Schema asimptotelor în patru pași parcurge, în ordine:

domeniul, asimptotele verticale, comportarea spre $$-\infty$$, comportarea spre $$+\infty$$

asimptotele verticale, domeniul, orizontalele, oblicele

orizontalele, oblicele, verticalele, domeniul

domeniul, derivata întâi, derivata a doua, asimptotele

Graficul funcției $$f(x) = \dfrac{x^4 + 1}{x^2 + 2}$$ are, spre $$+\infty$$:

asimptota orizontală $$y = 1$$

asimptota orizontală $$y = 0$$

Graficul funcției $$f(x) = \dfrac{3e^{x} - 1}{e^{x} + 2}$$ are:

$$y = 3$$ spre $$+\infty$$ și $$y = -\dfrac{1}{2}$$ spre $$-\infty$$

$$y = -\dfrac{1}{2}$$ spre ambele capete

$$y = \dfrac{3}{2}$$ spre ambele capete

De ce nu merge regula gradelor la orice funcție?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Asimptotele funcțiilor uzuale

Fiindcă ea se deduce pentru rapoarte de polinoame și atât. La $\frac{x ^{2} + 1}{x}$ , compararea gradelor ar sugera dreapta $y = 1$ la amândouă capetele, însă spre $- \infty$ asimptota este $y = - 1$ , din cauza modulului care apare la scoaterea lui $x$ de sub radical. Regula rămâne o consecință a schemei generale, nu un înlocuitor al ei.

Schema asimptotelor în patru pași se aplică identic oricărei funcții: (1) domeniul; (2) asimptotele verticale, cu candidații și limitele laterale; (3) comportarea spre $- \infty$ ; (4) comportarea spre $+ \infty$ . Pașii 3 și 4 se fac separat, iar la fiecare capăt se caută întâi orizontala, prin $lim f (x)$ , și numai dacă aceasta nu există se trece la oblică, cu $m$ înaintea lui $n$ . La funcțiile raționale rezultatul se citește din grade — numărător de grad mai mic dă $y = 0$ , grade egale dau raportul coeficienților dominanți, o diferență de un grad dă oblica egală cu câtul împărțirii, iar o diferență de două grade sau mai mult nu dă nicio asimptotă — dar regula aceasta este o consecință, nu o regulă de bază, și nu se aplică funcțiilor care nu sunt raționale. La radicalii de ordin par, egalitatea $x^{2} = ∣ x ∣$ schimbă semnul pantei spre $- \infty$ , deci cele două capete dau de regulă două oblice diferite. Funcțiile exponențiale pot avea două orizontale distincte pe același grafic. În sfârșit, o pantă finită și nenulă nu este suficientă: fără $n$ finit, asimptota oblică nu există.

De reținut

schema: domeniul, verticalele, capătul $- \infty$ , capătul $+ \infty$
la fiecare capăt: întâi orizontala, apoi, dacă lipsește, oblica
$x^{2} = ∣ x ∣$ schimbă semnul pantei spre $- \infty$

Greșeala tipică

Se declară asimptota oblică imediat după ce panta a ieșit finită și nenulă. Mai trebuie calculat termenul liber, iar dacă acea limită nu este finită, dreapta nu există.

Exerciții din această mini-lecție

Schema asimptotelor în patru pași parcurge, în ordine:
- a) asimptotele verticale, domeniul, orizontalele, oblicele
- b) domeniul, asimptotele verticale, comportarea spre $- \infty$ , comportarea spre $+ \infty$
- c) orizontalele, oblicele, verticalele, domeniul
- d) domeniul, derivata întâi, derivata a doua, asimptotele
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) domeniul, asimptotele verticale, comportarea spre $- \infty$ , comportarea spre $+ \infty$

Domeniul vine primul, fiindcă el furnizează atât candidații la verticală (capetele finite și deschise), cât și capetele la care se studiază comportarea la infinit. Pașii 3 și 4 se scriu separat, pentru că multe funcții se comportă diferit la cele două capete. Varianta d amestecă schema asimptotelor cu schema în nouă pași a studiului complet.
Graficul funcției $f (x) = \frac{x ^{4} + 1}{x ^{2} + 2}$ are, spre $+ \infty$ :
- a) asimptota orizontală $y = 1$
- b) asimptota oblică $y = x^{2}$
- c) nicio asimptotă
- d) asimptota orizontală $y = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) nicio asimptotă

Gradul numărătorului îl depășește pe cel al numitorului cu $2$ , deci limita funcției este $+ \infty$ (nicio orizontală), iar panta $m = lim \frac{f ( x )}{x} = + \infty$ (nicio oblică). Varianta b este capcana: $y = x^{2}$ nu este ecuația unei drepte, iar asimptota trebuie să fie o dreaptă.
Graficul funcției $f (x) = \frac{3 e ^{x} - 1}{e ^{x} + 2}$ are:
- a) $y = 3$ spre ambele capete
- b) $y = - \frac{1}{2}$ spre ambele capete
- c) $y = \frac{3}{2}$ spre ambele capete
- d) $y = 3$ spre $+ \infty$ și $y = - \frac{1}{2}$ spre $- \infty$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $y = 3$ spre $+ \infty$ și $y = - \frac{1}{2}$ spre $- \infty$

Spre $+ \infty$ , $e^{x}$ domină și limita este $\frac{3 e ^{x}}{e ^{x}} = 3$ . Spre $- \infty$ , $e^{x} \to 0$ și limita devine $\frac{- 1}{2}$ . Iată exemplul tipic de funcție cu două orizontale distincte pe același grafic — motivul pentru care pașii 3 și 4 ai schemei nu se comasează niciodată.

Întrebări conexe

Ce asimptotă apare spre minus infinit la un raport cu radical?

De regulă alta decât cea de la $+ \infty$ , cu semn schimbat. Din $x^{2} + 1 = ∣ x ∣ 1 + \frac{1}{x ^{2}}$ și $∣ x ∣ = - x$ la stânga, raportul tinde la $- 1$ , în timp ce la dreapta tinde la $1$ . Cele două drepte sunt simetrice față de axa absciselor.

Câte asimptote orizontale poate avea graficul unei exponențiale?

Până la două, câte una spre fiecare capăt. Funcția $\frac{e ^{x}}{e ^{x} + 1}$ are $y = 0$ spre $- \infty$ și $y = 1$ spre $+ \infty$ , fiindcă exponențiala se comportă cu totul deosebit la cele două capete. La funcțiile raționale astfel de perechi nu apar.

Ce se întâmplă când diferența de grade este cel puțin 2?

Nu există nicio asimptotă spre infinit. Limita funcției este infinită, deci orizontala cade, iar raportul dintre funcție și $x$ tinde tot la infinit, deci și panta oblicei cade. Graficul urcă mai repede decât orice dreaptă.

De ce se studiază cele două capete separat?

Pentru că multe funcții se comportă cu totul altfel la stânga și la dreapta: exponențialele, radicalii de ordin par, funcțiile cu modul. O singură limită, scrisă pentru amândouă capetele, este o scurtătură care pierde jumătate din răspuns și se taie în barem.

Ce înseamnă că regula gradelor este o consecință, nu o regulă de bază?

Că ea se obține din schema generală, aplicată rapoartelor de polinoame, și are voie să fie folosită numai acolo. Pentru orice altă funcție se revine la limite: mai întâi limita funcției, apoi, dacă e cazul, panta și termenul liber.

Ce se scrie la pasul întâi al schemei asimptotelor?

Domeniul de definiție, scris ca reuniune de intervale. Din el ies deodată candidații la asimptotă verticală, adică punctele finite lipsă, și capetele infinite care trebuie cercetate. Fără domeniu scris explicit, restul pașilor nu au unde să se aplice.

Oamenii mai întreabă și: toate asimptotele unei funcții · schema asimptotelor · asimptote la funcții cu radical · asimptote la exponențiale · regula gradelor la asimptote