Cum calculez aria dintre două grafice?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Aria dintre două grafice

Afli întâi abscisele punctelor comune, din ecuația care egalează cele două expresii, apoi vezi din tabelul de semn al diferenței care curbă merge pe deasupra și integrezi scăderea dintre cea de sus și cea de jos: $S = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x$ . Formula nu cere funcții pozitive. Pentru $x^{2}$ și $x^{3}$ pe intervalul de la $0$ la $1$ iese $\frac{1}{12}$ .

Pentru $f, g$ continue pe $[a, b]$ , cu $g \leq f$ , aria suprafeței cuprinse între cele două grafice este $S = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x$ — integrala diferenței „de sus minus de jos”. Formula se demonstrează întâi pentru $f \geq g \geq 0$ , ca diferență de subgrafice, apoi în cazul general printr-o translație verticală cu o constantă $c$ , care dispare din calcul; se admite fără demonstrație că o translație nu schimbă aria. De aici urmează o consecință des ignorată: formula nu cere funcții pozitive. Rețeta are trei etape: se află punctele de intersecție din ecuația $f (x) = g (x)$ , se stabilește cine este deasupra cu tabelul de semn al diferenței $f - g$ , apoi se scrie integrala. Limitele de integrare sunt abscisele punctelor de intersecție, nu ordonatele lor, iar când enunțul dă intervalul, rădăcinile din interiorul lui rup calculul în mai multe integrale. Formula generală este $S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x)∣ d x$ , dar modulul nu se lasă în scriere: se desface pe bucăți, iar controlul unității cere ca fiecare integrală din sumă să iasă pozitivă. Scăderea ariilor subgraficelor are sens numai când $g \leq f$ pe tot intervalul.

De reținut

$S = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x$ , cu $g \leq f$
limitele: abscisele punctelor comune
formula nu cere funcții pozitive

Greșeala tipică

Se scrie direct diferența, fără tabelul de semn. Dacă graficele se încrucișează între capete, integrala face compensări și dă un număr mai mic decât aria; regiunea se rupe în punctele comune.

Exerciții din această mini-lecție

Aria suprafeței cuprinse între graficele funcțiilor $f (x) = 8 - x^{2}$ și $g (x) = 2 x$ este:
- a) $18$
- b) $36$
- c) $\frac{64}{3}$
- d) $72$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $36$

Din $8 - x^{2} = 2 x$ obținem $x^{2} + 2 x - 8 = 0$ , cu rădăcinile $- 4$ și $2$ ; acestea sunt limitele. Pe $(- 4, 2)$ parabola este deasupra (testul $x = 0$ dă $8 > 0$ ), deci $S = \int_{- 4}^{2} (8 - x^{2} - 2 x) d x = (8 x - \frac{x ^{3}}{3} - x^{2})_{- 4}^{2} = 12 - (- 24) = 36$ . Varianta $18$ apare când se integrează doar de la $0$ la $2$ .
La calculul ariei dintre două grafice care se taie în punctele $A (- 1, 3)$ și $B (4, 8)$ , limitele de integrare sunt:
- a) $3$ și $8$
- b) $3$ și $4$
- c) $- 1$ și $8$
- d) $- 1$ și $4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $- 1$ și $4$

Integrarea se face după $x$ , deci limitele sunt abscisele punctelor de intersecție: $- 1$ și $4$ . Ordonatele $3$ și $8$ nu intră nicăieri în calcul; ele apar doar dacă se schimbă variabila de integrare, ceea ce nu e cazul aici. Varianta b) amestecă o ordonată cu o abscisă.
Aria suprafeței cuprinse între graficele funcțiilor $f (x) = 4 x$ și $g (x) = x^{3}$ , pe intervalul $[- 2, 2]$ , este:
- a) $8$
- b) $4$
- c) $0$
- d) $16$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $8$

Din $4 x = x^{3}$ rezultă $x \in {- 2, 0, 2}$ , deci $x = 0$ este un punct de intersecție interior: ordinea se schimbă acolo. Pe $[- 2, 0]$ cubica este deasupra, pe $[0, 2]$ dreapta: $S = \int_{- 2}^{0} (x^{3} - 4 x) d x + \int_{0}^{2} (4 x - x^{3}) d x = 4 + 4 = 8$ . Varianta $0$ este exact rezultatul obținut dacă se scrie o singură integrală, pe tot intervalul — compensarea ascunde ambele bucăți.

Întrebări conexe

Ce se ia ca limite: abscisele sau ordonatele intersecțiilor?

Abscisele, fiindcă integrarea se face după prima coordonată. Ordonatele intră în joc numai dacă se schimbă rolul variabilelor și se integrează după cealaltă. Confuzia dintre ele strică toată problema, deși calculul de după poate fi impecabil.

Cât este aria dintre graficele lui x pătrat și x la a treia, de la 0 la 1?

Pe acest interval puterea a doua stă deasupra, deci se integrează diferența dintre ele: $\int_{0}^{1} (x^{2} - x^{3}) d x = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$ . Rezultatul iese pozitiv, semn că ordinea celor două a fost citită corect.

Ce se întâmplă cu modulul din formula generală, în rezolvare?

Se desface, nu se lasă scris. Se stabilește pe fiecare bucată cine este deasupra, iar barele se înlocuiesc cu diferența potrivită. O integrală lăsată cu bare nu se poate calcula direct și, la examen, nu ține loc de rezolvare.

Când se scade aria unui subgrafic din aria celuilalt?

Numai când amândouă funcțiile rămân peste axă, iar una stă tot timpul deasupra celeilalte. În rest, scăderea ariilor nu are sens, deși formula cu diferența funcțiilor rămâne valabilă, fiindcă ea nu cere pozitivitate.

Ce control arată că fiecare integrală din sumă e corectă?

Fiecare bucată trebuie să dea un număr pozitiv. O valoare negativă înseamnă că pe acea porțiune ordinea funcțiilor a fost citită invers. Controlul se face înainte de adunare, iar corectarea cere doar schimbarea locului celor două expresii.

Oamenii mai întreabă și: aria dintre două grafice · aria dintre două curbe · formula ariei dintre curbe · cine este deasupra la arie · aria dintre parabolă și dreaptă