărțind formula sinusului la cea a cosinusului. Semnul de la numărător este cel din paranteză, iar cel de la numitor este opus lui. Condițiile de existență: $\cos a\ne 0$, $\cos b\ne 0$ și $\cos (a\pm b)\ne 0$. Capcană: nu confunda cele două semne — dacă în paranteză ai plus, la numitor ai minus.

Exemplu: $\text{tg}75^{\circ }=\text{tg}(45^{\circ }+30^{\circ })=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}=2+\sqrt{3}$. • $\text{tg}15^{\circ }=\text{tg}(45^{\circ }-30^{\circ })=2-\sqrt{3}$.

Formulele unghiului dublu — clasa 9

Se obțin din formulele de sumă, punând $b=a$. Alegi forma potrivită a lui $\cos 2x$ după ce ți se dă: dacă știi $\cos x$ folosești $2{\cos }^{2}x-1$, dacă știi $\sin x$ folosești $1-2{\sin }^{2}x$. Citite invers, ele coboară puterea și dublează argumentul (liniarizare): ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$ și ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$. Capcană: $\sin 2x$ nu este $2\sin x$.

Exemplu: Dacă $\sin x=\frac{3}{5}$ și $\cos x=\frac{4}{5}$: $\sin 2x=2\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{4}{5}=\frac{24}{25}$, iar $\cos 2x=1-2\cdot \frac{9}{25}=\frac{7}{25}$. • $2\sin 15^{\circ }\cos 15^{\circ }=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$.

Transformarea sumelor în produse — clasa 9

$\frac{p+q}{2}$ este semisuma, iar $\frac{p-q}{2}$ semidiferența — ele apar în toate cele patru formule ale familiei: $\sin p-\sin q=2\sin \frac{p-q}{2}\cos \frac{p+q}{2}$, $\cos p+\cos q=2\cos \frac{p+q}{2}\cos \frac{p-q}{2}$ și $\cos p-\cos q=-2\sin \frac{p+q}{2}\sin \frac{p-q}{2}$ (minusul de aici este cel mai des uitat semn din toată trigonometria). La ce folosesc: o sumă nu se poate descompune în factori, dar un produs se anulează ușor — de aceea ecuațiile de tipul „sumă $=0$” se transformă întâi în produs.

Exemplu: $\sin 75^{\circ }+\sin 15^{\circ }=2\sin 45^{\circ }\cos 30^{\circ }=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$. • $\cos x+\cos 3x=2\cos 2x\cos x$, deci ecuația $\cos x+\cos 3x=0$ devine $\cos 2x=0$ sau $\cos x=0$.

Mulțimile de soluții ale ecuațiilor elementare — clasa 9

$\arcsin a$ este unicul număr din $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ cu sinusul $a$, $\arccos a$ este unicul număr din $[0,\pi ]$ cu cosinusul $a$, iar $\text{arctg}a$ este unicul număr din $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ cu tangenta $a$. Ecuațiile cu sinus și cosinus au soluții doar dacă $a\in [-1,1]$, pe când cea cu tangentă are soluții pentru orice $a$ real, cu o singură familie și pasul $\pi$. Formă echivalentă pentru sinus: $x=\arcsin a+2k\pi$ sau $x=\pi -\arcsin a+2k\pi$. Capcană: la argument compus (de exemplu $2x+1$) rezolvi întâi în $u=2x+1$, apoi împarți tot membrul drept la $2$ — inclusiv termenul cu $k$.

Exemplu: $\sin x=\frac{1}{2}$: $x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ sau $x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. • $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$: $x=\pm \frac{\pi }{4}+2k\pi$. • $\text{tg}x=1$: $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$.