Acasă · Clasa a IX-a · Lecții · Caracterizarea progresiilor: relația dintre trei termeni consecutivi

Caracterizarea progresiilor: relația dintre trei termeni consecutivi

Ai un șir de o mie de numere pe ecran și trebuie să răspunzi la o singură întrebare: este sau nu o progresie aritmetică? Ai putea calcula toate cele $999$ de diferențe și să le compari între ele. Sau ai putea observa ceva mai isteț: dacă șirul e progresie aritmetică, atunci fiecare termen se află exact la mijloc între vecinii lui. Termenul $a_{2}$ este media aritmetică dintre $a_{1}$ și $a_{3}$ , termenul $a_{3}$ este media dintre $a_{2}$ și $a_{4}$ , și tot așa. E aceeași informație, dar spusă local: o proprietate care privește doar câte trei termeni deodată.

Această schimbare de perspectivă nu e doar o curiozitate. Ea transformă definiția progresiei — care compară perechi de termeni consecutivi — într-un criteriu cu care poți lucra algebric: o egalitate în care intră trei numere, deci o ecuație pe care o poți rezolva. De aici vin cele mai frecvente probleme de la Bacalaureat cu progresii: „determinați $x$ real astfel încât numerele … să fie în progresie aritmetică". În lecția aceasta demonstrăm riguros cele două teoreme de caracterizare — pentru progresii aritmetice și pentru progresii geometrice — în ambele sensuri, și învățăm exact unde sunt capcanele lor.

Ce vei învăța

Vei ști să enunți și să demonstrezi în ambele sensuri teorema de caracterizare a progresiei aritmetice: $2 a_{n + 1} = a_{n} + a_{n + 2}$ .
Vei ști să enunți și să demonstrezi în ambele sensuri teorema de caracterizare a progresiei geometrice: $a_{n + 1}^{2} = a_{n} \cdot a_{n + 2}$ , cu ipoteza termenilor nenuli.
Vei ști de ce forma corectă este cea pătratică, $b^{2} = a c$ , și nu $b = a c$ — și vei putea da contraexemplul care arată diferența.
Vei ști să folosești caracterizările pentru a determina un parametru dintr-o condiție de tipul „numerele … sunt în progresie".
Vei ști să folosești notațiile economice $a - r, a, a + r$ și $\frac{b}{q}, b, b q$ pentru trei numere în progresie cu sumă sau produs date.
Vei ști să recunoști capcanele: verificarea unui singur triplet și lipsa ipotezei de nenulitate.

Hai să descoperim împreună

1. De la definiție la criteriu

Definiția progresiei aritmetice, din lecția Progresia aritmetică și rația, este o condiție asupra perechilor de termeni consecutivi: diferența $a_{n + 1} - a_{n}$ este aceeași pentru orice $n$ . Ca s-o verifici, trebuie să compari o diferență cu următoarea:

$a_{n + 1} - a_{n} = a_{n + 2} - a_{n + 1} .$

Dar această egalitate poate fi rescrisă. Trecând totul de-o parte și de alta,

$2 a_{n + 1} = a_{n} + a_{n + 2}, adic \overset{a}{˘} a_{n + 1} = \frac{a _{n} + a _{n + 2}}{2} .$

Iată criteriul: fiecare termen este media aritmetică a vecinilor săi. De aici vine și numele istoric al progresiei aritmetice. Este exact aceeași condiție, doar rescrisă — dar rescrierea o transformă într-o egalitate cu trei numere, deci într-o ecuație utilizabilă.

2. Teorema de caracterizare a progresiei aritmetice

Teoremă. Un șir $(a_{n})_{n \geq 1}$ de numere reale este progresie aritmetică dacă și numai dacă

$2 a_{n + 1} = a_{n} + a_{n + 2} pentru orice n \geq 1.$

Fiind o echivalență, demonstrația are două părți. Reține structura: la „dacă și numai dacă" se demonstrează întotdeauna ambele implicații, cum ai văzut în lecția Echivalența: dacă și numai dacă.

Demonstrația implicației directe („ $\Rightarrow$ "). Presupunem că $(a_{n})$ este progresie aritmetică de rație $r$ . Atunci, prin definiție, $a_{n + 1} = a_{n} + r$ și $a_{n + 2} = a_{n + 1} + r$ pentru orice $n$ . Adunăm cele două relații membru cu membru… sau, mai simplu, calculăm direct suma vecinilor:

$a_{n} + a_{n + 2} = (a_{n + 1} - r) + (a_{n + 1} + r) = 2 a_{n + 1} .$

Relația cerută are loc pentru orice $n \geq 1$ . ✓

Demonstrația implicației reciproce („ $\Leftarrow$ "). Presupunem acum că $2 a_{n + 1} = a_{n} + a_{n + 2}$ pentru orice $n \geq 1$ și vrem să arătăm că șirul este progresie aritmetică, adică toate diferențele consecutive sunt egale. Rescriem ipoteza mutând termenii:

$a_{n + 2} - a_{n + 1} = a_{n + 1} - a_{n} pentru orice n \geq 1.$

Notăm $d_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ diferența de rang $n$ . Relația de mai sus spune exact că $d_{n + 1} = d_{n}$ pentru orice $n$ , deci șirul diferențelor este constant: $d_{1} = d_{2} = d_{3} = \dots$ Notând cu $r$ valoarea comună, avem $a_{n + 1} - a_{n} = r$ pentru orice $n$ , adică $(a_{n})$ este progresie aritmetică de rație $r$ . $■$

Observă că a doua implicație e cea care face criteriul util: ea îți dă dreptul să concluzionezi că un șir e progresie, verificând doar relația dintre trei termeni consecutivi — dar pentru toate valorile lui $n$ , nu pentru una singură. La acest cuvânt vom reveni.

3. Teorema de caracterizare a progresiei geometrice

Facem același drum pentru progresia geometrică. Definiția, din lecția Progresia geometrică și rația, cere ca raportul $\frac{b _{n + 1}}{b _{n}}$ să fie constant. Egalând două rapoarte consecutive,

$\frac{b _{n + 1}}{b _{n}} = \frac{b _{n + 2}}{b _{n + 1}} ⟺ b_{n + 1}^{2} = b_{n} \cdot b_{n + 2} .$

Teoremă. Un șir $(b_{n})_{n \geq 1}$ cu toți termenii nenuli este progresie geometrică dacă și numai dacă

$b_{n + 1}^{2} = b_{n} \cdot b_{n + 2} pentru orice n \geq 1.$

Demonstrația implicației directe. Dacă $(b_{n})$ e progresie geometrică de rație $q$ , atunci $b_{n + 1} = b_{n} q$ și $b_{n + 2} = b_{n} q^{2}$ , deci

$b_{n} \cdot b_{n + 2} = b_{n} \cdot b_{n} q^{2} = (b_{n} q)^{2} = b_{n + 1}^{2} . ✓$

Demonstrația implicației reciproce. Presupunem $b_{n + 1}^{2} = b_{n} b_{n + 2}$ pentru orice $n$ , cu toți termenii nenuli. Împărțim relația la $b_{n} b_{n + 1}$ — operație permisă tocmai pentru că numitorii sunt nenuli:

$\frac{b _{n + 1}^{2}}{b _{n} b _{n + 1}} = \frac{b _{n} b _{n + 2}}{b _{n} b _{n + 1}} ⟺ \frac{b _{n + 1}}{b _{n}} = \frac{b _{n + 2}}{b _{n + 1}} .$

Notând $q_{n} = \frac{b _{n + 1}}{b _{n}}$ , relația spune că $q_{n + 1} = q_{n}$ pentru orice $n$ , deci rapoartele sunt toate egale cu o aceeași valoare $q$ . Prin urmare $b_{n + 1} = b_{n} q$ pentru orice $n$ : șirul este progresie geometrică de rație $q$ . $■$

4. De ce ipoteza „termeni nenuli" nu poate fi scoasă

Ipoteza nu e o precauție decorativă. Fără ea, teorema devine falsă, iar contraexemplul e la îndemână: șirul

$1, 0, 0, 0, \dots$

Verificăm relația: pentru primul triplet, $0^{2} = 1 \cdot 0 = 0$ ✓; pentru toate celelalte, $0^{2} = 0 \cdot 0 = 0$ ✓. Așadar egalitatea $b_{n + 1}^{2} = b_{n} b_{n + 2}$ are loc pentru orice $n$ . Și totuși șirul nu este progresie geometrică: raportul $\frac{b _{2}}{b _{1}} = 0$ , iar $\frac{b _{3}}{b _{2}}$ nici măcar nu se poate calcula.

Motivul tehnic apare limpede în demonstrație: acolo am împărțit la $b_{n} b_{n + 1}$ . Dacă vreun termen e zero, împărțirea e interzisă și lanțul de deduceri se rupe exact acolo. De aceea, la orice problemă în care aplici caracterizarea geometrică, verifici întâi că termenii sunt nenuli — iar dacă enunțul dă un parametru, verifici că soluția găsită nu anulează vreun termen.

5. $b^{2} = a c$ , nu $b = a c$

Mulți elevi rețin caracterizarea sub forma „termenul din mijloc este media geometrică a vecinilor", adică $b = a c$ . Formularea e periculoasă, pentru că nu e echivalentă cu cea corectă.

Ia numerele $1, - 2, 4$ . Sunt ele în progresie geometrică? Rapoartele: $\frac{- 2}{1} = - 2$ și $\frac{4}{- 2} = - 2$ — egale, deci da, este o progresie geometrică de rație $q = - 2$ . Verificăm și criteriul pătratic: $(- 2)^{2} = 4 = 1 \cdot 4$ ✓. Dar formula cu radical dă $1 \cdot 4 = 2 \neq = - 2$ : ea „pierde" soluția.

Explicația: rădăcina pătrată este, prin definiție, numărul nenegativ al cărui pătrat dă numărul de sub radical. Ecuația $b^{2} = a c$ are însă două soluții, $b = \pm a c$ , iar la progresii geometrice cu rație negativă termenul din mijloc este cel negativ.

Reține deci varianta corectă și completă:

forma general valabilă: $b^{2} = a c$ ;
forma cu radical, $b = a c$ , este corectă doar pentru progresii cu termeni pozitivi.

Aceasta explică și de ce, la exerciții de tipul „determinați $x$ astfel încât $2, x, 18$ să fie în progresie geometrică", răspunsul are două valori: din $x^{2} = 36$ obținem $x = 6$ (progresia $2, 6, 18$ , cu $q = 3$ ) și $x = - 6$ (progresia $2, - 6, 18$ , cu $q = - 3$ ). Ambele sunt corecte, iar pierderea uneia costă punctaj.

6. Capcana verificării unui singur triplet

Teoremele spun „pentru orice $n$ ". Dacă verifici relația pentru un singur $n$ , nu ai demonstrat nimic despre șir — ai aflat doar că trei termeni ai lui sunt în progresie.

Contraexemplu pentru cazul aritmetic: șirul $1, 3, 5, 9$ . Primul triplet trece testul: $2 \cdot 3 = 6 = 1 + 5$ ✓. Al doilea nu: $2 \cdot 5 = 10$ , dar $3 + 9 = 12$ ✗. Șirul nu este progresie aritmetică.

Contraexemplu pentru cazul geometric: șirul $1, 2, 4, 7$ . Primul triplet: $2^{2} = 4 = 1 \cdot 4$ ✓. Al doilea: $4^{2} = 16$ , dar $2 \cdot 7 = 14$ ✗. Nu este progresie geometrică.

Distincția e importantă și în redactare. Când ți se cere „arătați că șirul $(a_{n})$ este progresie aritmetică", trebuie să verifici relația cu $n$ generic, nu pe câteva cazuri. De exemplu, pentru $a_{n} = 3 n - 4$ :

$a_{n} + a_{n + 2} = (3 n - 4) + (3 (n + 2) - 4) = 6 n - 2, 2 a_{n + 1} = 2 (3 (n + 1) - 4) = 6 n - 2,$

egale pentru orice $n$ — deci șirul este progresie aritmetică (de rație $3$ ). Când, în schimb, ți se cere „arătați că numerele $2, 5, 8$ sunt în progresie aritmetică", ai de verificat un singur triplet, și atât.

7. Trei numere în progresie: notațiile economice

Când problema cere trei numere în progresie despre care se știe suma sau produsul, alegerea notației scurtează enorm calculele.

Pentru progresie aritmetică, notează termenii cu $a - r, a, a + r$ . Atunci suma lor este $3 a$ — rația dispare! Exemplu: trei numere în progresie aritmetică au suma $15$ și produsul $80$ . Din $3 a = 15$ obținem $a = 5$ ; apoi

$(5 - r) \cdot 5 \cdot (5 + r) = 80 ⟹ 25 - r^{2} = 16 ⟹ r^{2} = 9 ⟹ r = \pm 3.$

Numerele sunt $2, 5, 8$ (sau, în ordine inversă, $8, 5, 2$ ).

Pentru progresie geometrică, notează termenii cu $\frac{b}{q}, b, b q$ . Atunci produsul lor este $b^{3}$ — rația dispare din nou. Exemplu: trei numere în progresie geometrică au produsul $64$ și suma $14$ . Din $b^{3} = 64$ obținem $b = 4$ ; apoi $\frac{4}{q} + 4 + 4 q = 14$ , adică $4 + 4 q^{2} = 10 q$ , adică $2 q^{2} - 5 q + 2 = 0$ , cu soluțiile $q = 2$ și $q = \frac{1}{2}$ . În ambele cazuri numerele sunt $2, 4, 8$ , doar ordinea diferă.

Aceste notații sunt „trucul casei" la problemele cu trei numere în progresie și apar constant în subiectele de examen.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Verificarea prin caracterizare

Verificați, folosind caracterizarea, dacă numerele sunt în progresie aritmetică sau geometrică: a) $- 4, 1, 6$ ; b) $3, 6, 12$ ; c) $2, 6, 20$ .

Rezolvare. a) $2 \cdot 1 = 2$ și $- 4 + 6 = 2$ — egale, deci sunt în progresie aritmetică (rația $5$ ). Testul geometric: $1^{2} = 1$ , iar $(- 4) \cdot 6 = - 24$ — diferite, deci nu sunt în progresie geometrică.

b) $2 \cdot 6 = 12$ , iar $3 + 12 = 15$ — diferite, deci nu sunt în progresie aritmetică. Testul geometric: $6^{2} = 36 = 3 \cdot 12$ ✓ — sunt în progresie geometrică (rația $2$ ).

c) $2 \cdot 6 = 12 \neq = 2 + 20 = 22$ și $6^{2} = 36 \neq = 2 \cdot 20 = 40$ — niciuna.

Exemplul 2 — Termenul din mijloc

Determinați numerele reale $x$ pentru care $2, x, 18$ sunt: a) în progresie aritmetică; b) în progresie geometrică.

Rezolvare. a) Condiția $2 x = 2 + 18 = 20$ dă $x = 10$ . Progresia este $2, 10, 18$ , cu rația $8$ .

b) Condiția $x^{2} = 2 \cdot 18 = 36$ dă $x = 6$ sau $x = - 6$ . Ambele valori sunt acceptabile: pentru $x = 6$ avem progresia $2, 6, 18$ de rație $3$ ; pentru $x = - 6$ avem $2, - 6, 18$ de rație $- 3$ . (Toți termenii sunt nenuli, deci ipoteza teoremei e îndeplinită.)

Reține: la cazul aritmetic soluția este unică, la cel geometric sunt de regulă două.

Exemplul 3 — Determinarea unui parametru, cazul aritmetic

Determinați numărul real $x$ pentru care numerele $x - 3$ , $x$ și $2 x - 4$ sunt, în această ordine, în progresie aritmetică.

Rezolvare. Aplicăm caracterizarea: dublul termenului din mijloc este suma vecinilor.

$2 x = (x - 3) + (2 x - 4) ⟹ 2 x = 3 x - 7 ⟹ x = 7.$

Verificare: numerele devin $4, 7, 10$ , care sunt într-adevăr în progresie aritmetică, de rație $3$ . ✓

Verificarea nu e opțională: ea confirmă și că nu am făcut o greșeală de calcul, și că soluția respectă eventualele condiții din enunț.

Exemplul 4 — Determinarea unui parametru, cazul geometric

Determinați numerele reale $x$ pentru care $x$ , $x + 4$ și $9 x$ sunt, în această ordine, în progresie geometrică.

Rezolvare. Caracterizarea dă $(x + 4)^{2} = x \cdot 9 x$ , adică

$x^{2} + 8 x + 16 = 9 x^{2} ⟹ 8 x^{2} - 8 x - 16 = 0 ⟹ x^{2} - x - 2 = 0,$

cu soluțiile $x = 2$ și $x = - 1$ .

Verificăm ambele. Pentru $x = 2$ : numerele sunt $2, 6, 18$ , cu rapoartele $3$ și $3$ ✓. Pentru $x = - 1$ : numerele sunt $- 1, 3, - 9$ , cu rapoartele $- 3$ și $- 3$ ✓. Niciunul dintre termeni nu este nul în cele două cazuri, deci ambele soluții sunt valide.

Atenție: dacă o soluție ar fi dat un termen egal cu zero (aici, $x = 0$ ), ea ar fi trebuit eliminată, pentru că o progresie geometrică nu poate avea termeni nuli.

Exemplul 5 — Trei numere cu sumă și produs date

Trei numere sunt în progresie aritmetică, au suma $15$ și produsul $80$ . Determinați numerele.

Rezolvare. Notăm numerele cu $a - r$ , $a$ , $a + r$ — notația care face rația să dispară din sumă.

Din sumă: $(a - r) + a + (a + r) = 3 a = 15$ , deci $a = 5$ .

Din produs: $(5 - r) \cdot 5 \cdot (5 + r) = 80$ , adică $5 (25 - r^{2}) = 80$ , deci $25 - r^{2} = 16$ și $r^{2} = 9$ , de unde $r = 3$ sau $r = - 3$ .

Numerele sunt $2, 5, 8$ (pentru $r = 3$ ) sau $8, 5, 2$ (pentru $r = - 3$ ) — aceleași trei numere, în ordine inversă. Verificare: $2 + 5 + 8 = 15$ și $2 \cdot 5 \cdot 8 = 80$ ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Determinați numărul real $x$ pentru care numerele $x + 1$ , $2 x + 1$ și $4 x - 1$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Rezolvare. Numerele fiind termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice, dublul termenului din mijloc este egal cu suma celorlalte două:

$2 (2 x + 1) = (x + 1) + (4 x - 1) .$

Desfacem parantezele: $4 x + 2 = 5 x$ , de unde $x = 2$ .

Verificare. Pentru $x = 2$ numerele sunt $3$ , $5$ , $7$ : diferențele sunt $2$ și $2$ , deci sunt într-adevăr termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice de rație $2$ . $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare problemă cu parametru, scrie explicit caracterizarea folosită înainte de calcul și verifică soluțiile la final — la progresii geometrice, verifică și că niciun termen nu devine zero.

1. Verifică prin caracterizare dacă numerele sunt în progresie aritmetică: a) $3, 7, 11$ ; b) $2, 5, 9$ ; c) $- 4, 1, 6$ .

2. Verifică prin caracterizare dacă numerele sunt în progresie geometrică: a) $3, 6, 12$ ; b) $2, 6, 20$ ; c) $1, - 2, 4$ .

3. Determină $x$ real astfel încât $2, x, 18$ să fie în progresie aritmetică.

4. Determină toate valorile reale ale lui $x$ pentru care $2, x, 18$ sunt în progresie geometrică.

5. Determină $x$ real astfel încât $x - 3$ , $x$ , $2 x - 4$ să fie în progresie aritmetică.

6. Determină toate valorile reale ale lui $x$ pentru care $x$ , $x + 4$ , $9 x$ sunt în progresie geometrică.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă pentru trei numere reale $a$ , $b$ , $c$ avem $b^{2} = a c$ , atunci ele sunt în progresie geometrică."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă într-un șir există trei termeni consecutivi cu $2 a_{2} = a_{1} + a_{3}$ , atunci șirul este progresie aritmetică."

9. Arată, folosind caracterizarea cu $n$ generic, că șirul $a_{n} = 3 n - 4$ este progresie aritmetică și precizează rația.

10. Arată, folosind caracterizarea cu $n$ generic, că șirul $b_{n} = 2 \cdot 3^{n}$ este progresie geometrică și precizează rația.

11. (Problemă aplicată.) Trei bare metalice au lungimile în progresie aritmetică, suma lungimilor $15$ metri și produsul $80$ . Determină lungimile.

12. Trei numere sunt în progresie geometrică, au produsul $64$ și suma $14$ . Determină numerele.

13. Arată că laturile triunghiului dreptunghic de dimensiuni $3$ , $4$ , $5$ sunt în progresie aritmetică. Arată apoi că numerele $2$ , $4$ , $8$ (în progresie geometrică) nu pot fi lungimile laturilor unui triunghi.

14. Demonstrează implicația directă a teoremei de caracterizare a progresiei aritmetice: dacă $(a_{n})$ este progresie aritmetică de rație $r$ , atunci $2 a_{n + 1} = a_{n} + a_{n + 2}$ pentru orice $n \geq 1$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Determinați numărul real $x$ pentru care numerele $x + 1$ , $2 x + 1$ și $4 x - 1$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

16. Fie $a$ , $b$ , $c$ trei numere pozitive în progresie geometrică. Arată că $b = a c$ . Dă apoi un exemplu de trei numere în progresie geometrică pentru care egalitatea $b = a c$ este falsă și explică de ce.

17. Fie $a$ , $b$ , $c$ , $d$ patru numere reale. Scrie, folosind caracterizarea, condițiile necesare și suficiente ca ele să fie, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. Aplică apoi condițiile pentru $1, 4, 7, 10$ .

18. (Provocare.) Fie $a$ , $b$ , $c$ trei numere reale nenule care sunt în același timp în progresie aritmetică și în progresie geometrică. Demonstrează că $a = b = c$ .

Răspunsuri și explicații

1. a) $2 \cdot 7 = 14 = 3 + 11$ ✓ — sunt în progresie aritmetică, $r = 4$ . b) $2 \cdot 5 = 10 \neq = 2 + 9 = 11$ ✗ — nu sunt. c) $2 \cdot 1 = 2 = - 4 + 6$ ✓ — sunt, $r = 5$ .

2. a) $6^{2} = 36 = 3 \cdot 12$ ✓ — sunt în progresie geometrică, $q = 2$ . b) $6^{2} = 36 \neq = 2 \cdot 20 = 40$ ✗ — nu sunt. c) $(- 2)^{2} = 4 = 1 \cdot 4$ ✓ — sunt, cu rația $q = - 2$ (rație negativă, deci termenii alternează ca semn).

3. $2 x = 2 + 18 = 20$ , deci $x = 10$ . Progresia: $2, 10, 18$ , cu $r = 8$ .

4. $x^{2} = 2 \cdot 18 = 36$ , deci $x = 6$ sau $x = - 6$ . Ambele convin: $2, 6, 18$ cu $q = 3$ , respectiv $2, - 6, 18$ cu $q = - 3$ . Uitarea soluției negative este cea mai frecventă pierdere de punctaj la acest tip de exercițiu.

5. $2 x = (x - 3) + (2 x - 4) = 3 x - 7$ , deci $x = 7$ , iar numerele sunt $4, 7, 10$ (rația $3$ ). ✓

6. $(x + 4)^{2} = 9 x^{2} \Rightarrow x^{2} - x - 2 = 0 \Rightarrow x \in {2, - 1}$ . Pentru $x = 2$ : $2, 6, 18$ (rația $3$ ); pentru $x = - 1$ : $- 1, 3, - 9$ (rația $- 3$ ). Ambele soluții au toți termenii nenuli, deci ambele sunt valide.

7. Fals, fără ipoteza suplimentară că numerele sunt nenule. Contraexemplu: $a = 1$ , $b = 0$ , $c = 0$ verifică $0^{2} = 1 \cdot 0$ , dar $1, 0, 0$ nu este progresie geometrică (raportul $b : a$ ar fi $0$ , iar $c : b$ nu se poate calcula). Cu ipoteza „toate nenule", afirmația devine adevărată.

8. Fals. Relația verificată pentru un singur triplet nu spune nimic despre restul șirului. Contraexemplu: $1, 3, 5, 9$ — primul triplet dă $2 \cdot 3 = 6 = 1 + 5$ ✓, dar al doilea dă $2 \cdot 5 = 10 \neq = 3 + 9 = 12$ ✗. Teorema cere relația pentru orice $n$ .

9. $a_{n} + a_{n + 2} = (3 n - 4) + (3 n + 2) = 6 n - 2$ , iar $2 a_{n + 1} = 2 (3 n - 1) = 6 n - 2$ . Fiind egale pentru orice $n \geq 1$ , șirul este progresie aritmetică; rația este $a_{n + 1} - a_{n} = 3$ .

10. $b_{n + 1}^{2} = (2 \cdot 3^{n + 1})^{2} = 4 \cdot 3^{2 n + 2}$ , iar $b_{n} b_{n + 2} = 2 \cdot 3^{n} \cdot 2 \cdot 3^{n + 2} = 4 \cdot 3^{2 n + 2}$ . Egale pentru orice $n$ , iar toți termenii sunt nenuli, deci șirul este progresie geometrică de rație $q = 3$ .

11. Notăm lungimile $a - r$ , $a$ , $a + r$ . Suma: $3 a = 15 \Rightarrow a = 5$ . Produsul: $5 (25 - r^{2}) = 80 \Rightarrow r^{2} = 9 \Rightarrow r = \pm 3$ . Lungimile sunt $2$ , $5$ și $8$ metri. Verificare: suma $15$ , produsul $80$ ✓.

12. Notăm numerele $\frac{b}{q}$ , $b$ , $b q$ . Produsul: $b^{3} = 64 \Rightarrow b = 4$ . Suma: $\frac{4}{q} + 4 + 4 q = 14 \Rightarrow 4 + 4 q^{2} = 10 q \Rightarrow 2 q^{2} - 5 q + 2 = 0 \Rightarrow q \in {2, \frac{1}{2}}$ . Numerele sunt $2$ , $4$ , $8$ (în ordine crescătoare pentru $q = 2$ , descrescătoare pentru $q = \frac{1}{2}$ ).

13. Pentru $3, 4, 5$ : $2 \cdot 4 = 8 = 3 + 5$ ✓, deci laturile sunt în progresie aritmetică, cu rația $1$ . Pentru $2, 4, 8$ : inegalitatea triunghiului cere ca suma celor două laturi mai mici să depășească latura mare, dar $2 + 4 = 6 < 8$ , deci nu există un asemenea triunghi. (Este un fenomen general: progresia geometrică „crește prea repede" ca termenii ei consecutivi să poată fi laturi ale unui triunghi, dacă rația e destul de mare.)

14. Fie $(a_{n})$ progresie aritmetică de rație $r$ . Atunci $a_{n} = a_{n + 1} - r$ și $a_{n + 2} = a_{n + 1} + r$ , deci $a_{n} + a_{n + 2} = (a_{n + 1} - r) + (a_{n + 1} + r) = 2 a_{n + 1}$ , pentru orice $n \geq 1$ . $■$

15. $2 (2 x + 1) = (x + 1) + (4 x - 1) \Rightarrow 4 x + 2 = 5 x \Rightarrow x = 2$ . Numerele devin $3, 5, 7$ , cu diferențele $2$ și $2$ ✓.

16. Dacă $a$ , $b$ , $c$ sunt pozitive și în progresie geometrică, atunci $b^{2} = a c$ ; cum $b > 0$ , rădăcina pătrată a lui $b^{2}$ este chiar $b$ , deci $b = a c$ . Contraexemplu în afara ipotezei de pozitivitate: $1, - 2, 4$ este progresie geometrică (rația $- 2$ ), dar $1 \cdot 4 = 2 \neq = - 2$ . Motivul: radicalul dă întotdeauna valoarea nenegativă, pe când ecuația $b^{2} = a c$ are două soluții.

17. Condițiile sunt $2 b = a + c$ și $2 c = b + d$ — două relații, câte una pentru fiecare triplet de termeni consecutivi. Pentru $1, 4, 7, 10$ : $2 \cdot 4 = 8 = 1 + 7$ ✓ și $2 \cdot 7 = 14 = 4 + 10$ ✓, deci numerele sunt în progresie aritmetică (rația $3$ ). În general, pentru $n$ numere sunt necesare $n - 2$ astfel de condiții.

18. Din cele două ipoteze avem simultan $2 b = a + c$ și $b^{2} = a c$ . Așadar numerele $a$ și $c$ au suma $2 b$ și produsul $b^{2}$ , deci sunt soluțiile ecuației de gradul al doilea

$t^{2} - 2 b t + b^{2} = 0, adic \overset{a}{˘} (t - b)^{2} = 0.$

Ecuația are soluția dublă $t = b$ , deci $a = c = b$ , adică $a = b = c$ . $■$ (Regăsim, pe altă cale, rezultatul cunoscut: singurele șiruri care sunt simultan progresie aritmetică și geometrică sunt cele constante.)

De reținut

Caracterizarea progresiei aritmetice: un șir $(a_{n})$ este progresie aritmetică dacă și numai dacă $2 a_{n + 1} = a_{n} + a_{n + 2}$ pentru orice $n$ — fiecare termen este media aritmetică a vecinilor săi.
Caracterizarea progresiei geometrice: un șir $(b_{n})$ cu termeni nenuli este progresie geometrică dacă și numai dacă $b_{n + 1}^{2} = b_{n} \cdot b_{n + 2}$ pentru orice $n$ .
Forma corectă a criteriului geometric este cea pătratică; egalitatea $b = a c$ este valabilă doar pentru termeni pozitivi, pentru că radicalul dă exclusiv valoarea nenegativă.
Ambele teoreme sunt echivalențe: se demonstrează în două sensuri, iar concluzia „șirul este progresie" cere verificarea relației pentru orice $n$ , nu pentru un singur triplet.
La trei numere în progresie cu sumă sau produs date, folosește notațiile $a - r, a, a + r$ (suma devine $3 a$ ), respectiv $\frac{b}{q}, b, b q$ (produsul devine $b^{3}$ ).

Greșeli frecvente

Uitarea soluției negative. Din $x^{2} = 36$ rezultă $x = 6$ și $x = - 6$ ; ambele dau progresii geometrice valide, cu rații opuse. Scrierea doar a valorii pozitive pierde jumătate din răspuns.
Aplicarea criteriului geometric fără verificarea nenulității. Șirul $1, 0, 0$ satisface relația, dar nu e progresie geometrică. Dacă enunțul are parametru, elimină valorile care anulează vreun termen.
Verificarea unui singur triplet. Din $2 a_{2} = a_{1} + a_{3}$ nu rezultă că întregul șir e progresie aritmetică — vezi contraexemplul $1, 3, 5, 9$ . La cerințe cu „șirul", lucrează cu $n$ generic.
Confuzia dintre caracterizare și definiție. Caracterizarea nu înlocuiește definiția, ci este echivalentă cu ea; a scrie „progresia aritmetică este șirul în care $2 a_{n + 1} = a_{n} + a_{n + 2}$ " ca definiție e acceptabil doar dacă ai demonstrat echivalența.
Demonstrarea unei singure implicații. La un enunț „dacă și numai dacă", o singură implicație nu ajunge. Baremele de la Bacalaureat punctează separat cele două sensuri.

Aplică acasă

Detectorul de mijloc. Ia din presă sau de pe internet cinci valori consecutive ale unui indicator (temperaturi, prețuri, număr de vizitatori). Verifică pentru fiecare triplet consecutiv relația $2 a_{n + 1} = a_{n} + a_{n + 2}$ și notează cât de mult se abat datele reale de la egalitate. Discută dacă modelul aritmetic e o aproximare rezonabilă.
Trei numere, un joc. Provoacă pe cineva din familie: „gândește-te la trei numere consecutive dintr-o progresie aritmetică și spune-mi doar suma lor". Din sumă afli imediat termenul din mijloc (suma împărțită la $3$ ) — explică-i de ce funcționează trucul, folosind notația $a - r, a, a + r$ .
Probleme cu parametru, construite de tine. Alege o valoare a lui $x$ și trei expresii liniare care, pentru acel $x$ , dau numere în progresie aritmetică. Scrie enunțul ca la examen („determinați $x$ real astfel încât…") și dă-l unui coleg spre rezolvare. Repetă apoi cu o progresie geometrică și observă că, de data aceasta, exercițiul tău va avea de regulă două soluții.

Pentru părinți și profesori

Lecția este specifică programei de matematică-informatică: trunchiul comun se oprește la termen general și sumă, în timp ce specializarea cere caracterizarea progresiei prin relația dintre orice trei termeni consecutivi. Valoarea ei este dublă — pe de o parte oferă un criteriu practic de recunoaștere, pe de altă parte este prima ocazie în care elevul demonstrează o echivalență completă, cu ambele implicații scrise separat.

Ce verifică lecția: enunțarea corectă a celor două teoreme (inclusiv ipoteza de nenulitate la cea geometrică), redactarea ambelor implicații, aplicarea criteriului la determinarea unui parametru, discuția completă a soluțiilor (inclusiv cea negativă la cazul geometric) și folosirea notațiilor economice la probleme cu sumă și produs. Întrebări bune de control: „De ce nu putem scrie $b = a c$ în general?"; „Ce se strică în demonstrație dacă un termen e zero?"; „Ajunge să verific relația pentru primii trei termeni?".

Semne că elevul a înțeles: scrie caracterizarea înainte de calcul, verifică soluțiile obținute în enunțul inițial, nu pierde soluția negativă la progresii geometrice și distinge între „aceste trei numere sunt în progresie" și „șirul este progresie". La Bacalaureat (M1), tipul de cerință din Exemplul 6 apare frecvent la subiectul I sau II, iar rezolvarea completă înseamnă ecuație, soluție și verificare.

Întrebări frecvente

Cum verific rapid dacă trei numere sunt în progresie aritmetică? Verifici dacă dublul numărului din mijloc este egal cu suma celorlalte două: $2 b = a + c$ . Dacă egalitatea are loc, numerele sunt în progresie aritmetică, iar rația este $b - a$ . Este exact formularea „numărul din mijloc este media aritmetică a vecinilor".

Care este condiția ca trei numere să fie în progresie geometrică? Pătratul numărului din mijloc trebuie să fie egal cu produsul celorlalte două: $b^{2} = a c$ , cu toate numerele nenule. Din această egalitate rezultă că raportul dintre termeni consecutivi este același, deci numerele sunt în progresie geometrică.

De ce se scrie $b^{2} = a c$ și nu $b = a c$ ? Pentru că radicalul dă întotdeauna valoarea nenegativă, iar termenul din mijloc poate fi negativ: numerele $1, - 2, 4$ sunt în progresie geometrică de rație $- 2$ , dar $1 \cdot 4 = 2 \neq = - 2$ . Forma cu radical este corectă doar când toți termenii sunt pozitivi.

De ce se cere ca termenii să fie nenuli la caracterizarea geometrică? Pentru că în demonstrație se împarte la termeni, iar împărțirea la zero este interzisă. Fără această ipoteză, teorema devine falsă: șirul $1, 0, 0, 0, \dots$ satisface relația $b_{n + 1}^{2} = b_{n} b_{n + 2}$ , dar nu este progresie geometrică.

Este suficient să verific relația pentru primii trei termeni? Nu, dacă vrei să concluzionezi despre întregul șir. Teorema cere relația pentru orice $n$ . Contraexemplu: în șirul $1, 3, 5, 9$ primul triplet trece testul, dar al doilea nu, deci șirul nu este progresie aritmetică.

Cum determin un parametru dintr-o condiție de progresie? Scrii caracterizarea potrivită ( $2 b = a + c$ sau $b^{2} = a c$ ), înlocuiești expresiile date, rezolvi ecuația obținută și verifici fiecare soluție în enunțul inițial. La cazul geometric, elimini soluțiile care fac vreun termen egal cu zero.

De ce se notează cele trei numere cu $a - r$ , $a$ , $a + r$ ? Pentru că astfel suma lor devine $3 a$ , iar rația dispare din prima ecuație — obții imediat termenul din mijloc. Analog, la progresii geometrice notația $\frac{b}{q}, b, b q$ face produsul egal cu $b^{3}$ , deci termenul din mijloc se află direct.

Unde apare caracterizarea progresiilor la Bacalaureat? În cerințele de tipul „determinați numărul real $x$ pentru care numerele … sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice (sau geometrice)" și în probleme cu trei numere despre care se dau suma și produsul. Rezolvarea completă cere scrierea condiției, rezolvarea ecuației și verificarea soluțiilor.