Asimptota oblică a graficului funcției $$f(x) = \dfrac{2x^2 + 5x - 1}{x + 3}$$, spre ambele capete, este:

$$y = 2x - 1 + \dfrac{2}{x+3}$$

Graficul funcției $$f(x) = 2x + \ln x$$, definită pe $$(0, +\infty)$$, spre $$+\infty$$:

nu are asimptotă oblică, fiindcă $$n = +\infty$$

Se știe că $$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 3$$. Atunci, spre $$+\infty$$, graficul lui $$f$$:

nu poate avea asimptotă oblică

poate avea și asimptotă oblică

are obligatoriu asimptotă oblică

Când nu există asimptotă oblică?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Asimptota oblică

În patru situații, cercetate în ordine. Prima: raportul $\frac{f ( x )}{x}$ nu are limită. A doua: limita lui iese infinită. A treia: limita iese zero, caz în care dreapta ar fi orizontală, nu oblică. A patra: panta e bună, dar $lim (f (x) - m x)$ nu este finită. Se adaugă cazul în care funcția are deja asimptotă orizontală spre acel capăt, fiindcă cele două se exclud.

Dreapta $y = m x + n$ , cu $m \neq = 0$ , este asimptotă oblică spre $+ \infty$ dacă diferența $f (x) - m x - n$ tinde la zero. Panta și termenul liber se obțin prin procedura în trei pași: (1) $m = x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x}$ trebuie să fie finit și nenul; (2) $n = x \to + \infty lim (f (x) - m x)$ trebuie să fie finit; (3) abia atunci se scrie concluzia. Ordinea este obligatorie: limita care dă $n$ conține deja $m$ . Propoziția de excludere reciprocă spune că, spre același capăt, asimptota orizontală și cea oblică nu pot coexista — se calculează întâi $lim f (x)$ și numai dacă ea este infinită se trece la pantă. Cele patru situații în care oblica nu există sunt, în ordine: panta nu există, panta este infinită, panta este nulă, iar $n$ este infinit sau inexistent. La funcțiile raționale cu gradul numărătorului mai mare cu exact unu, câtul împărțirii cu rest este chiar asimptota, aceeași spre ambele capete. La radicalii de ordin par, $x^{2} = ∣ x ∣$ schimbă semnul pantei, deci cele două capete dau de regulă drepte diferite.

De reținut

$m = lim \frac{f ( x )}{x}$ finită și nenulă, apoi $n = lim (f (x) - m x)$ finită
orizontala și oblica se exclud una pe alta spre același capăt
la funcții raționale cu diferență de grad $1$ , oblica este câtul împărțirii

Greșeala tipică

Se calculează termenul liber înaintea pantei. Limita care dă termenul liber conține deja valoarea pantei, așa că ordinea nu se poate schimba; întâi se verifică panta, apoi se trece mai departe.

Exerciții din această mini-lecție

Asimptota oblică a graficului funcției $f (x) = \frac{2 x ^{2} + 5 x - 1}{x + 3}$ , spre ambele capete, este:
- a) $y = 2 x + 5$
- b) $y = 2 x + 11$
- c) $y = 2 x - 1 + \frac{2}{x + 3}$
- d) $y = 2 x - 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $y = 2 x - 1$

Metoda rapidă este împărțirea cu rest: $2 x^{2} + 5 x - 1 = (x + 3) (2 x - 1) + 2$ , deci $f (x) = 2 x - 1 + \frac{2}{x + 3}$ . Cum restul împărțit la numitor tinde la zero la ambele capete, asimptota este chiar câtul, $y = 2 x - 1$ . Varianta c nu este ecuația unei drepte, iar variantele a și b iau coeficienți din enunț fără să facă împărțirea.
Graficul funcției $f (x) = 2 x + ln x$ , definită pe $(0, + \infty)$ , spre $+ \infty$ :
- a) are asimptota $y = 2 x$
- b) nu are asimptotă oblică, fiindcă $n = + \infty$
- c) are asimptotă orizontală
- d) are asimptota $y = 2 x + 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) nu are asimptotă oblică, fiindcă $n = + \infty$

Pasul (1) al procedurii în trei pași dă $m = x \to + \infty lim (2 + \frac{ln x}{x}) = 2$ , finit și nenul. Pasul (2) însă dă $n = x \to + \infty lim (f (x) - 2 x) = x \to + \infty lim ln x = + \infty$ . Fiind una dintre cele patru situații în care oblica nu există, concluzia este că graficul nu se apropie de nicio dreaptă: o pantă finită nu garantează nimic.
Se știe că $x \to + \infty lim f (x) = 3$ . Atunci, spre $+ \infty$ , graficul lui $f$ :
- a) poate avea și asimptotă oblică
- b) are obligatoriu asimptotă oblică
- c) nu poate avea asimptotă oblică
- d) nu are nicio asimptotă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) nu poate avea asimptotă oblică

Este Propoziția de excludere reciprocă: dacă limita funcției este finită, dreapta $y = 3$ este asimptotă orizontală, iar panta iese automat $m = lim \frac{f ( x )}{x} = 0$ , ceea ce contrazice condiția $m \neq = 0$ din definiția oblicei. Un răspuns care le dă pe amândouă spre același capăt este sigur greșit.

Întrebări conexe

Ce se întâmplă dacă panta iese zero?

Nu există asimptotă oblică, fiindcă definiția cere o pantă nenulă. Nu rezultă însă nici că ar exista una orizontală: funcția $ln x$ are panta zero la $+ \infty$ , dar valorile ei cresc nemărginit, deci graficul nu se lipește de nicio dreaptă.

Poate o funcție să aibă două asimptote oblice diferite?

Da, câte una spre fiecare capăt. Funcția $x^{2} + 1$ are spre $+ \infty$ dreapta $y = x$ , iar spre $- \infty$ dreapta $y = - x$ . De aceea limitele se calculează separat la cele două capete, chiar dacă formula funcției este aceeași.

Ce dă câtul împărțirii cu rest la o funcție rațională?

Chiar asimptota oblică, atunci când numărătorul are gradul cu exact unu mai mare decât numitorul. Restul împărțit la numitor tinde la zero, deci ce rămâne este funcția de gradul întâi din cât. Aceeași dreaptă iese la amândouă capetele.

Ce condiții trebuie să îndeplinească panta unei oblice?

Să existe, să fie finită și să fie diferită de zero. Se calculează ca limită a raportului dintre funcție și $x$ , la capătul studiat. Dacă una dintre cele trei cerințe cade, studiul se oprește acolo și nu se mai trece la termenul liber.

Ce se scrie ca răspuns final la o asimptotă oblică?

Ecuația dreptei, cu ambele valori înlocuite, și capătul spre care se apropie graficul: de pildă, $y = 2 x - 1$ este asimptotă oblică spre $+ \infty$ . Valorile lui $m$ și $n$ lăsate separat nu formează un răspuns complet.

Ce înseamnă că diferența $f (x) - m x - n$ tinde la zero?

Că distanța pe verticală dintre grafic și dreaptă se micșorează oricât de mult. Aceasta este chiar definiția, iar procedura cu cele două limite este doar felul practic de a găsi valorile lui $m$ și $n$ pentru care se întâmplă.

Oamenii mai întreabă și: asimptota oblică · cum calculez asimptota oblică · panta asimptotei oblice · y egal mx plus n asimptotă · când nu are funcția asimptotă oblică