Se consideră $$A = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$$ și $$B = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ -6 & 7 \end{pmatrix}$$. Matricea $$A - B$$ este:

$$\begin{pmatrix} 4 & -9 \\ 8 & -7 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 7 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} -4 & 9 \\ -8 & 7 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 4 & -9 \\ -4 & -7 \end{pmatrix}$$

Soluția ecuației $$X + A = B$$, unde $$A = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}$$ și $$B = \begin{pmatrix} -4 & 0 \\ 3 & -6 \end{pmatrix}$$, este:

$$\begin{pmatrix} -6 & 3 \\ -2 & -7 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 6 & -3 \\ 2 & 7 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} -2 & -3 \\ 8 & -5 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} -6 & -3 \\ -2 & -5 \end{pmatrix}$$

Cum se adună două matrice?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Egalitatea, adunarea și scăderea matricelor

Aduni numerele aflate pe aceleași poziții: fiecare căsuță a sumei ține suma celor două numere din căsuțele corespunzătoare. Operația are sens numai dacă matricele au același tip; altfel ea nici nu există. Scăderea merge la fel, cu semnul schimbat. Pentru $(1324)$ și $(5 - 1 02)$ suma este $(6226)$ .

Două matrice sunt egale dacă au același format și elemente egale pe fiecare poziție. Cele două condiții se verifică în această ordine: dacă formatele diferă, discuția se încheie acolo. Consecința folosită în aproape toate problemele: o egalitate între matrice de tipul $m \times n$ ascunde $m \cdot n$ egalități între numere, deci este o unealtă de determinare a parametrilor.

Suma și diferența se calculează element cu element: $(A \pm B)_{ij} = a_{ij} \pm b_{ij}$ . Operațiile există numai pentru matrice de același tip — $(12) + (12)$ nu este o operație greșită, ci una inexistentă. Fiecare căsuță se calculează independent, iar rezultatul păstrează formatul termenilor.

Adunarea are patru proprietăți: este comutativă și asociativă, are elementul neutru $O_{m, n}$ (atenție la format: pentru o matrice $2 \times 3$ neutrul este $O_{2, 3}$ , nu $O_{2}$ ) și, pentru fiecare $A$ , opusa $- A = (- a_{ij})$ , cu $A + (- A) = O_{m, n}$ . De aici scăderea devine $A - B = A + (- B)$ și regula de simplificare: din $A + B = A + C$ rezultă $B = C$ . Scăderea nu este comutativă: $B - A = - (A - B)$ .

Ecuația $X + A = B$ are soluția unică $X = B - A$ , verificată prin înlocuire. Transpusa se distribuie: $^{t} (A + B) =^{t} A +^{t} B$ .

De reținut

se adună element cu element, pe aceleași poziții
operația cere matrice de același tip
$X + A = B$ are soluția $X = B - A$

Greșeala tipică

Se adună matrice de tipuri diferite, de pildă o matrice linie cu una coloană. Nu este o adunare greșită, ci una care nu există; verificarea tipurilor se face înaintea oricărui calcul.

Exerciții din această mini-lecție

Se consideră $A = (32 - 5 0)$ și $B = (- 1 - 6 47)$ . Matricea $A - B$ este:
- a) $(2 - 4 - 1 7)$
- b) $(- 4 - 8 97)$
- c) $(48 - 9 - 7)$
- d) $(4 - 4 - 9 - 7)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(48 - 9 - 7)$

Scădem element cu element, cu paranteza scrisă explicit: $3 - (- 1) = 4$ , $- 5 - 4 = - 9$ , $2 - (- 6) = 8$ , $0 - 7 = - 7$ . Varianta a) este $A + B$ , varianta b) este $B - A = - (A - B)$ , iar varianta d) conține greșeala clasică $2 - 6$ în loc de $2 - (- 6)$ .
Fie $A \in M_{3, 5} (R)$ și $B \in M_{5, 3} (R)$ . Care dintre următoarele operații are sens?
- a) $A + B$
- b) $A - B$
- c) $A +^{t} A$
- d) $^{t} A + B$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $^{t} A + B$

Adunarea cere același format. Cum $A$ este de tip $3 \times 5$ , iar $B$ de tip $5 \times 3$ , primele două operații nu există. La fel $A +^{t} A$ , pentru că $^{t} A$ este de tip $5 \times 3$ . În schimb $^{t} A$ și $B$ sunt amândouă din $M_{5, 3} (R)$ , deci suma lor există.
Soluția ecuației $X + A = B$ , unde $A = (25 - 3 1)$ și $B = (- 4 3 0 - 6)$ , este:
- a) $(- 6 - 2 3 - 7)$
- b) $(62 - 3 7)$
- c) $(- 2 8 - 3 - 5)$
- d) $(- 6 - 2 - 3 - 5)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(- 6 - 2 3 - 7)$

Adunăm $- A$ în ambii membri și obținem $X = B - A$ : $- 4 - 2 = - 6$ , $0 - (- 3) = 3$ , $3 - 5 = - 2$ , $- 6 - 1 = - 7$ . Varianta b) este $A - B$ (ordinea inversată), iar varianta c) este $A + B$ . Verificare: $X + A = B$ .

Întrebări conexe

Ce condiție trebuie îndeplinită ca să pot aduna două matrice?

Să aibă exact același număr de linii și același număr de coloane. Dacă tipurile diferă, răspunsul corect nu este un rezultat greșit, ci observația că operația nu există. Verifică tipurile înainte de a scrie primul număr.

Câte egalități între numere ascunde o egalitate de matrice?

Atâtea câte elemente are matricea, adică $m \cdot n$ . O egalitate între două matrice de tipul $2 \times 3$ înseamnă șase egalități între numere, toate îndeplinite deodată. De aceea egalitatea de matrice este o unealtă bună pentru aflarea parametrilor.

Ce format are matricea nulă neutră pentru o matrice $2 \times 3$ ?

Tot $2 \times 3$ . Elementul neutru la adunare trebuie să aibă același tip cu matricea, deci nu există o singură matrice nulă, ci câte una pentru fiecare tip. Notația o arată prin cei doi indici din simbolul folosit.

Ce proprietăți are adunarea matricelor?

Este comutativă și asociativă, are element neutru matricea nulă de același tip și, pentru fiecare matrice, o opusă obținută schimbând semnele tuturor elementelor. De aici rezultă și regula de simplificare: dintr-o egalitate cu același termen adunat în ambele părți poți renunța la el.

Cum aflu parametrii dintr-o egalitate de matrice?

Egalezi elementele de pe aceleași poziții și obții un sistem de ecuații cu numere. Rezolvi sistemul și verifici toate pozițiile, nu doar pe cele folosite: dacă o poziție nu se potrivește, egalitatea nu are loc pentru nicio valoare a parametrilor.

Cum aflu cu matrice cât s-au schimbat vânzările de la o lună la alta?

Scazi matricea lunii vechi din cea a lunii noi, în ordinea aceasta. Fiecare poziție a rezultatului arată cât s-a schimbat mărimea de acolo, iar numerele negative marchează scăderi. Scăzând invers, toate semnele se răstoarnă, deci concluzia iese exact contrară.

Oamenii mai întreabă și: adunarea matricelor · cum adun două matrice · scăderea matricelor · suma a două matrice