Dreapta $$d$$ este asimptotă la graficul funcției $$f$$ dacă:

distanța de la punctul $$M\big(x, f(x)\big)$$ la $$d$$ tinde la zero când $$x$$ merge spre un capăt al domeniului

graficul lui $$f$$ nu intersectează niciodată dreapta $$d$$

funcția $$f$$ nu este definită în punctele dreptei $$d$$

dreapta $$d$$ este tangentă la graficul lui $$f$$

Pentru $$f(x) = \dfrac{x^2 - 3x - 10}{x - 5}$$, dreapta $$x = 5$$:

nu este asimptotă verticală, fiindcă limita în $$5$$ este $$7$$

este asimptotă verticală bilaterală

este asimptotă verticală numai la stânga

Graficul funcției $$f(x) = \dfrac{3x - 6}{x^2 + 9}$$ are asimptota orizontală $$y = 0$$. Graficul:

o intersectează în punctul de abscisă $$2$$

o intersectează în două puncte

nu are, de fapt, asimptotă orizontală

Ce condiție riguroasă definește o asimptotă?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Ce este o asimptotă

Cerința este ca punctul $M (x, f (x))$ să ajungă oricât de aproape de dreaptă pe măsură ce $x$ se îndreaptă spre un capăt al domeniului, adică distanța dintre ele să aibă limita zero. Formularea cuprinde deodată cele trei tipuri și lămurește o confuzie veche: apropierea nu înseamnă evitare, așa că graficul are voie să taie dreapta, chiar de o infinitate de ori. Candidații se caută doar acolo unde domeniul se sfârșește ori unde funcția are o discontinuitate.

Asimptota la graficul funcției $f$ este o dreaptă de care punctele graficului se apropie oricât de mult atunci când $x$ merge spre un capăt al domeniului; condiția riguroasă este ca distanța de la punctul $M (x, f (x))$ la dreaptă să tindă la zero. Definiția aceasta închide promisiunea făcută la clasa a IX-a și dă nume unor limite calculate deja la clasa a XI-a. Există trei tipuri: asimptota orizontală, dreapta $y = ℓ$ , cu $ℓ$ limita finită la un capăt infinit; asimptota oblică, dreapta $y = m x + n$ cu $m \neq = 0$ ; asimptota verticală, dreapta $x = a$ , dată de o limită laterală infinită. Asimptotele se caută exclusiv la capetele domeniului și în punctele de discontinuitate — niciodată într-un punct interior în care $f$ este continuă. „Se apropie” nu înseamnă „nu atinge”: graficul are voie să intersecteze o asimptotă, chiar de o infinitate de ori. O valoare interzisă este doar un candidat: dacă limita acolo este finită, graficul are o gaură, nu o asimptotă. O funcție are cel mult două asimptote neverticale, câte una spre fiecare capăt, dar poate avea oricâte verticale. Răspunsul complet este o listă de drepte cu ecuațiile lor și cu capătul precizat.

De reținut

asimptotă: distanța de la $M (x, f (x))$ la dreaptă tinde la zero
candidații: capetele domeniului și punctele în care funcția e discontinuă
cel mult două asimptote neverticale, dar oricâte verticale

Greșeala tipică

Se crede că graficul nu are voie să atingă asimptota. Definiția cere numai apropierea, iar raportul dintre sinus și argument traversează dreapta $y = 0$ de nenumărate ori.

Exerciții din această mini-lecție

Dreapta $d$ este asimptotă la graficul funcției $f$ dacă:
- a) graficul lui $f$ nu intersectează niciodată dreapta $d$
- b) distanța de la punctul $M (x, f (x))$ la $d$ tinde la zero când $x$ merge spre un capăt al domeniului
- c) funcția $f$ nu este definită în punctele dreptei $d$
- d) dreapta $d$ este tangentă la graficul lui $f$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) distanța de la punctul $M (x, f (x))$ la $d$ tinde la zero când $x$ merge spre un capăt al domeniului

Definiția cere apropierea, nu evitarea: distanța de la punctul curent al graficului la dreaptă tinde la zero. De aceea varianta a este falsă — graficul funcției $\frac{sin x}{x}$ își taie asimptota $y = 0$ de o infinitate de ori. Varianta c confundă asimptota cu valorile interzise, iar varianta d confundă apropierea la infinit cu atingerea într-un punct.
Pentru $f (x) = \frac{x ^{2} - 3 x - 10}{x - 5}$ , dreapta $x = 5$ :
- a) este asimptotă verticală bilaterală
- b) este asimptotă orizontală
- c) este asimptotă verticală numai la stânga
- d) nu este asimptotă verticală, fiindcă limita în $5$ este $7$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) nu este asimptotă verticală, fiindcă limita în $5$ este $7$

Simplificăm întâi fracția: $\frac{( x - 5 ) ( x + 2 )}{x - 5} = x + 2$ pentru $x \neq = 5$ , deci ambele limite laterale în $5$ sunt egale cu $7$ . Valoarea $5$ lipsește din domeniu, dar limita este finită, așa că graficul are o gaură în punctul $(5, 7)$ , nu o asimptotă. Valoarea interzisă este doar un candidat: asimptota apare numai dacă o limită laterală iese infinită.
Graficul funcției $f (x) = \frac{3 x - 6}{x ^{2} + 9}$ are asimptota orizontală $y = 0$ . Graficul:
- a) o intersectează în punctul de abscisă $2$
- b) nu o poate intersecta
- c) o intersectează în două puncte
- d) nu are, de fapt, asimptotă orizontală
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) o intersectează în punctul de abscisă $2$

Numitorul are grad mai mare decât numărătorul, deci limita la ambele capete este $0$ și $y = 0$ este asimptotă orizontală. Intersecția cu ea se obține din $f (x) = 0$ , adică $3 x - 6 = 0$ , deci $x = 2$ — un singur punct. Definiția rămâne îndeplinită, fiindcă distanța tinde tot la zero: o asimptotă poate fi atinsă.

Întrebări conexe

Câte tipuri de asimptote există?

Trei. Orizontala are ecuația $y = ℓ$ , unde $ℓ$ iese ca limită finită atunci când $x$ pleacă spre infinit. Oblica are ecuația $y = m x + n$ , cu panta nenulă. Verticala este dreapta $x = a$ , care apare acolo unde o limită laterală urcă la infinit. Primele două sunt cel mult două la număr, iar verticalele pot fi oricâte.

Cum aflu panta unei asimptote oblice?

Calculezi limita raportului dintre valoarea funcției și argument, când argumentul merge spre infinit. Dacă iese un număr finit și nenul, acela este panta; apoi afli termenul liber din limita diferenței dintre funcție și produsul dintre pantă și argument.

Ce se întâmplă dacă limita într-o valoare interzisă este finită?

Graficul are acolo o gaură, nu o asimptotă. La funcția $\frac{x ^{2} - 9}{x - 3}$ , punctul $3$ lipsește din domeniu, dar limita este $6$ , deci curba trece pe lângă punctul $(3, 6)$ fără să urce la infinit. Fracția se simplifică înainte de a decide.

Cum se scrie o listă completă de asimptote?

Ca un șir de drepte, fiecare cu ecuația scrisă și cu capătul la care se referă: de pildă, $x = 2$ asimptotă verticală bilaterală și $y = 1$ asimptotă orizontală spre amândouă capetele infinite. Afirmația vagă că funcția are asimptote nu se punctează.

Ce funcție își taie asimptota orizontală de o infinitate de ori?

Funcția $\frac{sin x}{x}$ pe intervalul $(0, + \infty)$ . Limita ei la $+ \infty$ este $0$ , deci axa absciselor este asimptotă orizontală, iar graficul o traversează în fiecare punct de forma $k π$ . Apropierea de dreaptă nu este împiedicată de aceste intersecții.

De ce nu dă asimptotă un punct interior în care funcția e continuă?

Fiindcă acolo amândouă limitele laterale există și sunt finite, egale cu valoarea funcției. O asimptotă verticală cere o limită laterală infinită, deci punctele de continuitate nu intră niciodată în lista candidaților.

Oamenii mai întreabă și: ce este o asimptotă · tipuri de asimptote · unde se caută asimptotele · poate graficul să taie asimptota · definiția asimptotei