Numerele $$1,\ -2,\ 4$$ sunt în progresie geometrică, de rație $$-2$$. De ce formula $$b=\sqrt{ac}$$ NU se poate folosi aici pentru a găsi termenul din mijloc?

pentru că radicalul dă întotdeauna o valoare nenegativă, iar termenul din mijloc este negativ

pentru că numerele nu sunt, de fapt, în progresie geometrică

pentru că $$a$$ și $$c$$ sunt de semne diferite

pentru că formula $$b=\sqrt{ac}$$ este întotdeauna greșită

Când sunt trei numere în progresie aritmetică?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Caracterizarea progresiilor prin trei termeni

Exact atunci când cel din mijloc este media aritmetică a celorlalte două, adică $2 b = a + c$ . Pentru progresia geometrică, condiția se scrie cu pătrat: $b^{2} = a c$ , iar cei trei termeni trebuie să fie nenuli. Forma cu radical, $b = a c$ , nu merge, fiindcă radicalul dă doar valori nenegative, iar numerele $1$ , $- 2$ , $4$ sunt totuși în progresie geometrică, cu rația $- 2$ .

Un șir $(a_{n})$ este progresie aritmetică dacă și numai dacă $2 a_{n + 1} = a_{n} + a_{n + 2}$ pentru orice $n$ — fiecare termen este media aritmetică a vecinilor săi. Un șir $(b_{n})$ cu termeni nenuli este progresie geometrică dacă și numai dacă $b_{n + 1}^{2} = b_{n} \cdot b_{n + 2}$ pentru orice $n$ . Ambele sunt echivalențe demonstrate în două sensuri: implicația directă (din definiție rezultă relația) și cea reciprocă (din relație rezultă că șirul e progresie).

Ipoteza termeni nenuli la cazul geometric nu poate fi eliminată: șirul $1, 0, 0, 0, \dots$ satisface $b_{n + 1}^{2} = b_{n} b_{n + 2}$ dar nu este progresie geometrică. Forma corectă a criteriului este cea pătratică, $b^{2} = a c$ , nu $b = a c$ : numerele $1, - 2, 4$ sunt progresie geometrică de rație $- 2$ , dar $1 \cdot 4 = 2 \neq = - 2$ , pentru că radicalul dă întotdeauna valoarea nenegativă.

O capcană frecventă: teoremele cer relația pentru orice $n$ , nu pentru un singur triplet — șirul $1, 3, 5, 9$ trece testul aritmetic la primul triplet, dar nu și la al doilea. La probleme cu trei numere de sumă sau produs date, notațiile $a - r, a, a + r$ (suma devine $3 a$ ) și $\frac{b}{q}, b, b q$ (produsul devine $b^{3}$ ) scurtează enorm calculele.

De reținut

$2 a_{n + 1} = a_{n} + a_{n + 2}$ caracterizează progresia aritmetică
$b_{n + 1}^{2} = b_{n} \cdot b_{n + 2}$ , cu termeni nenuli, caracterizează progresia geometrică
relația trebuie să fie valabilă pentru orice rang, nu doar pentru unul

Greșeala tipică

Se verifică relația pe primii trei termeni și se trage concluzia pentru tot șirul. La $1$ , $3$ , $5$ , $9$ primul grup trece testul aritmetic, dar al doilea cade.

Exerciții din această mini-lecție

Condiția ca trei numere reale $a$ , $b$ , $c$ (în această ordine) să fie termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice este:
- a) $b^{2} = a c$
- b) $2 b = a + c$
- c) $b = a + c$
- d) $a c = 2 b$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $2 b = a + c$

Caracterizarea progresiei aritmetice spune că fiecare termen este media aritmetică a vecinilor: $2 b = a + c$ , echivalent cu $b = \frac{a + c}{2}$ . Varianta a) este criteriul geometric, nu cel aritmetic.
Condiția ca trei numere nenule $a$ , $b$ , $c$ să fie termeni consecutivi ai unei progresii geometrice este:
- a) $2 b = a + c$
- b) $b^{2} = a c$
- c) $b = a \cdot c$
- d) $b = \frac{a + c}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $b^{2} = a c$

Caracterizarea progresiei geometrice, cu toți termenii nenuli, este $b^{2} = a c$ — pătratul termenului din mijloc egal cu produsul vecinilor. Variantele a) și d) descriu de fapt criteriul aritmetic.
Numerele $1, - 2, 4$ sunt în progresie geometrică, de rație $- 2$ . De ce formula $b = a c$ NU se poate folosi aici pentru a găsi termenul din mijloc?
- a) pentru că radicalul dă întotdeauna o valoare nenegativă, iar termenul din mijloc este negativ
- b) pentru că numerele nu sunt, de fapt, în progresie geometrică
- c) pentru că $a$ și $c$ sunt de semne diferite
- d) pentru că formula $b = a c$ este întotdeauna greșită
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) pentru că radicalul dă întotdeauna o valoare nenegativă, iar termenul din mijloc este negativ

Relația corectă și general valabilă este $b^{2} = a c$ : aici $(- 2)^{2} = 4 = 1 \cdot 4$ ✓. Dar $1 \cdot 4 = 4 = 2 \neq = - 2$ , pentru că rădăcina pătrată este, prin definiție, numărul nenegativ al cărui pătrat dă numărul de sub radical — deci formula cu radical „pierde” soluția negativă.

Întrebări conexe

Ce valoare are x dacă 3, x, 27 sunt în progresie geometrică?

Din $x^{2} = 3 \cdot 27 = 81$ rezultă $x = 9$ sau $x = - 9$ . Ambele răspunsuri sunt bune: primul dă rația $3$ , al doilea rația $- 3$ . Dacă notezi doar valoarea pozitivă, rămâi cu jumătate de răspuns.

De ce criteriul aritmetic nu cere termeni nenuli?

Fiindcă acolo se lucrează numai cu adunări și scăderi, nu cu împărțiri. Un termen egal cu zero nu strică nimic: șirul $- 4$ , $0$ , $4$ este o progresie aritmetică fără nicio problemă, cu rația $4$ .

Ce se întâmplă dacă un șir trece amândouă testele deodată?

Atunci el este constant și cu termeni nenuli, adică are rația $0$ în sens aritmetic și rația $1$ în sens geometric. Este singurul tip de șir care satisface în același timp cele două caracterizări.

Cum se demonstrează că relația cu media caracterizează progresia?

Se arată amândouă sensurile. Dacă șirul este progresie, diferențele consecutive sunt egale, deci relația iese prin calcul. Invers, dacă relația are loc pentru orice rang, atunci diferența dintre doi termeni vecini nu se schimbă, ceea ce înseamnă chiar definiția progresiei.

Câte soluții are o problemă în care se cere rația din trei numere?

La cazul aritmetic răspunsul este unul singur, fiindcă rația iese dintr-o scădere. La cel geometric pot fi două, opuse ca semn, fiindcă apare o ecuație cu pătrat. Enunțul spune uneori care dintre ele se păstrează.

Cum se scrie criteriul pentru patru numere consecutive?

Se cer două relații, câte una pentru fiecare termen din interior, fiindcă primul și ultimul nu au vecini de amândouă părțile. Ambele trebuie să fie îndeplinite; una singură nu este de ajuns pentru întregul grup.

Oamenii mai întreabă și: condiția ca trei numere să fie în progresie · media aritmetică a vecinilor · b la pătrat egal cu a ori c · trei termeni în progresie geometrică · cum verific o progresie din trei numere