Transformarea sumelor în produse: formulă

Formulă din tema Trigonometrie, clasa a IX-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$\frac{p+q}{2}$ este semisuma, iar $\frac{p-q}{2}$ semidiferența — ele apar în toate cele patru formule ale familiei: $\sin p-\sin q=2\sin \frac{p-q}{2}\cos \frac{p+q}{2}$, $\cos p+\cos q=2\cos \frac{p+q}{2}\cos \frac{p-q}{2}$ și $\cos p-\cos q=-2\sin \frac{p+q}{2}\sin \frac{p-q}{2}$ (minusul de aici este cel mai des uitat semn din toată trigonometria). La ce folosesc: o sumă nu se poate descompune în factori, dar un produs se anulează ușor — de aceea ecuațiile de tipul „sumă $=0$” se transformă întâi în produs.

Exemplu: $\sin 75^{\circ }+\sin 15^{\circ }=2\sin 45^{\circ }\cos 30^{\circ }=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$. • $\cos x+\cos 3x=2\cos 2x\cos x$, deci ecuația $\cos x+\cos 3x=0$ devine $\cos 2x=0$ sau $\cos x=0$.