Ce înseamnă asimptotă la stânga sau la dreapta?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Asimptota verticală

Arată din ce parte se lipește graficul de dreapta $x = a$ . Dacă numai limita din stânga este infinită, asimptota se numește la stânga; dacă numai cea din dreapta, la dreapta; dacă amândouă, bilaterală. Precizarea nu e un moft: ea spune câte ramuri urcă sau coboară de-a lungul dreptei. La $e^{1/ x}$ , dreapta $x = 0$ este asimptotă numai la dreapta.

Dreapta $x = a$ este asimptotă verticală la graficul funcției $f$ dacă cel puțin una dintre limitele laterale ale lui $f$ în $a$ este infinită; nu se cere ca amândouă să fie infinite și nici măcar ca amândouă să existe. De fiecare dată se precizează dacă asimptota este la stânga, la dreapta sau bilaterală, pentru că această informație spune câte ramuri ale graficului se lipesc de dreaptă și în ce sens merg. Candidații sunt numai capetele finite și deschise ale domeniului și punctele de discontinuitate; un punct interior în care funcția este continuă nu poate fi niciodată candidat, fiindcă acolo limitele laterale sunt finite. O valoare interzisă produce asimptotă doar dacă limita laterală iese efectiv infinită: la funcțiile raționale se simplifică întâi fracția, iar rădăcinile care dispar prin simplificare dau găuri în grafic. Atenție și la deosebirea dintre „limita nu există” și „limita este infinită” — o oscilație fără limită nu dă asimptotă. Spre deosebire de asimptotele neverticale, care sunt cel mult două, asimptotele verticale pot fi oricât de multe: funcția tangentă are o infinitate.

De reținut

$x = a$ este asimptotă verticală dacă măcar o limită laterală în $a$ este infinită
se precizează întotdeauna: la stânga, la dreapta sau bilaterală
verticalele pot fi oricâte, iar funcția tangentă are o infinitate

Greșeala tipică

Se declară asimptotă verticală în orice punct lipsă din domeniu. Punctul acela este doar candidat, iar dreapta apare numai dacă o limită laterală iese efectiv infinită.

Exerciții din această mini-lecție

Dreapta $x = a$ este asimptotă verticală la graficul funcției $f$ dacă:
- a) cel puțin una dintre limitele laterale ale lui $f$ în $a$ este infinită
- b) ambele limite laterale ale lui $f$ în $a$ sunt infinite
- c) $a$ nu aparține domeniului lui $f$
- d) $f$ este discontinuă în $a$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) cel puțin una dintre limitele laterale ale lui $f$ în $a$ este infinită

Definiția cere o singură limită laterală infinită — de aceea există asimptote verticale numai la stânga sau numai la dreapta, ca la $e^{\frac{1}{x}}$ în origine. Varianta c descrie doar un candidat, iar varianta d este prea slabă: o discontinuitate de speța I are limite laterale finite și nu produce nicio asimptotă.
Pentru $f (x) = ln (3 - x)$ , dreapta $x = 3$ este asimptotă verticală:
- a) la dreapta
- b) bilaterală
- c) la stânga
- d) nu este asimptotă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) la stânga

Domeniul este $(- \infty, 3)$ , deci $3$ este capăt finit și deschis — un candidat. Există o singură limită laterală, cea la stânga, și ea este $x \to 3 x < 3 lim ln (3 - x) = - \infty$ . Prin urmare $x = 3$ este asimptotă verticală la stânga: o singură ramură a graficului se lipește de dreaptă, coborând.
Câte asimptote verticale are graficul funcției $f (x) = \frac{x ^{2} - x - 2}{x ^{2} - 4}$ ?
- a) $2$
- b) $0$
- c) $3$
- d) $1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $1$

Simplificăm întâi: $\frac{( x - 2 ) ( x + 1 )}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{x + 1}{x + 2}$ pentru $x \neq = 2$ . În $2$ limita este $\frac{3}{4}$ , deci acolo graficul are o gaură, nu o asimptotă. Rămâne $x = - 2$ , unde limitele laterale sunt infinite: o singură asimptotă verticală. Nesimplificarea fracției este cea mai frecventă greșeală de la Bacalaureat M1 la acest capitol.

Întrebări conexe

Câte ramuri ale graficului se lipesc de o asimptotă verticală?

Una sau două, după câte limite laterale sunt infinite. La o asimptotă bilaterală urcă sau coboară câte o ramură de fiecare parte a dreptei, iar la una unilaterală doar o ramură. De aceea precizarea din răspuns spune direct cum arată desenul.

Ce se întâmplă în punctul 2 la funcția $\frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ ?

Apare o gaură, nu o asimptotă. Fracția se simplifică în $x + 2$ , iar limita în $2$ iese $4$ , deci graficul este dreapta $y = x + 2$ din care lipsește punctul $(2, 4)$ . Valoarea interzisă rămâne doar un candidat până la calculul limitei.

De ce nu dă asimptotă o oscilație fără limită?

Fiindcă valorile nu se îndreaptă spre infinit, ci sar între margini. Funcția $sin \frac{1}{x}$ în origine nu are limită laterală, dar rămâne mărginită, deci nicio dreaptă verticală nu o atrage. Se deosebește astfel limita infinită de limita inexistentă.

Este destul ca o singură limită laterală să fie infinită?

Da, definiția cere doar atât. Amândouă limitele nu trebuie să fie infinite și nici măcar nu trebuie să existe amândouă, cum se vede la funcțiile definite numai de o parte a punctului, precum logaritmul în capătul domeniului său.

Ce se face înainte de a decide la o funcție rațională?

Se simplifică fracția. Un factor prezent și sus, și jos dispare din calcul, iar valoarea care îl anulează lasă o gaură. Abia pe forma simplificată se calculează limitele laterale în zerourile rămase ale numitorului.

Ce sunt găurile din graficul unei funcții raționale?

Puncte lipsă dintr-o curbă altfel continuă. Ele apar în valorile care anulează și numărătorul, și numitorul: funcția nu este definită acolo, dar limita există și este finită. La desen se marchează cu un cerculeț gol.

Oamenii mai întreabă și: asimptota verticală · cum aflu asimptotele verticale · asimptotă bilaterală · gaură în graficul unei funcții · limită laterală infinită