După ce ai rupt intervalul în zerouri și ai scris suma de integrale, cel mai rapid control este:

fiecare integrală din sumă trebuie să iasă pozitivă

suma trebuie să fie un număr întreg

prima integrală trebuie să fie cea mai mare

numărul de integrale trebuie să fie par

Ce fac dacă graficul trece sub axă?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Arii cu schimbare de semn

Afli zerourile din interiorul intervalului, faci tabelul de semn și scrii aria ca sumă de integrale, fiecare luată cu semnul care o face pozitivă, adică $S = \int_{a}^{b} ∣ f (x)∣ d x$ . Integrala fără bare face un bilanț și poate ieși chiar zero. De pildă, pentru $x^{3}$ pe intervalul de la $- 1$ la $1$ integrala este $0$ , iar aria este $\frac{1}{2}$ .

Când $f$ își schimbă semnul pe $[a, b]$ , aria regiunii mărginite de graficul lui $f$ , de axa $O x$ și de dreptele $x = a$ , $x = b$ este $S = \int_{a}^{b} ∣ f (x)∣ d x$ , nu $\int_{a}^{b} f (x) d x$ . Deosebirea este de fond: integrala face un bilanț cu semn și poate ieși negativă sau chiar nulă, în timp ce aria nu face compensări; cele două coincid exact atunci când funcția păstrează același semn pe tot intervalul. Cele trei etape ale ariei cu schimbare de semn sunt: zerourile din interval, tabelul de semn, apoi suma de integrale cu semnul potrivit pe fiecare bucată. Două confuzii se plătesc scump. Prima: capetele de integrare vin din enunț (dreptele verticale), iar rupturile vin din ecuația $f (x) = 0$ — sunt lucruri diferite. A doua: se rețin numai zerourile din interiorul intervalului; o rădăcină din afara lui nu produce nicio tăietură, iar un zero care coincide cu un capăt nu rupe nimic. Controlul cel mai rapid este că fiecare integrală din sumă trebuie să dea un număr pozitiv; dacă una iese negativă, semnul a fost citit greșit din tabel. Când regiunea este mărginită la stânga de axa $O y$ , rolurile variabilelor se inversează: curba se scrie $x = g (y)$ , cu $g \geq 0$ , iar aria devine $\int_{c}^{d} g (y) d y$ .

De reținut

$S = \int_{a}^{b} ∣ f (x)∣ d x$
rupturile: zerourile dintre capete
capetele vin din enunț, rupturile din ecuația $f (x) = 0$

Greșeala tipică

Se folosesc drept rupturi toate rădăcinile funcției. Se rețin numai cele aflate strict între capete: o rădăcină din afara intervalului nu taie nimic, iar una căzută chiar pe un capăt nu produce o bucată nouă.

Exerciții din această mini-lecție

Aria regiunii mărginite de graficul funcției $f (x) = x^{2} - 9$ , de axa $O x$ și de dreptele $x = 0$ , $x = 5$ este:
- a) $- \frac{10}{3}$
- b) $\frac{10}{3}$
- c) $\frac{98}{3}$
- d) $\frac{44}{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{98}{3}$

Zeroul din interval este $x = 3$ (rădăcina $- 3$ este în afara lui). Pe $[0, 3]$ funcția este negativă, pe $[3, 5]$ pozitivă: $S = \int_{0}^{3} (9 - x^{2}) d x + \int_{3}^{5} (x^{2} - 9) d x = 18 + \frac{44}{3} = \frac{98}{3}$ . Varianta $- \frac{10}{3}$ este chiar $\int_{0}^{5} (x^{2} - 9) d x$ , adică bilanțul cu semn, iar $\frac{44}{3}$ oprește calculul la a doua bucată.
Pentru a calcula aria regiunii mărginite de graficul funcției $f (x) = x^{2} - 5 x$ , de axa $O x$ și de dreptele $x = 0$ , $x = 7$ , suma conține:
- a) două integrale
- b) o singură integrală
- c) trei integrale
- d) patru integrale
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) două integrale

Zerourile sunt $0$ și $5$ , dar $x = 0$ coincide cu capătul din stânga și nu produce o ruptură: rupturile sunt doar zerourile din interiorul intervalului. Singura tăietură este în $x = 5$ , deci suma are două integrale: $\int_{0}^{5} (5 x - x^{2}) d x + \int_{5}^{7} (x^{2} - 5 x) d x$ .
După ce ai rupt intervalul în zerouri și ai scris suma de integrale, cel mai rapid control este:
- a) suma trebuie să fie un număr întreg
- b) prima integrală trebuie să fie cea mai mare
- c) numărul de integrale trebuie să fie par
- d) fiecare integrală din sumă trebuie să iasă pozitivă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) fiecare integrală din sumă trebuie să iasă pozitivă

Pe fiecare bucată se integrează funcția cu semnul care o face pozitivă: $f$ acolo unde $f \geq 0$ și $- f$ acolo unde $f \leq 0$ . Prin urmare fiecare termen al sumei este o arie, deci un număr pozitiv; un termen negativ arată imediat că semnul a fost citit greșit din tabel. Celelalte trei afirmații nu au nicio legătură cu corectitudinea calculului.

Întrebări conexe

Care sunt cele trei etape ale ariei cu schimbare de semn?

Zerourile dintre capete, tabelul de semn, apoi adunarea integralelor luate fiecare cu semnul care o face pozitivă. Ordinea lor nu se schimbă, iar primul pas se face pe intervalul din enunț, nu pe tot domeniul funcției.

Cât este aria dintre graficul lui x la a treia și axă, de la minus 1 la 1?

Funcția este negativă pe jumătatea din stânga și pozitivă pe cea din dreapta, deci aria este suma a două bucăți egale: $2 \int_{0}^{1} x^{3} d x = \frac{1}{2}$ . Integrala fără bare ar fi dat zero, prin compensarea celor două porțiuni.

Ce diferență e între bilanț cu semn și arie?

Bilanțul adună porțiunile de deasupra axei și le scade pe cele de dedesubt, deci poate fi negativ sau nul. Aria nu face compensări: fiecare bucată intră pozitivă. Cele două numere coincid numai atunci când graficul rămâne de aceeași parte a axei.

Când coincid aria și integrala pe același interval?

Când funcția rămâne peste axă pe tot intervalul. Dacă stă tot timpul dedesubt, ele diferă doar prin semn. Când graficul traversează axa, cele două numere se despart, iar aria este mai mare decât valoarea absolută a integralei.

Ce control rapid arată că am citit greșit tabelul de semn?

O bucată din sumă care iese negativă. Fiecare integrală luată cu semnul potrivit trebuie să dea un număr pozitiv, deci un rezultat negativ arată că pe acea porțiune semnul funcției a fost citit invers, iar îndreptarea cere doar schimbarea semnului.

Oamenii mai întreabă și: aria când graficul trece sub axă · aria cu modul · aria și integrala nu coincid · zerourile din interiorul intervalului · arii cu schimbare de semn