Pentru mobilul cu legea $$x(t) = 2t^{3} - 9t^{2} + 12t$$, la momentul $$t = 3$$:

mobilul accelerează, pentru că $$v$$ și $$a$$ au același semn

mobilul frânează, pentru că $$v$$ și $$a$$ au semne contrare

La ce folosesc derivatele în fizică?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Derivatele în fizică și în alte domenii

Derivata spune cu ce ritm se schimbă o mărime atunci când alta variază, iar unitatea rezultatului iese din împărțirea celor două unități. În mișcarea pe o dreaptă, dacă $x (t)$ dă poziția, atunci $x^{'} (t)$ este viteza, iar $x^{''} (t)$ este accelerația. Sensul de mers se citește din semnul vitezei, iar acolo unde ea se anulează mobilul stă pe loc o clipă, uneori ca să pornească înapoi.

Derivata este viteza de variație a unei mărimi față de alta, iar unitatea ei se citește imediat: unitatea mărimii derivate împărțită la unitatea variabilei. Metri pe secundă, litri pe kilometru, lei pe bucată — controlul unităților este cea mai ieftină verificare a unui model aplicat.

În mișcarea pe o dreaptă, dacă $x (t)$ este poziția, atunci $v (t) = x^{'} (t)$ este viteza și $a (t) = x^{''} (t)$ este accelerația. Semnul lui $v$ dă sensul, iar momentele cu $v (t) = 0$ sunt cele în care mobilul se oprește, eventual ca să se întoarcă. Mobilul accelerează când $v$ și $a$ au același semn și frânează când au semne contrare.

Deplasarea este diferența $x (t_{2}) - x (t_{1})$ și poate fi negativă sau nulă; distanța parcursă se obține tăind intervalul în punctele unde $v$ se anulează și adunând modulele variațiilor. Teorema lui Lagrange leagă cele două lumi: există un moment în care viteza instantanee egalează viteza medie a parcursului — este chiar principiul radarului pe tronson.

La vitezele de variație corelate se scrie întâi relația dintre mărimi, se derivează în raport cu timpul (funcții compuse), și abia la final se înlocuiesc valorile momentului cerut. Inversarea acestor pași dă zero.

Aceeași metodă rezolvă consumul minim pe kilometru — $c (v) = \frac{Q ( v )}{v}$ , exact structura costului mediu —, concentrațiile din farmacologie și curbele de populație, unde punctul de inflexiune este momentul de ritm maxim, nu de valoare maximă.

De reținut

$v (t) = x^{'} (t)$ și $a (t) = x^{''} (t)$
mobilul accelerează când $v$ și $a$ au același semn
deplasarea poate fi negativă, distanța parcursă nu

Greșeala tipică

Se înlocuiesc valorile numerice înainte de a deriva, la problemele cu viteze corelate. Mărimile trebuie derivate ca funcții de timp, iar cifrele intră abia la final.

Exerciții din această mini-lecție

Un mobil se deplasează pe o dreaptă după legea $x (t) = 2 t^{3} - 9 t^{2} + 12 t$ metri, cu $t \in [0, 3]$ secunde. Distanța parcursă este:
- a) $9$ m
- b) $5$ m
- c) $13$ m
- d) $11$ m
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $11$ m

$v (t) = 6 t^{2} - 18 t + 12 = 6 (t - 1) (t - 2)$ se anulează în $t = 1$ și $t = 2$ , deci intervalul se taie acolo. Valorile sunt $x (0) = 0$ , $x (1) = 5$ , $x (2) = 4$ , $x (3) = 9$ , iar distanța este $∣ 5 - 0 ∣ + ∣ 4 - 5 ∣ + ∣ 9 - 4 ∣ = 11$ m. Deplasarea, adică $x (3) - x (0) = 9$ m, este alt număr: mobilul a mers înainte, s-a întors un metru, apoi a pornit din nou.
Pentru mobilul cu legea $x (t) = 2 t^{3} - 9 t^{2} + 12 t$ , la momentul $t = 3$ :
- a) mobilul accelerează, pentru că $v$ și $a$ au același semn
- b) mobilul frânează, pentru că $v$ și $a$ au semne contrare
- c) mobilul stă pe loc
- d) mobilul își schimbă sensul
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) mobilul accelerează, pentru că $v$ și $a$ au același semn

$v (3) = 6 \cdot 2 \cdot 1 = 12$ m/s, iar $a (t) = x^{''} (t) = 12 t - 18$ , deci $a (3) = 18$ m/s². Ambele sunt pozitive, deci mărimea vitezei crește: mobilul accelerează, mergând în sensul pozitiv. Schimbarea de sens ar cere anularea vitezei, iar aceasta se întâmplă doar în $t = 1$ și $t = 2$ .
Raza unui balon sferic crește cu $2$ cm pe secundă. Viteza de creștere a volumului $V = \frac{4 π r ^{3}}{3}$ , în momentul în care raza este de $5$ cm, este:
- a) $100 π$ cm³/s
- b) $200 π$ cm³/s
- c) $40 π$ cm³/s
- d) $50 π$ cm³/s
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $200 π$ cm³/s

Se derivează relația în raport cu timpul, tratând raza ca funcție de $t$ : $V^{'} (t) = 4 π r (t)^{2} r^{'} (t)$ . Abia acum se înlocuiesc valorile momentului: $r = 5$ și $r^{'} = 2$ , deci $V^{'} = 4 π \cdot 25 \cdot 2 = 200 π$ cm³/s. Dacă ai fi înlocuit $r = 5$ înainte de derivare, ai fi derivat o constantă și ai fi obținut zero.

Întrebări conexe

Ce unitate de măsură are o derivată?

Se împarte unitatea mărimii la cea a variabilei, de unde metri pe secundă la viteză, litri pe kilometru la consum și lei pe bucată la costul marginal. Verificarea unităților este cel mai ieftin control al unui model aplicat.

Cum aflu momentele în care mobilul se oprește?

Rezolvi ecuația $v (t) = 0$ , adică $x^{'} (t) = 0$ . Soluțiile sunt clipele în care viteza se anulează; dacă semnul ei se schimbă acolo, mobilul chiar își inversează sensul de mers. Altfel doar încetinește până la oprire și repornește în același sens.

Când frânează un mobil, după semnele vitezei și accelerației?

Când cele două au semne contrare. Dacă au același semn, mobilul accelerează. Regula ține și pentru mișcarea în sens negativ, unde o accelerație negativă înseamnă, de fapt, mărirea vitezei în modul.

Cum se calculează distanța parcursă când viteza își schimbă semnul?

Rupi intervalul la fiecare moment cu viteză nulă, calculezi cât s-a schimbat poziția pe fiecare bucată și aduni modulele acestor variații. Deplasarea, în schimb, este simpla diferență între poziția finală și cea inițială, deci poate ieși și nulă.

În ce ordine se lucrează la problemele cu viteze de variație corelate?

Scrii mai întâi relația dintre mărimi, o derivezi în raport cu timpul folosind regula compunerii, și abia la sfârșit înlocuiești valorile din momentul cerut. Inversarea acestor pași duce la un rezultat nul.

Cum aflu viteza medie pe un interval de timp?

Împarți variația poziției la durata parcursului: $\frac{x ( t _{2} ) - x ( t _{1} )}{t _{2} - t _{1}}$ . Teorema creșterilor finite adaugă ceva important — undeva înăuntru a existat un moment în care vitezometrul arăta exact acest număr. Distanța parcursă poate fi însă mai mare decât variația poziției.

Oamenii mai întreabă și: derivatele în fizică · viteza ca derivată · accelerația ca derivată a doua · viteză de variație · aplicații ale derivatelor