Fie $$F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$, $$F(x) = \displaystyle\int_0^x \left(t^{2}-9\right)dt$$. Atunci $$F$$ este:

strict descrescătoare pe $$[-3, 3]$$

strict crescătoare pe $$\mathbb{R}$$

strict descrescătoare pe $$[0, +\infty)$$

Aceeași funcție $$F(x) = \displaystyle\int_0^x \left(t^{2}-9\right)dt$$ are:

maxim local în $$x = -3$$ și minim local în $$x = 3$$

un singur punct de extrem, în $$x = 0$$

minim local în $$x = -3$$ și maxim local în $$x = 3$$

Cum derivez o integrală cu capăt variabil?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Aplicații ale funcției integrale

Înlocuiești litera de sub integrală cu expresia din capătul de sus și înmulțești cu derivata acelei expresii: $(\int_{a}^{u (x)} f (t) d t)^{'} = f (u (x)) u^{'} (x)$ . Când se mișcă și capătul de jos, contribuția lui se scade. Astfel, derivata funcției care duce $x$ în $\int_{0}^{x^{2}} e^{t} d t$ este $2 x e^{x^{2}}$ . Integrandul trebuie să fie continuu.

Pentru $f$ continuă, funcția integrală $F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ are derivata $F^{'} = f$ , deci studiul ei se face fără a calcula integrala. Rețeta are trei pași: verifici continuitatea lui $f$ , stabilești semnul lui $f$ , întocmești tabelul de variație al lui $F$ .

Monotonia se citește din semnul integrandului: acolo unde $f > 0$ , funcția $F$ crește; acolo unde $f < 0$ , $F$ scade. Un zero al lui $f$ dă punct de extrem al lui $F$ numai dacă $f$ își schimbă semnul acolo: trecerea de la plus la minus dă maxim, cea de la minus la plus dă minim. Atenție la capcană: „ $f$ strict crescătoare” nu înseamnă „ $F$ crescătoare” — monotonia lui $f$ dă convexitatea lui $F$ .

La capete variabile, $(\int_{u (x)}^{v (x)} f (t) d t)^{'} = f (v (x)) v^{'} (x) - f (u (x)) u^{'} (x)$ , capătul de jos intrând cu minus.

Limitele de tipul $x \to 0 lim \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f (t) d t$ sunt cazuri $\frac{0}{0}$ și dau $f (0)$ : numărătorul tinde la $0$ pentru că $F$ este continuă și $F (0) = 0$ . Nedeterminarea se constată în scris înainte de a aplica regulile lui L'Hôpital — baremul punctează separat această verificare. Monotonia se scrie pe fiecare interval în parte, niciodată pe o reuniune.

De reținut

$F^{'} = f$ pentru $f$ continuă
capete mobile: $f (v) v^{'} - f (u) u^{'}$
$x \to 0 lim \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f (t) d t = f (0)$

Greșeala tipică

Se calculează întâi integrala și abia apoi se derivează. Când primitiva nu se poate scrie cu funcțiile din tabel, drumul se blochează, deși derivata se citea direct din regula capătului variabil.

Exerciții din această mini-lecție

Fie $F : R \to R$ , $F (x) = \int_{0}^{x} (t^{2} - 9) d t$ . Atunci $F$ este:
- a) strict descrescătoare pe $[- 3, 3]$
- b) strict crescătoare pe $R$
- c) strict descrescătoare pe $[0, + \infty)$
- d) constantă pe $[- 3, 3]$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) strict descrescătoare pe $[- 3, 3]$

Avem $F^{'} (x) = x^{2} - 9$ , negativă pe $(- 3, 3)$ , deci $F$ este strict descrescătoare pe $[- 3, 3]$ și strict crescătoare pe $(- \infty, - 3]$ și pe $[3, + \infty)$ . Monotonia lui $F$ vine din semnul lui $f$ , nu din monotonia lui $f$ .
Aceeași funcție $F (x) = \int_{0}^{x} (t^{2} - 9) d t$ are:
- a) un singur punct de extrem, în $x = 0$
- b) minim local în $x = - 3$ și maxim local în $x = 3$
- c) maxim local în $x = - 3$ și minim local în $x = 3$
- d) niciun punct de extrem
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) maxim local în $x = - 3$ și minim local în $x = 3$

Integrandul se anulează în $- 3$ și în $3$ , schimbând semnul de fiecare dată: din plus în minus la $- 3$ (deci maxim) și din minus în plus la $3$ (deci minim). În $x = 0$ derivata este $- 9 \neq = 0$ , deci acolo nu poate fi extrem.
$x \to 0 lim \frac{1}{x} \int_{0}^{x} e^{t^{2}} d t$ este egală cu:
- a) $+ \infty$
- b) $0$
- c) $e$
- d) $1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $1$

Funcția $F (x) = \int_{0}^{x} e^{t^{2}} d t$ este continuă, cu $F (0) = 0$ , deci limita este un caz $\frac{0}{0}$ ; prin regulile lui L'Hôpital, ea devine $x \to 0 lim e^{x^{2}} = 1$ . Aceeași valoare se obține din definiția derivatei: limita este $F^{'} (0) = f (0)$ .

Întrebări conexe

Ce semn are contribuția capătului de jos la derivare?

Minus. Formula completă scade valoarea integrandului în capătul de jos, înmulțită cu derivata acestuia, din termenul corespunzător capătului de sus. Semnul vine din convenția care schimbă semnul integralei la inversarea limitelor, deci nu este o regulă memorată separat.

Ce spune monotonia lui f despre convexitatea funcției integrale?

Că acolo unde integrandul crește, funcția integrală devine convexă, fiindcă a doua ei derivată este chiar derivata integrandului. Aici stă capcana obișnuită: din creșterea integrandului nu rezultă creșterea integralei, ci schimbarea formei graficului ei.

Cum arăt că numărătorul unei limite cu integrală tinde la zero?

Prin continuitatea funcției integrale și prin valoarea ei în punctul de pornire, care este zero. De aici se constată, în scris, că raportul este un caz de nedeterminare; baremul punctează separat această verificare, iar abia după ea se derivează.

Când dă un zero al integrandului punct de extrem?

Numai atunci când integrandul își schimbă semnul acolo: din plus în minus iese un maxim, din minus în plus un minim. Un zerou fără schimbare de semn nu produce extrem, deși derivata funcției integrale se anulează în acel punct.

Cât este derivata funcției care duce x în integrala de la 0 la x pătrat din e la t?

Este $2 x e^{x^{2}}$ : înlocuiești litera de sub integrală cu $x^{2}$ și înmulțești cu derivata capătului, adică cu $2 x$ . Integrala nu se calculează, deși aici s-ar putea; regula lanțului scurtează drumul și merge și când primitiva nu se poate scrie.

Oamenii mai întreabă și: derivata unei integrale cu capăt variabil · monotonia funcției integrale · extremele unei integrale cu capete mobile · limite cu integrale · aplicații ale funcției integrale