Pentru $$f(x) = \dfrac{\sqrt{9x^2 + 4}}{2x - 1}$$, asimptotele orizontale sunt:

$$y = \dfrac{3}{2}$$ spre $$+\infty$$ și $$y = -\dfrac{3}{2}$$ spre $$-\infty$$

$$y = \dfrac{3}{2}$$ spre ambele capete

$$y = -\dfrac{3}{2}$$ spre ambele capete

$$y = \dfrac{9}{2}$$ spre $$+\infty$$

Graficul funcției $$f(x) = \dfrac{7}{2 + e^{x}}$$ are:

$$y = 0$$ spre $$+\infty$$ și $$y = \dfrac{7}{2}$$ spre $$-\infty$$

$$y = \dfrac{7}{2}$$ spre ambele capete

Când are o funcție asimptotă orizontală?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Asimptota orizontală

Atunci când limita ei la un capăt infinit este un număr real: dacă $x \to + \infty lim f (x) = ℓ$ , dreapta $y = ℓ$ este asimptotă orizontală spre $+ \infty$ . Cele două capete se cercetează separat, cu două limite scrise una după alta, fiindcă pot duce la drepte diferite. Răspunsul nu este numărul $ℓ$ , ci dreapta, iar capătul se precizează de fiecare dată.

Dreapta $y = ℓ$ este asimptotă orizontală spre $+ \infty$ la graficul funcției $f$ dacă și numai dacă $x \to + \infty lim f (x) = ℓ$ este un număr real; analog spre $- \infty$ . Cele două capete se studiază separat, cu două limite scrise separat, pentru că pot da drepte diferite. La o funcție rațională răspunsul se citește din grade: numitor de grad mai mare dă $y = 0$ ; grade egale dau raportul coeficienților dominanți; numărător de grad mai mare înseamnă că nu există asimptotă orizontală. La radicalii de ordin par se scrie obligatoriu $x^{2} = ∣ x ∣$ , iar modulul devine $x$ spre $+ \infty$ și $- x$ spre $- \infty$ — de aici provin aproape toate semnele greșite. Funcțiile exponențiale se comportă complet diferit la cele două capete și pot avea două orizontale distincte. Poziția graficului față de asimptotă se stabilește din semnul diferenței $f (x) - ℓ$ , iar anularea ei este o intersecție perfect permisă. Răspunsul nu este un număr, ci o dreaptă: „ $y = 2$ este asimptotă orizontală spre $+ \infty$ și spre $- \infty$ ”, cu ecuația scrisă și cu capătul precizat.

De reținut

limită finită la un capăt infinit înseamnă asimptotă orizontală la acel capăt
la funcțiile raționale cu grade egale iese raportul coeficienților dominanți
$x^{2} = ∣ x ∣$ , deci $- x$ spre $- \infty$

Greșeala tipică

Se scrie $x^{2} = x$ și la capătul negativ. Egalitatea corectă este cea cu modul, iar spre $- \infty$ acesta devine $- x$ ; aici se nasc majoritatea greșelilor de semn la funcțiile cu radical.

Exerciții din această mini-lecție

Asimptota orizontală a graficului funcției $f (x) = \frac{6 x ^{2} - x + 1}{3 x ^{2} + 5}$ este:
- a) $y = 0$
- b) $y = \frac{1}{5}$
- c) $y = 2$
- d) nu există
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $y = 2$

Gradele sunt egale, deci limita la ambele capete este raportul coeficienților dominanți: $\frac{6}{3} = 2$ . Dreapta $y = 2$ este asimptotă orizontală spre $- \infty$ și spre $+ \infty$ . Varianta $y = 0$ ar apărea dacă numitorul ar avea grad strict mai mare, iar $\frac{1}{5}$ este raportul termenilor liberi, care nu decide nimic la infinit.
Pentru $f (x) = \frac{9 x ^{2} + 4}{2 x - 1}$ , asimptotele orizontale sunt:
- a) $y = \frac{3}{2}$ spre $+ \infty$ și $y = - \frac{3}{2}$ spre $- \infty$
- b) $y = \frac{3}{2}$ spre ambele capete
- c) $y = - \frac{3}{2}$ spre ambele capete
- d) $y = \frac{9}{2}$ spre $+ \infty$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $y = \frac{3}{2}$ spre $+ \infty$ și $y = - \frac{3}{2}$ spre $- \infty$

Scoatem de sub radical: $9 x^{2} + 4 = ∣ x ∣ 9 + \frac{4}{x ^{2}}$ . Spre $+ \infty$ , $∣ x ∣ = x$ și limita este $\frac{3 x}{2 x} = \frac{3}{2}$ ; spre $- \infty$ , $∣ x ∣ = - x$ și limita devine $- \frac{3}{2}$ . Varianta b este exact greșeala $x^{2} = x$ , care pierde semnul la capătul negativ.
Graficul funcției $f (x) = \frac{7}{2 + e ^{x}}$ are:
- a) $y = \frac{7}{2}$ spre ambele capete
- b) $y = 0$ spre $+ \infty$ și $y = \frac{7}{2}$ spre $- \infty$
- c) $y = 0$ spre ambele capete
- d) $y = 7$ spre $- \infty$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $y = 0$ spre $+ \infty$ și $y = \frac{7}{2}$ spre $- \infty$

Spre $+ \infty$ avem $e^{x} \to + \infty$ , deci numitorul crește nemărginit și $f (x) \to 0$ . Spre $- \infty$ avem $e^{x} \to 0$ , deci $f (x) \to \frac{7}{2}$ . Cele două capete dau drepte diferite, motiv pentru care limitele se scriu întotdeauna separat. Varianta d ar cere ca $e^{x}$ să tindă la $- 1$ , ceea ce este imposibil: exponențiala este strict pozitivă.

Întrebări conexe

Ce asimptotă orizontală are graficul funcției $e^{- x}$ ?

Dreapta $y = 0$ , dar numai spre $+ \infty$ : acolo exponentul scade nemărginit, iar valorile se apropie de zero pe deasupra axei. Spre $- \infty$ funcția crește peste orice margine, deci la acel capăt nu există asimptotă orizontală. Iată de ce cele două limite se scriu separat.

Cum se stabilește poziția graficului față de asimptota orizontală?

Din semnul diferenței $f (x) - ℓ$ : pozitiv înseamnă că se apropie pe deasupra dreptei, negativ înseamnă pe dedesubt. Dacă diferența își schimbă semnul, curba trece dintr-o parte în alta, iar punctul de trecere este chiar o intersecție cu asimptota.

Câte asimptote orizontale are raportul dintre $x$ și $x^{2} + 1$ ?

Două orizontale: $y = 1$ spre $+ \infty$ și $y = - 1$ spre $- \infty$ . Deosebirea vine din egalitatea $x^{2} = ∣ x ∣$ , care se citește $x$ la dreapta și $- x$ la stânga. Este exemplul care arată de ce o singură limită nu ajunge niciodată.

De ce se scriu două limite chiar dacă rezultatul iese același?

Pentru că egalitatea lor este o concluzie, nu o presupunere, iar baremul cere ambele calcule. Funcțiile raționale dau de obicei aceeași valoare la cele două capete, dar cele cu radical sau cu exponențială dau valori diferite, iar scurtătura ar pierde jumătate din răspuns.

Ce se scrie ca răspuns la asimptota orizontală: un număr sau o dreaptă?

O dreaptă, cu ecuația ei. Formularea corectă sună astfel: dreapta $y = 2$ este asimptotă orizontală spre $+ \infty$ . Scrierea doar a numărului $2$ lasă răspunsul neterminat, fiindcă asimptota este un obiect geometric, nu valoarea unei limite.

Ce diferență este între limită infinită și limită inexistentă?

În primul caz valorile cresc sau scad nemărginit, iar studiul continuă cu asimptota oblică. În al doilea, valorile oscilează fără să se apropie de ceva, ca la $sin x$ spre $+ \infty$ , și atunci nu mai există nicio asimptotă neverticală la acel capăt.

Oamenii mai întreabă și: asimptota orizontală · cum aflu asimptota orizontală · limita la infinit și asimptota · două asimptote orizontale · asimptota orizontală la funcții raționale