În calculul lui $$\displaystyle\int_0^r\sqrt{r^2-x^2}\,dx$$ se face substituția $$x = r\sin t$$. Noile limite de integrare sunt:

$$-\dfrac{\pi}{2}$$ și $$\dfrac{\pi}{2}$$

Cum se demonstrează aria discului?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Aria discului și a elipsei

Se scrie sfertul din primul cadran ca regiune de sub graficul funcției $r^{2} - x^{2}$ , deci $S = 4 \int_{0}^{r} r^{2} - x^{2} d x$ . Substituția care scrie variabila ca produs dintre rază și sinus preschimbă radicalul într-un cosinus, iar integrala rămasă se coboară prin liniarizare. Iese $π r^{2}$ , cu numărul $π$ intrat prin arcsinus, nu prin formula de gimnaziu.

Aria discului de rază $r$ este $π r^{2}$ , dar la clasa a XII-a acest rezultat se demonstrează, nu se primește: din $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ scriem sfertul din primul cadran sub graficul funcției $r^{2} - x^{2}$ și obținem $S = 4 \int_{0}^{r} r^{2} - x^{2} d x$ . Substituția inversă $x = r sin t$ , cu $t \in [0, \frac{π}{2}]$ , transformă radicalul în $r ∣ cos t ∣ = r cos t$ — egalitatea cere alegerea intervalului, care se scrie în rezolvare — și reduce totul la $\int_{0}^{π /2} cos^{2} t d t$ . Limitele se schimbă odată cu variabila: $0$ și $\frac{π}{2}$ . Aceeași integrală se poate calcula și cu formula Leibniz–Newton, cu primitiva $F (x) = \frac{x r ^{2} - x ^{2}}{2} + \frac{r ^{2}}{2} arcsin \frac{x}{r}$ . Numărul $π$ intră prin $arcsin 1 = \frac{π}{2}$ , adică prin trigonometrie, nu prin formula de gimnaziu — altfel raționamentul ar fi circular. Interiorul elipsei cu semiaxele $a$ și $b$ are aria $π ab$ , pentru că elipsa este discul de rază $a$ turtit în raportul $\frac{b}{a}$ ; atenție dacă enunțul dă axele, nu semiaxele. Formula de buzunar $\int_{- r}^{r} r^{2} - x^{2} d x = \frac{π r ^{2}}{2}$ este aria semidiscului. Ariile mărginite de conice intră în subiectele de Bacalaureat M1 odată cu programa nouă.

De reținut

$\int_{- r}^{r} r^{2} - x^{2} d x = \frac{π r ^{2}}{2}$
aria interiorului elipsei: $π ab$
substituția: variabila scrisă cu sinus

Greșeala tipică

Se folosește formula ariei discului chiar în demonstrația ei. Rezultatul de gimnaziu se obține aici, deci nu poate fi folosit pe drum; numărul $π$ intră prin valoarea arcsinusului.

Exerciții din această mini-lecție

Calculați $\int_{- 6}^{6} 36 - x^{2} d x$ .
- a) $36 π$
- b) $9 π$
- c) $72 π$
- d) $18 π$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $18 π$

Graficul funcției $36 - x^{2}$ pe $[- 6, 6]$ este semicercul superior de rază $6$ , deci integrala este aria semidiscului: $\frac{π \cdot 36}{2} = 18 π$ . Varianta $36 π$ este aria discului întreg — confuzia cea mai frecventă a lecției; discul cere fie dublarea acestei integrale, fie integrarea diferenței celor două ramuri.
În calculul lui $\int_{0}^{r} r^{2} - x^{2} d x$ se face substituția $x = r sin t$ . Noile limite de integrare sunt:
- a) $0$ și $r$
- b) $0$ și $\frac{π}{2}$
- c) $0$ și $π$
- d) $- \frac{π}{2}$ și $\frac{π}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $0$ și $\frac{π}{2}$

Din $x = r sin t$ obținem $t = 0$ pentru $x = 0$ și $t = \frac{π}{2}$ pentru $x = r$ . La integrala definită limitele se schimbă odată cu variabila, iar revenirea la $x$ nu se mai face; dacă limitele rămân $0$ și $r$ , calculul arată corect, dar numărul este fals. Intervalul $[0, \frac{π}{2}]$ este și cel care permite scrierea $r^{2} - r^{2} sin^{2} t = r cos t$ fără modul.
O elipsă are axele de lungimi $20$ și $12$ . Aria interiorului ei este:
- a) $240 π$
- b) $120 π$
- c) $60 π$
- d) $32 π$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $60 π$

Semiaxele sunt $a = 10$ și $b = 6$ , deci aria este $π ab = 60 π$ . Varianta $240 π$ este greșeala clasică: se înmulțesc axele în loc de semiaxe, ceea ce dă un rezultat de patru ori mai mare. Verifică întotdeauna dacă enunțul dă axa sau semiaxa.

Întrebări conexe

Ce transformare duce cercul în elipsă?

Turtirea pe verticală: fiecare punct al cercului de rază $a$ își păstrează abscisa, iar ordonata se înmulțește cu raportul $\frac{b}{a}$ . Toate lungimile verticale se micșorează în același raport, deci și ariile, așa că din $π a^{2}$ rămâne $π ab$ .

Ce primitivă are radical din r pătrat minus x pătrat?

Este $\frac{x r ^{2} - x ^{2}}{2} + \frac{r ^{2}}{2} arcsin \frac{x}{r}$ , valabilă între cele două capete opuse. Cu ea, aria discului se poate obține și prin formula Leibniz-Newton, fără nicio substituție, iar corectitudinea se verifică derivând expresia.

Cât este aria unui sfert de elipsă?

Un sfert din $π ab$ , fiindcă cele două axe taie interiorul în patru bucăți care se suprapun prin simetrie. Rezultatul se folosește când calculul se face doar pe un sfert, iar la final se înmulțește cu patru.

Ce interval se alege pentru t ca să dispară modulul?

Intervalul dintre zero și un sfert de rotație, unde cosinusul rămâne pozitiv. Acolo radicalul din pătratul cosinusului este chiar cosinusul, fără bare. Alegerea se scrie în rezolvare, fiindcă de ea atârnă egalitatea folosită mai departe.

Ce arie dă formula elipsei când semiaxele sunt egale?

Aria discului. Cu $a = b = r$ produsul $π ab$ devine $π r^{2}$ , adică formula știută din gimnaziu. Potrivirea aceasta este un control bun: o formulă de arie care nu trece testul cercului este scrisă greșit.

Oamenii mai întreabă și: demonstrația ariei discului · aria interiorului elipsei · integrala din radical din r pătrat minus x pătrat · aria semidiscului · substituția cu sinus la arii