La intersecția parabolei $$y^2 = 2px$$ cu un cerc, sistemul dă două valori pentru $$x$$, dintre care una este negativă. Cum se procedează corect?

se respinge valoarea negativă, spunând explicit că parabola are numai puncte cu $$x \ge 0$$

se păstrează amândouă, ca limite de integrare

se șterge valoarea negativă fără comentariu

se schimbă semnul valorii negative

Cercul $$x^2 + y^2 = 25$$ și elipsa $$\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$$ nu se intersectează. Aria regiunii cuprinse între ele este:

nu se poate calcula, pentru că nu există intersecții

Cum calculez aria dintre două parabole?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Arii delimitate de două conice

Rezolvi sistemul celor două ecuații, respingi motivat soluțiile care nu se potrivesc cu domeniul curbelor, faci desenul cu regiunea hașurată și abia apoi alegi variabila de integrare. Pentru cele două parabole simetrice una față de cealaltă, care se taie în origine și într-un al doilea punct, aria este o treime din pătratul construit pe segmentul dintre ele.

Aria unei regiuni mărginite de două conice se calculează în patru etape: intersecțiile din sistemul celor două ecuații, desenul cu regiunea hașurată, alegerea variabilei de integrare și a ramurilor, apoi integrala împreună cu controalele ei. Prima etapă are o capcană proprie: sistemul dă de obicei două valori, dintre care una nu este acceptabilă — parabola $y^{2} = 2 p x$ are numai puncte cu $x \geq 0$ , iar $x^{2} = 2 p y$ numai puncte cu $y \geq 0$ —, iar rădăcina respinsă trebuie numită în rezolvare, nu ștearsă tăcut. Cazul-model: parabolele $y^{2} = 2 p x$ și $x^{2} = 2 p y$ se taie în origine și în $(2 p, 2 p)$ , iar regiunea dintre ele are aria $\frac{4 p ^{2}}{3}$ , adică o treime din pătratul de latură $2 p$ . Când marginea de sus a regiunii se schimbă de la o conică la alta, ori se rupe intervalul în două integrale, ori se schimbă variabila de integrare, ceea ce adesea reduce totul la o singură integrală. Dacă o conică este în întregime în interiorul celeilalte, sistemul nu are soluții reale, iar aria se obține ca diferență de arii cunoscute, fără nicio integrare. Segmentul parabolic — regiunea dintre o parabolă și o coardă a ei — are $\frac{2}{3}$ din dreptunghiul circumscris, rezultat al lui Arhimede, care nu se confundă cu treimea de mai sus. Aceste arii intră în subiectele de Bacalaureat M1 odată cu programa nouă.

De reținut

intersecții, desen, alegerea variabilei, integrala
soluția respinsă se numește în rezolvare
segment parabolic: două treimi din dreptunghiul circumscris

Greșeala tipică

Se rețin toate soluțiile sistemului. O parabolă are puncte doar de o parte a vârfului, deci soluția care iese din domeniul curbei se respinge, iar respingerea se scrie, nu se face în gând.

Exerciții din această mini-lecție

Aria regiunii mărginite de parabolele $y^{2} = 6 x$ și $x^{2} = 6 y$ este:
- a) $36$
- b) $12$
- c) $18$
- d) $6$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $12$

Din sistem rezultă $x^{4} = 216 x$ , deci $x \in {0, 6}$ , iar punctele de intersecție sunt $O (0, 0)$ și $(6, 6)$ . Pe $[0, 6]$ prima parabolă este deasupra: $S = \int_{0}^{6} (6 x - \frac{x ^{2}}{6}) d x = 24 - 12 = 12$ . Control: pătratul de latură $2 p = 6$ are aria $36$ , iar regiunea ocupă exact o treime din el, $\frac{4 p ^{2}}{3} = 12$ .
La intersecția parabolei $y^{2} = 2 p x$ cu un cerc, sistemul dă două valori pentru $x$ , dintre care una este negativă. Cum se procedează corect?
- a) se respinge valoarea negativă, spunând explicit că parabola are numai puncte cu $x \geq 0$
- b) se păstrează amândouă, ca limite de integrare
- c) se șterge valoarea negativă fără comentariu
- d) se schimbă semnul valorii negative
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) se respinge valoarea negativă, spunând explicit că parabola are numai puncte cu $x \geq 0$

Parabola $y^{2} = 2 p x$ (cu $p > 0$ ) are numai puncte cu $x \geq 0$ , pentru că $y^{2} \geq 0$ . Rădăcina negativă este soluție a sistemului algebric, dar nu corespunde niciunui punct al curbei, deci se respinge cu justificare scrisă — la Bacalaureat M1 respingerea motivată este un pas punctat. Păstrarea ei ar da limite de integrare false.
Cercul $x^{2} + y^{2} = 25$ și elipsa $\frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$ nu se intersectează. Aria regiunii cuprinse între ele este:
- a) nu se poate calcula, pentru că nu există intersecții
- b) $25 π$
- c) $31 π$
- d) $19 π$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $19 π$

Elipsa, cu semiaxele $3$ și $2$ , este în întregime în interiorul cercului de rază $5$ . Lipsa soluțiilor reale ale sistemului nu înseamnă că problema e greșită: înseamnă că aria se obține prin scădere, nu prin integrare. $S = π \cdot 25 - π \cdot 3 \cdot 2 = 19 π$ .

Întrebări conexe

De ce are parabola y pătrat egal 2px doar puncte cu x pozitiv?

Fiindcă membrul stâng este un pătrat, deci nu poate fi negativ, iar parametrul se ia pozitiv. De aici rezultă că prima coordonată a oricărui punct de pe curbă este mai mare sau egală cu zero, ceea ce respinge jumătate dintre soluțiile sistemului.

Cum se schimbă variabila de integrare ca să iasă o singură integrală?

Privind ce mărginește regiunea sus și jos, apoi stânga și dreapta. Dacă marginea de sus trece de la o curbă la alta, integrarea după cealaltă variabilă păstrează adesea aceleași două margini pe tot intervalul, deci ajunge o singură integrală.

Ce desen se face înainte de a scrie integrala?

Un desen cu cele două curbe, cu punctele lor comune și cu regiunea hașurată. Din el se citește cine mărginește regiunea pe fiecare porțiune și dacă ea se rupe în bucăți. Fără desen, ordinea curbelor se ghicește, iar semnul rezultatului o dovedește prea târziu.

Ce sistem se rezolvă ca să aflu intersecțiile a două conice?

Cel format din ecuațiile celor două curbe. De obicei se scoate o variabilă dintr-o ecuație și se înlocuiește în cealaltă, de unde iese o ecuație de grad mai mare. Soluțiile care nu respectă domeniul fiecărei curbe se resping în scris.

Ce se întâmplă cu aria dacă parametrul p crește?

Crește și ea, proporțional cu pătratul parametrului, fiindcă și punctele comune se depărtează în același ritm. Legătura se vede din formula ariei, unde parametrul apare la puterea a doua, iar raportul față de pătratul construit rămâne același.

Oamenii mai întreabă și: aria dintre două conice · aria dintre două parabole · segment parabolic · intersecția a două conice · arii delimitate de conice