Scăzând prima linie din celelalte două, determinantul $$\Delta$$ al triunghiului $$ABC$$ devine:

$$(x_B-x_A)(y_B-y_A) - (x_C-x_A)(y_C-y_A)$$

Cum calculez aria unui triunghi din coordonate?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Aria triunghiului cu determinant

Pui coordonatele celor trei vârfuri pe liniile unui determinant de ordinul $3$ , completezi fiecare linie cu un $1$ și iei jumătate din modulul rezultatului: $A = \frac{1}{2} ∣Δ∣$ . Pentru vârfurile $(0, 0)$ , $(4, 0)$ și $(0, 3)$ determinantul iese $12$ , deci aria este $6$ . Modulul este obligatoriu, fiindcă semnul determinantului arată doar sensul în care au fost luate vârfurile.

Aici algebra primului semestru intră în geometrie. Cu $A (x_{A}, y_{A})$ , $B (x_{B}, y_{B})$ , $C (x_{C}, y_{C})$ și determinantul $Δ$ format cu coordonatele lor și cu o coloană de $1$ , aria este $S_{A B C} = \frac{1}{2} ∣ Δ ∣$ .

Demonstrația nu cade din cer: dreapta $A B$ are coeficienții $a = y_{A} - y_{B}$ , $b = x_{B} - x_{A}$ , $c = x_{A} y_{B} - x_{B} y_{A}$ , deci $A B = a^{2} + b^{2}$ ; dezvoltând $Δ$ după linia a treia se obține exact $a x_{C} + b y_{C} + c$ , adică numărătorul distanței de la $C$ la $A B$ . Înmulțind baza cu înălțimea, radicalii se simplifică și rămâne $\frac{1}{2} ∣ Δ ∣$ .

Coloana de $1$ nu e o podoabă: prin $L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1}$ și $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1}$ determinantul se reduce la unul de ordinul al doilea, deci la forma scurtă $Δ = (x_{B} - x_{A}) (y_{C} - y_{A}) - (x_{C} - x_{A}) (y_{B} - y_{A})$ — două produse în loc de șase. Când un vârf este chiar originea, rămâne și mai puțin: $S_{O A B} = \frac{1}{2} ∣ x_{A} y_{B} - x_{B} y_{A} ∣$ .

Cazul $Δ = 0$ este exact coliniaritatea, deci la orice triunghi dat prin coordonate se verifică întâi $Δ \neq = 0$ . Semnul lui $Δ$ arată doar sensul în care sunt parcurse vârfurile — de aceea formula are modul. Un poligon convex se descompune în triunghiuri cu diagonalele dintr-un vârf, iar a doua descompunere oferă o verificare gratuită.

De reținut

$A = \frac{1}{2} x_{1} x_{2} x_{3} y_{1} y_{2} y_{3} 111$
Determinant nul $\Rightarrow$ puncte coliniare, arie zero
Cu un vârf în origine: $A = \frac{1}{2} ∣ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} ∣$

Greșeala tipică

Se dă drept răspuns o arie negativă, obținută direct din determinant. Semnul depinde numai de ordinea vârfurilor, deci trebuie luat modulul înainte de a împărți la $2$ .

Exerciții din această mini-lecție

Aria triunghiului cu vârfurile $A (- 2, 3)$ , $B (6, 1)$ și $C (2, 9)$ este egală cu:
- a) $56$
- b) $14$
- c) $112$
- d) $28$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $28$

Cu forma scurtă, $Δ = (6 - (- 2)) (9 - 3) - (2 - (- 2)) (1 - 3) = 48 + 8 = 56 \neq = 0$ , deci punctele formează un triunghi, iar $S = \frac{1}{2} \cdot 56 = 28$ . Varianta $56$ este chiar determinantul, adică dublul ariei — jumătatea se uită des.
Scăzând prima linie din celelalte două, determinantul $Δ$ al triunghiului $A B C$ devine:
- a) $(x_{B} - x_{A}) (y_{C} - y_{A}) - (x_{C} - x_{A}) (y_{B} - y_{A})$
- b) $(x_{B} - x_{A}) (y_{C} - y_{A}) + (x_{C} - x_{A}) (y_{B} - y_{A})$
- c) $(x_{B} - x_{A}) (y_{B} - y_{A}) - (x_{C} - x_{A}) (y_{C} - y_{A})$
- d) $(x_{B} + x_{A}) (y_{C} + y_{A}) - (x_{C} + x_{A}) (y_{B} + y_{A})$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(x_{B} - x_{A}) (y_{C} - y_{A}) - (x_{C} - x_{A}) (y_{B} - y_{A})$

Transformările $L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1}$ și $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1}$ nu schimbă valoarea determinantului și lasă în coloana a treia un singur element nenul. Dezvoltând după ea rămâne determinantul de ordinul al doilea cu liniile $(x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A})$ și $(x_{C} - x_{A}, y_{C} - y_{A})$ , adică prima variantă. Apar numai diferențe de coordonate — de aceea aria nu se schimbă la translație.
Aria triunghiului cu vârfurile $O (0, 0)$ , $A (5, 2)$ și $B (1, 3)$ este egală cu:
- a) $13$
- b) $\frac{17}{2}$
- c) $\frac{13}{2}$
- d) $\frac{7}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{13}{2}$

Cu un vârf în origine, prima linie a determinantului este $0$ , $0$ , $1$ , iar dezvoltarea după ea lasă $S_{O A B} = \frac{1}{2} ∣ x_{A} y_{B} - x_{B} y_{A} ∣ = \frac{1}{2} ∣ 15 - 2 ∣ = \frac{13}{2}$ . Varianta $\frac{17}{2}$ apare dacă se adună în loc să se scadă, iar $13$ dacă se uită jumătatea.

Întrebări conexe

Ce se pune în determinantul ariei?

Pe fiecare linie, abscisa și ordonata unui vârf, urmate de $1$ . Ordinea vârfurilor nu contează pentru rezultatul final, fiindcă o schimbare de linii schimbă doar semnul, iar modulul îl șterge.

De ce se împarte la 2 în formula ariei?

Fiindcă modulul determinantului dă aria paralelogramului construit pe două dintre laturi, iar triunghiul este jumătate din el. Aceeași jumătate apare și în formula obișnuită, cu bază și înălțime.

Cât este aria triunghiului cu vârfurile în origine, în 4 și 0, apoi în 0 și 3?

Triunghiul este dreptunghic, cu catetele pe axe, deci aria este $\frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ . Determinantul dă $12$ , iar jumătatea modulului confirmă același rezultat, ceea ce este un bun control al formulei.

Ce arie are un triunghi cu un vârf în origine?

Formula se scurtează la $\frac{1}{2} ∣ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} ∣$ , unde apar doar coordonatele celorlalte două vârfuri. Determinantul de ordinul $3$ se reduce astfel la unul de ordinul $2$ , mult mai rapid de calculat.

Cum determin parametrul astfel încât aria să aibă o valoare dată?

Scrii aria ca expresie în parametru și rezolvi ecuația cu modul. Ies de obicei două valori, simetrice față de cazul coliniar, fiindcă vârful poate sta de o parte sau de alta a laturii opuse.

Ce se întâmplă cu aria dacă mut toate punctele cu aceeași translație?

Rămâne neschimbată, fiindcă diferențele de coordonate care intră în determinant nu se modifică. Este motivul pentru care se poate muta un vârf în origine, ca să iasă calcule mai simple.

Oamenii mai întreabă și: aria unui triunghi cu determinant · formula ariei cu coordonatele vârfurilor · jumătate din modulul determinantului · aria triunghiului în reperul cartezian