Cum calculez aria de sub un grafic?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Aria subgraficului

Pentru o funcție continuă și pozitivă pe $[a, b]$ , aria regiunii dintre grafic și axă este $\int_{a}^{b} f (x) d x$ . Dreptele verticale din enunț dau capetele, iar axa dă marginea de jos. Dacă funcția stă sub axă, aria este integrala luată cu semn schimbat, iar dacă își schimbă semnul, se integrează modulul. Semnul se cercetează înainte de a scrie integrala.

Subgraficul unei funcții continue și pozitive $f : [a, b] \to R$ este mulțimea $Γ_{f} = {(x, y) ∣ a \leq x \leq b, 0 \leq y \leq f (x)}$ , iar aria lui este $S (Γ_{f}) = \int_{a}^{b} f (x) d x$ . Simbolul $Γ_{f}$ rămâne rezervat cazului $f \geq 0$ ; când funcția coboară sub axă, regiunea se descrie în cuvinte: „regiunea mărginită de graficul lui $f$ , de axa $O x$ și de dreptele $x = a$ , $x = b$ ”. Dreptele verticale din enunț dau limitele de integrare, axa $O x$ este marginea de jos, iar aditivitatea în raport cu intervalul spune că ariile bucăților se adună. Dacă $f \leq 0$ pe tot intervalul, aria este $- \int_{a}^{b} f (x) d x$ , pentru că graficul lui $- f$ este simetricul graficului lui $f$ față de axa $O x$ . Când $f$ își schimbă semnul, integrala face un bilanț cu semn și poate ieși chiar zero, deși regiunea are arie nenulă: formula corectă este atunci $S = \int_{a}^{b} ∣ f (x)∣ d x$ , iar semnul se verifică înainte de a scrie integrala. Cel mai bun control al oricărui rezultat este că metoda reproduce formulele de gimnaziu pentru dreptunghi, triunghi și trapez; iar o arie negativă înseamnă întotdeauna un semn pierdut sau limitele inversate.

De reținut

$S = \int_{a}^{b} f (x) d x$ , pentru $f \geq 0$
$f \leq 0$ : $S = - \int_{a}^{b} f (x) d x$
semn schimbat: $S = \int_{a}^{b} ∣ f (x)∣ d x$

Greșeala tipică

Se scrie aria ca integrală fără să se cerceteze semnul funcției. Când graficul trece dintr-o parte în alta a axei, integrala face un bilanț cu semn, iar numărul obținut poate fi chiar zero pentru o regiune cu arie nenulă.

Exerciții din această mini-lecție

Aria subgraficului funcției $f : [0, 2] \to R$ , $f (x) = 3 x^{2} + 1$ , este:
- a) $10$
- b) $8$
- c) $9$
- d) $14$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $10$

Funcția este continuă și pozitivă pe $[0, 2]$ , deci $S (Γ_{f}) = \int_{0}^{2} (3 x^{2} + 1) d x = (x^{3} + x)_{0}^{2} = 8 + 2 = 10$ . Varianta $8$ pierde termenul liber, iar $14$ apare din primitiva greșită $x^{3} + x^{2}$ . Control: pe $[0, 2]$ funcția ia valori între $1$ și $13$ , deci aria este între $2$ și $26$ .
Aria regiunii mărginite de graficul funcției $f (x) = x - 5$ , de axa $O x$ și de dreptele $x = 1$ , $x = 4$ este:
- a) $- 7, 5$
- b) $4, 5$
- c) $7, 5$
- d) $12$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $7, 5$

Pe $[1, 4]$ avem $f \leq 0$ , deci aria este opusul integralei: $- \int_{1}^{4} (x - 5) d x = - (\frac{x ^{2}}{2} - 5 x)_{1}^{4} = - (- 12 + 4, 5) = 7, 5$ . Varianta $- 7, 5$ este integrala însăși — o arie nu poate fi negativă; dacă îți iese negativă, ai uitat semnul minus sau ai inversat limitele.
Aria regiunii mărginite de graficul funcției $f (x) = x - 3$ , de axa $O x$ și de dreptele $x = 0$ , $x = 5$ este:
- a) $- 2, 5$
- b) $6, 5$
- c) $4, 5$
- d) $2, 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $6, 5$

Funcția își schimbă semnul în $x = 3$ , deci aria nu este integrala, ci $\int_{0}^{3} (3 - x) d x + \int_{3}^{5} (x - 3) d x = 4, 5 + 2 = 6, 5$ . Varianta $- 2, 5$ este chiar $\int_{0}^{5} (x - 3) d x$ , adică bilanțul cu semn, iar $2, 5$ este modulul lui; $4, 5$ oprește calculul la prima bucată.

Întrebări conexe

Ce simbol se folosește pentru subgrafic și când nu are voie?

Notația cu litera grecească mare gama și indicele funcției rămâne rezervată cazului în care graficul stă peste axă. Când el coboară, regiunea nu mai este un subgrafic și se descrie în cuvinte: mărginită de grafic, de axă și de cele două drepte verticale.

Cum se descrie regiunea când graficul coboară sub axă?

Prin enumerarea marginilor ei: graficul funcției, axa orizontală și dreptele verticale duse prin capete. Descrierea în cuvinte ia locul notației rezervate funcțiilor pozitive și lămurește ce anume se măsoară, mai ales când regiunea se rupe în bucăți.

Ce spune aditivitatea despre ariile bucăților?

Că aria întregii regiuni este suma ariilor porțiunilor în care ai tăiat-o. De aceea, când funcția își schimbă semnul, fiecare bucată se calculează separat și se adună, luată cu semnul care o face să iasă pozitivă.

Reproduce formula ariei rezultatele din gimnaziu?

Da, iar acesta este controlul cel mai la îndemână. Pentru o funcție constantă iese aria unui dreptunghi, iar pentru una de gradul întâi aria unui trapez dreptunghic. Dacă formula nu redă aceste valori cunoscute, undeva s-a strecurat o greșeală.

De ce este aria lui minus f egală cu opusul integralei?

Fiindcă graficul funcției cu semn schimbat este oglinda celuilalt față de axă, iar oglindirea nu schimbă aria. Integrala, în schimb, își schimbă semnul, deci pentru o funcție care stă sub axă aria se obține punând un minus în față.

Oamenii mai întreabă și: aria de sub grafic · formula ariei subgraficului · aria dintre grafic și axa Ox · aria când funcția e negativă · cum aflu limitele de integrare la arie